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文檔簡介
綜合模擬卷一
(時間:120分鐘滿分:150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.(2020?滄州調(diào)研)集合M={x|lgx>0},N={x*<4},則等于()
A.(-2,0)B.[1,2)C.(1,2]D.(0,2]
答案C
解析因為M={x|x>l},N={*-2WxW2},
所以MAN=(1,2].
1—2i
2.復(fù)數(shù)z=〒在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是()
A.(2,1)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(-1,-2)
答案B
._1~2i_i(l~2i)
解析*.'z=-:—=7Tj2=-2—i,
.二復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)是(一2,—1).
3(2020?唐山段考)命題WI+d20”的否定是()
A.VxeR,|x|+x4<0B.Vx£R,|x|+fwo
C.3%oeR?|即|十/20D.3eR?|x()|+xo<0
答案D
解析命題的否定為:|xo|+xo<O.
4.(2020?鄭州模擬)已知向量。與方的夾角為爭且悶=1,|2。一臼=小,則。|等于()
A.小B.y/2C.1D成
答案C
解析,?,向量。與b的夾角為小且間=1,
!2a—bl=y/3,
;.|24—臼2=3,即4/-44力+〃=3,;.4—2|臼+步|2=3,二|例=1.
5.有5個空盒排成一排,要把紅、黃兩個球放入空盒中,要求一個空盒最多只能放入一個球,
并且每個球左右均有空盒,則不同的放入種數(shù)為()
A.8B.2C.6D.4
答案B
解析很明顯兩個球只能放在第二個和第四個盒子,故不同的放入種數(shù)為A?=2.
6.(2020?株州模擬)已知雙曲線C:方一方=130,,>。)的右焦點到漸近線的距離等于實軸長,
則此雙曲線的離心率為()
ASB.A/3C.^5D當(dāng)
答案c
解析由題意可設(shè)雙曲線C的右焦點為F(c,0),漸近線的方程為y=±!,
可得d=^-^==b=2a,
c—y]a2+h2=y[5a,
即離心率6=彳=木.
7.(2020?山東模擬)已知三棱錐S—A8C中,NSAB=NA8c=去SB=4,SC=2g,AB=
2,BC=6,則三棱錐S-ABC的體積是()
A.4B.6C.4小D.6^3
答案C
解析由SB=4,AB=2,且NS4B芍得SA=2??;
又由AB=2,BC=6,且NA8C=m,得AC=2回.
jr
因為S42+AC2=SC2,從而知NS4C=5,即SA_L4C,
又ABCAC=A,
所以SAJ_平面ABC.
又由于S(MBC=5X2X6=6,
從而VS-ABC=/SAABCS4=;X6X2方=4小.
8.(2020?長沙模擬)已知定義在R匕的函數(shù)?。┑膱D象關(guān)于y軸對稱,且當(dāng)xd[0,+8)時,
j{x}+xf'(x)>0,若a=0.76j(0.76),Z>=(logo.76Mlogo.76),。=63式6°-6),則a,b,c的大小關(guān)
系是()
A.c>a>bB.a>c>b
C.b>a>cD.a>b>c
答案A
解析因為定義在R上的函數(shù)危)的圖象關(guān)于y軸對稱,
所以y=7(x)是定義在R上的偶函數(shù),
所以y=玳x)是定義在R上的奇函數(shù),
又因為xG[0,+8)時,<=fix)+xf(x)>0,
所以),=敏外在[0,+8)上是增函數(shù),
所以>=刈3是定義在R上的增函數(shù),
因為logo.76<0<0.76<l<6°-6,
所以b<a<c.
二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.全部選對的得5分,部分選對的
得3分,有選錯的得0分)
9.某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、
90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中一定正確的是()
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980?1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.
后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布圖
術(shù)
技90
營
運39.6%
場
市
計
設(shè)
能
職
品
產(chǎn)
他
其
A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上
B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多
D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多
答案ABC
解析在A中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后
占56%,故A正確;
在B中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得
到:互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%,故B正確;
在C中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得
到:互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多,故C正確;
在D中,由整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得
到:互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后不一定比80后多,故D錯誤.
