第8-1節(jié) 重積分的概念及計算

第八章重積分8.1重積分的概念與性質(zhì)在一元函數(shù)微積分學(xué)中我們已經(jīng)知道，定積分是某種確定形式的和的極限。這種和的極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線、曲面上多元函數(shù)的情形，便得到重積分、曲線積分、曲面積分的概念。本章首先介紹重積分的概念、計算法以及它們的應(yīng)用。18.1.1重積分的定義回顧在第五章中用定積分計算物體的質(zhì)量問題，假定物體的密度是連續(xù)變化的。首先考慮一根長度為l的細(xì)直桿。不妨假定它在軸上占據(jù)區(qū)間[0，l]，設(shè)其線密度為2在每個小區(qū)間上“以常代變”，作積求和得到細(xì)直桿質(zhì)量的近似值為然后通過求極限便可得到細(xì)直桿的質(zhì)量為如果我們所考慮的物體是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐標(biāo)面上的區(qū)域D，并設(shè)其面密度函數(shù)為

=

(x,y)≠常數(shù)。這里

(x,y)>0且在D上連續(xù)。3均勻薄片:質(zhì)量=面密度×面積

參照上述細(xì)直桿的討論方法，yxo現(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量。我們將分割成n個彼此沒有公共內(nèi)點的閉子域該薄板的質(zhì)量可表示為4如果我們考慮的物體占據(jù)三維空間o-xyz的閉區(qū)域Ω，其體密度函數(shù)為

=

(x,y,z)≠常數(shù),則其質(zhì)量可表示為綜上所述，(2)、(3)的右端都是與(1)式右端同一類型的和式極限，它們?yōu)槎x重積分提供了物理背景。下面我們先給出二重積分的定義。5定義8.1.1設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將區(qū)域任意分割成n個小區(qū)域如果當(dāng)各小區(qū)域直徑的最大值

趨于零時，上述和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)(推廣為f(x,y))在閉區(qū)域D上的二重積分，記作6積分區(qū)域積分和積分變量被積表達(dá)式面積元素被積函數(shù)由二重積分的定義可知，平面薄板的質(zhì)量是面密度函數(shù)在薄板所占閉區(qū)域上的二重積分7下面我們再給出重積分的定義。定義8.1.2設(shè)

是Rn中一個可求體積（n=2時為面積）的有界閉區(qū)域，f(X)是在

上有定義的有界函數(shù)，將

分割為彼此沒有公共內(nèi)點的任意閉子域8如果當(dāng)

0時，上述和式的極限存在，并且該極限與

的分割方式及Xi的取法無關(guān)，我們稱該極限值為函數(shù)f(X)在

上的n(重)積分，記為其中f(X)稱為被積函數(shù)，

稱為積分區(qū)域，也稱函數(shù)f(X)在

上可積。特別地，當(dāng)n=2時函數(shù)f(X)=f(x,y)(x,y)

D，即為函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分，d稱為面積元素。9當(dāng)n=3時函數(shù)f(X)=f(x,y,z)(x,y,z)

，即為函數(shù)f(x,y,z)在

上的三重積分，dv稱為體積元素。有了上述定義，空間立體的質(zhì)量也可以通過密度函數(shù)的三重積分來表示，即可以證明定理8.1.1

(1)（充分條件）若在上連續(xù)，則它在上可積；(2)（必要條件）若在上可積，則它在上有界。108.1.2 重積分的性質(zhì)我們僅給出二重積分的性質(zhì)，三重積分的性質(zhì)完全類似。假設(shè)性質(zhì)中涉及的函數(shù)在相應(yīng)區(qū)域上均可積，D、D1、D2都是平面上的有界閉區(qū)域。(2)(關(guān)于被積函數(shù)的線性可加性）若

、

為常數(shù)，則

表示D的面積11(3)（關(guān)于積分區(qū)域的可加性）無公共內(nèi)點，則(4)（積分不等式）如果在D上有f(x,y)

g(x,y),則特別地，有12(5)（估值定理）設(shè)M、m分別是f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，

表示D的面積，則下面僅給出結(jié)論(5)、(6)的證明。(6)（中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，

