線(xiàn)性代數(shù) 第五講矩陣的逆

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二、矩陣可逆的判定三、逆矩陣的求法一、逆矩陣的定義第五講矩陣的逆四、逆矩陣的應(yīng)用則矩陣稱(chēng)為的可逆矩陣或逆陣.在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為的倒數(shù)，（或稱(chēng)的逆）；

在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中

的1，那么，對(duì)于矩陣，如果存在一個(gè)矩陣,使得一、逆矩陣的定義

定義1

對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣

則說(shuō)矩陣是可逆的，并把矩陣稱(chēng)為的逆矩陣.,使得例1

設(shè)一、逆矩陣的定義注意：不是任何矩陣都可逆故不可逆一、逆矩陣的定義說(shuō)明

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即證明：一、逆矩陣的定義例2

設(shè)解設(shè)是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法又因?yàn)樗远⒕仃嚳赡娴呐卸ǘx2稱(chēng)為A的伴隨矩陣.

性質(zhì)：余子式，矩陣設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

證明若可逆，二、矩陣可逆的判定按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義.1AA*A1-=推論證明逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證明證明例3

求方陣的逆矩陣.解三、逆矩陣的求法1、伴隨矩陣法故例4證:練習(xí)證:2、定義法

如果矩陣A經(jīng)過(guò)若干次行初等變換可以化為單位矩陣E，每進(jìn)行一次行初等變換相當(dāng)于在矩陣A的左側(cè)乘以一個(gè)初等矩陣。若將這些初等矩陣依次記為即有若令，則而

即將同樣的行初等變換作用在E上，即可得到A的逆矩陣。3、行初等變換法在給定的n階方陣的右邊放一個(gè)n階單位矩陣E形成一個(gè)n×2n的矩陣

，然后對(duì)矩陣

實(shí)施初等行變換，直到將原矩陣A所在部分變成單位矩陣E，原單位矩陣部分經(jīng)同樣的初等變換后，所得到的矩陣就是A的逆矩陣，即

方法3、行初等變換法例5

練習(xí)求矩陣的逆。解四、逆矩陣的應(yīng)用1、克萊姆法則若線(xiàn)性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A的行列式|A|≠0，則方程組AX=b的解存在，并且唯一。由|A|≠0知A可逆，形如AX=B，XA=B，AXB=C的含有矩陣形式的方程，稱(chēng)之為矩陣方程。2、

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