10.已知尸2分別是雙曲線C:^-/=1的左、右焦點,點P是雙曲線上異于雙曲線頂
點的一點,且即「麗=0,則下列結(jié)論正確的是()
A.雙曲線C的漸近線方程為y=ir
B.以代巳為直徑的圓的方程為『+>2=1
C.Q到雙曲線的一條漸近線的距離為1
D.△PQB的面積為1
答案ACD
解析A中,由雙曲線x2—9=1,可得焦點在x軸上,a2—b2,a>0,〃>0,a是實半軸長,b
是虛半軸長,
,漸近線方程為
即y=±x,.'.A正確;
B中,f-y2=l,
可得左焦點E(一也,0),右焦點6(淄,0),
...以為直徑的圓的圓心是(0,0),半徑為也,
;?圓的方程為*+)2=2,B不正確;
C中,F(xiàn)/f,0)到一條漸近線x-y=0的距離d=/匚:回,=1,,C正確;
AJ12+(-1)2
D中,函即2=3
設(shè)P(x,y),即i=(一也—x,~y),12=(巾一x,-y),
?防2=(一也一x)?(也一萬)+(-y)2=0,
;.『+戶2,①
又尸在雙曲線上,.?.『一V=l(yW0),②
由①②得,加=孚,
.-△尸"2=奶尸2|例=賢2gX坐=1,
D正確.
故選ACD.
11.如圖,正方體ABCD-AiBiGOi的棱長為a,以下結(jié)論正確的是()
A.異面直線4。與A8所成的角為60。
B.直線4。與BCi垂直
C.直線AQ與平行
D.三棱錐A-AC。的體積為
答案ABD
解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.
A中,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B\(a,a,a).
/.A|D=(-—a),
—?
A2i=(0,a,a),
./,~y.亦、AiDAB\
..cos\A\D,AB\)=-------------
\^D\\ABt\
—a2
y{2a-y[2a
.,.異面直線AQ與A81所成的角為60。.
B中,Ci(0,a,a),B(a,a,0).
A\D-BC\={-afit—a>(—a,。,a)=a2—a2—0.
直線4。與BC\垂直.
C中,01(0,0,a).
A\D-BD]=(—a,0,—a)-(—a,—a,a)
=a2—a2=0,
直線AQ與BA垂直,不平行;
D中,三棱錐A-ACD的體積=VC—AAO
111
=3XV2a2-a=6a3-
綜上可知,只有C不正確.
故選ABD.
12.已知定義在R上的偶函數(shù)人x)滿足人x+4)=/(x)+./(2),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),下列
命題中正確的是()
A.函數(shù)?r)的一個周期為4
B.直線x=-4是函數(shù),/(x)圖象的-一條對稱軸
C.函數(shù)在[-6,—5)上單調(diào)遞增,在[-5,—4)上單調(diào)遞減
D.函數(shù)人》)在[0,100]內(nèi)有25個零點
答案ABD
解析?.?偶函數(shù)4X)滿足犬x+4)=?r)+大2),
.?.令x=—2得人-2+4)=共-2)+式2),
即{2)=區(qū)2)+/(2),得犬2)=0,
則兀v+4)=/(x),即函數(shù),/U)是周期為4的周期函數(shù),故A正確.
??了醫(yī))是偶函數(shù),...圖象關(guān)于y軸,即圖象關(guān)于x=0對稱,函數(shù)的周期是4,
,x=-4是函數(shù),/(x)圖象的一條對稱軸,故B正確.
?.?函數(shù)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),.?.在區(qū)間[—2,0]上是減函數(shù),
則在區(qū)間[-6,—4]上是減函數(shù),故C錯誤,
?.避2)=0,...式-2)=0,
即函數(shù)在一個周期[0,4)內(nèi)只有一個零點,
則函數(shù)凡r)在[0,100]內(nèi)有25個零點,故D正確,
故選ABD.
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
則cos俘+2a)=
答案V7
兀1
解析已知sin|
3,
且年"j+俘+,=看
則cos俘+a)=sin《一a)=q,
故cos停+2a)=2cos2停+J—1=—*
14.在(/一/)9的展開式中,常數(shù)項為,系數(shù)最大的項是.(本題第一空3
分,第二空2分)
答案7的19”
解析的展開式中第無+1項為
或+1=(2§(『)9"(一/)=C(一£)918-3?,
常數(shù)項為r?=c8(—3}=毯,
第Z+1項的系數(shù)為要使系數(shù)最大,k顯然為偶數(shù),經(jīng)檢驗,當(dāng)4=2時,系數(shù)最
大,
即系數(shù)最大的項是
-)2
15.(2020.長春質(zhì)檢)已知橢圓與+號=1的右焦點尸是拋物線尸2度(p>0)的焦點,則過F
作傾斜角為60。的直線分別交拋物線于A,B(A在x軸上方)兩點,則耨=.
答案3
解析由橢圓3+9=1,可得右焦點為尸(1,0),
所以§=1,解得p=2,
設(shè)A(xi,ji),8(X2,”),
由拋物線的定義可得
..,2P8P16
\AB\-Xi+x2+p-sin260o-3_3,
所以項+12=號,
n2J
又由X]X2=Z=1,可得由=3,X2=y
\AF]Xr23+1
所以'=3.