表示D的面積，則至少存在一點(,)，使13(5)由于f(x,y)在有界閉區(qū)域D上可積，M、m是f(x,y)在有界閉區(qū)域D的最大值和最小值，所以m

f(x,y)

M。上面的不等式也稱為估值不等式。(6)令則14(6)由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，f(x,y)在D上至少存在一點(,)，使f(,)=

，即上式兩端同乘以

即得結(jié)論成立。1516(1)D1：x軸、y軸及x+y=1所圍；(2)D2：(x

2)2+(y

1)2

2解

(1)因為在區(qū)域D1上0

x+y

1，

(x+y)3

(x+y)2根據(jù)性質(zhì)4，得

(1)若f(x)在[a,b]上連續(xù),f(x)

0,且f(x)不恒為零,則。1712從圖形易知在D上除切點外，處處有x+y>1

(x+y)2<(x+y)3所以有(x－2)2+(y－1)2

2該圓域與直線x+y=1相切。18例3利用二重積分的性質(zhì)，估計積分的值。解因為fx=2x，fy=8y，所以有駐點(0,0)。先求f(x,y)=x2+4y2+1在D上的最大值、最小值。f(0,0)=1。19顯然，在邊界上f(x,y)的最小值為2，最大值5。于是f(x,y)在D上的最小值為1，最大值為5，積分區(qū)域的面積為

。所以有20例4.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有21第八章重積分8.2二重積分的計算法利用二重積分的定義直接計算二重積分一般很困難，計算二重積分的基本途徑是將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，然后通過計算兩次定積分來計算二重積分。228.2.1利用直角坐標(biāo)計算二重積分設(shè)f(x,y)是定義在平面區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，以D為底面，以曲面f(x,y)為頂面，以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面為側(cè)面所圍成的立體稱為曲頂柱體。如何求該曲頂柱體的體積呢？1、曲頂柱體的體積------

二重積分的幾何意義23(1)分割用一組曲線網(wǎng)將D分成n個小閉區(qū)域

1,

2,

…,

n

，分別以這些小區(qū)域的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，這些柱面將原來的曲頂柱體分割成n個細(xì)曲頂柱體。24(2)近似當(dāng)這些小區(qū)域的直徑di很小時，由于f(x,y)連續(xù)，對于同一個小區(qū)域上的不同點，f(x,y)的變化很小，細(xì)曲頂柱體可近似地看作平頂柱體25由二重積分定義立即得到這也是二重積分的幾何意義。2627yxzo282、用幾何觀點討論二重積分的計算法應(yīng)用“定積分”中求“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法計算這個曲頂柱體的體積。(1)設(shè)f(x,y)

0，f(x,y)在D上連續(xù)。［X－型］oabxyoabxy29oax0

bxyz在區(qū)間[a,b]上任取一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間[

1(x0),

2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，其截面面積為：先計算截面面積。30一般地，過區(qū)間[a,b]上任一點x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面面積為：

于是，應(yīng)用計算平行截面面積為已知的立方體體積的方法，得曲頂柱體體積為

這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式oax

bxyz31上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。就是說，先把x看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對y計算從

1(x)到

2(x)的定積分；再把計算所得的結(jié)果（是x的函數(shù)）對x計算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作32［Y－型］DyoxdcyoxdcD33計算時先把y看作常數(shù)，因此f(x,y)是x的一元函數(shù)，在區(qū)間

1(y)

x

2(y)上對x積分,得到一個關(guān)于y的函數(shù),再在區(qū)間c

y

d上對y積分,。這就是把二重積分化為先對x、后對y的二次積分的公式。34應(yīng)用公式(1)時，積分區(qū)域必須是X型區(qū)域。應(yīng)用公式(2)時，積分區(qū)域必須是Y型區(qū)域。X型區(qū)域D的特點是：穿過D內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點。Y型區(qū)域D的特點是：穿過D內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點。35若積分區(qū)域D既不是X型區(qū)域也不是Y型區(qū)域，此時要將積分區(qū)域D分成幾部分，使得每一部分是X型區(qū)域或Y型區(qū)域，再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性可得整