高中數(shù)學(xué)第1部分第二章§7向量應(yīng)用舉例課件北師大版必修

第二章§7把握熱點考向考點一考點二考點三理解教材新知應(yīng)用創(chuàng)新演練向量作為一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用．問題1：利用向量方法可以解決平面幾何中哪些問題？提示：計算長度、角度，研究平行與垂直問題都可轉(zhuǎn)化為向量法去解決．問題2：物理學(xué)中力、速度、位移的合成與分解，用向量法解釋實質(zhì)是什么？提示：實質(zhì)就是向量的加減法．問題3：利用向量可解決解析幾何中哪些問題？提示：兩點的距離(線段的長度)、直線夾角等問題．1．點到直線的距離公式點M(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0的距離d＝

.2．直線l：ax＋by＋c＝0的法向量

(1)與直線的方向向量

的向量稱為該直線的法向量．

(2)若直線l的方向向量v＝(b，－a)，則直線l的法向量n＝

．(a，b)垂直1．確定直線的方向向量與法向量是用向量法解決直線問題的關(guān)鍵．

2．用向量法解決幾何問題或物理問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為向量問題，即建立向量模型，解決向量問題后再作出相應(yīng)問題的結(jié)論．[例1]

已知直線l過點A(1,1)，且它的一個法向量為n＝(－2,1)．

(1)求直線l的一般方程；

(2)若與直線l垂直的直線l1經(jīng)過點B(2,0)，求l1的一般方程．

[思路點撥]

確定直線的斜率后，再寫出方程．[精解詳析]

(1)∵直線l的一個法向量為n＝(－2,1)，∴直線l的一個方向向量為v＝(1,2)．∴直線l的斜率為2.∴直線l的點斜式方程為y－1＝2(x－1)．整理得2x－y－1＝0.故直線l的一般方程為2x－y－1＝0.1．過點A(－1,2)，且平行于向量a＝(3,1)的直線方程為

__________．答案：x－3y＋7＝02．已知直線l1；ax＋2y＋6＝0與l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝

0平行，求實數(shù)a的值．解：直線l1的法向量n1＝(a,2)，直線l2的法向量n2＝(1，a－1)，∵l1∥l2，∴n1∥n2，∴a(a－1)－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.當(dāng)a＝－1時，l1：x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0，∴l(xiāng)1∥l2.當(dāng)a＝2時，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋3＝0.∴l(xiāng)1與l2重合，舍去a＝2.綜上所述，a＝－1.[例2]已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，BE，CF交于點P.求證：(1)BE⊥CF；

(2)AP＝AB.[思路點撥]先建立坐標(biāo)系，再利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行證明．[精解詳析]

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0,1)．[一點通]利用向量證明幾何問題有兩種途徑：

(1)基向量法：通常先選取一組基底(模及兩者之間的夾角已知的向量)，然后將問題中出現(xiàn)的向量用基底表示，再利用向量的運算法則、運算律運算，最后把運算結(jié)果還原為幾何關(guān)系．

(2)坐標(biāo)法：利用平面向量的坐標(biāo)表示，可以將平面幾何中長度、垂直、平行等問題很容易地轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算的問題，運用此種方法必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化．3．求證：平行四邊形對角線的平方和等于其四條邊的平

方和．4．如右圖，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中點，E是AB上的點，且AE＝2BE，求證：AD⊥CE.證明：如右圖，以C為坐標(biāo)原點，以CA、CB所在的直線為x軸、y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)A(a,0)，∵AC＝BC，∴B(0，a)．(1)如果他徑直游向河對岸，水的流速為4km/h，他實際沿什么方向前進(jìn)？速度大小為多少？