16.(2020?武漢模擬)三棱錐P-ABC中,物,底面ABC,%=2吸,底面△ABC中/8AC=
I,邊BC=2,則三棱錐外接球的體積等于
答案瞥
解析設(shè)G為△ABC外接圓圓心,。為三棱錐P—ABC外接球球心,
則OG_L平面ABC,
作OM±PA,垂足為M,
由正弦定理可知△ABC外接圓直徑2r=2AG=-^7=士=2啦,
sinZBAC.兀丫
sm4
:.AG=y/2.
?.?辦_1_平面ABC,OG_L平面ABC,
C.AP//OG,
又AG1.PA,
:.OM//AG,
四邊形OMAG為矩形,
:.OG=AM,
設(shè)OG=x,OP=OA=R,
在RtAOMP和RtAOG/1中,
由勾股定理可得■二》=R2,[x=也,
解得l/?=2.
三棱錐外接球的體積丫=4*/?3=等3?元.
四、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(10分)已知AABC同時滿足下列四個條件中的三個:
jr2
①A,;②cos8=一3③a=7;④6=3.
(1)請指出這三個條件,并說明理由;
(2)求AABC的面積.
解(1)Z\ABC同時滿足①@④.理由如下:
若△ABC同時滿足①②.
因為cosB=—京一3,且Bd(0,71),所以B>半
所以A+B>7t,與三角形內(nèi)角和為兀矛盾.
所以△ABC只能同時滿足③④.
因為“泌,所以A>B,故△48c不滿足②.
故△ABC滿足①(③④.
(2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,
222
即7=3+C-2X3XCX1.
解得c=8或c=—5(舍).
所以△ABC的面積S=1&csinA=6A/3.
18.(12分X2020?邢臺模擬)在公差為d的等差數(shù)列{斯}中,aid=6,ai』N,"GN,S.ai>d.
⑴求{為}的通項公式;
⑵若0,。4,03成等比數(shù)列,求數(shù)列E>1的前”項和
解(l);4]d=6,a]WN,d£N,且
〃i=6,
d=2,d=\.
當(dāng)。i=3時,斯=2〃+1;
當(dāng)?shù)?6時,an=n+5.
(2)Vfli,。4,。13成等比數(shù)列,
=曷,
:.%=2n+1,
則斯斯+i12〃+3)’
故S尸騙…+*一肅
6〃+9,
19.(12分)(2020?山東九校聯(lián)考)已知四棱柱ABCD—AIBIGA的底面為菱形,A8=A4=2,
jr
ZBAD=yACHBD=O,A。J_平面A由。,48=4。.
(1)證明:SC〃平面ABD;
⑵求鈍二面角B-AAi-D的余弦值.
⑴證明連接4省交48于點Q,
易知。為ABi的中點,
:0為AC的中點,
.?.在△ABC中,OQHB\C,且OQ=;8C,
;OQu平面AiBD,81ctt平面4B£),
;.BiC〃平面AtBD.
(2)解:AOJ_平面4BO,:.AOLA\O,
":A\B=A\D且。為8。的中點,
:.A\OLBD,
,:AO,BOu平面ABC。且AOCBO=。,
,平面A8C£),如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O-.z.
易得A(5,0,0),5(0,1,0),0(0,-1,0),4(0,0,1),
二筋尸(一書,0,1),矗=(一小,1,0),
設(shè)平面AiAB的一個法向量為〃=(x,y,z),
A
n.LAA\,
則<
?i±AB,
[一6x+z=0,
1—V3x+y=0,
令x=l,得y=z=,§,
小,?
同理可得平面AiA。的一個法向量為,”=(1,-y/3,小),
?/\mn1
??cos〈”?,?)一麗一亍
.?.鈍二面角B—AA|一。的余弦值為一去
20.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系g中,橢圓,+5=1(。泌>0)的左、右頂點分別為4,B,
點3e)和S,,§e)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點C是橢圓上異于左、右頂點的任一點,線段8c的垂直平分線與直線BC,AC分別交
于點P,Q,求證:油質(zhì)為定值.
仕+箋一1
4十/T,
(1)解由題意知3?2結(jié)合。2=〃+,,
解得Q=2,b=/,0=1.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+9=1.
⑵證明由題意知4-2,0),8(2,0),0(0,0),
設(shè)C(xo,泗),
聯(lián)立直線AC,PQ的方程,
解得心井嗡鐲,
所以仍質(zhì)=(2,0>(6,yQ-yP)^n.
21.(12分)已知函數(shù)y(x)=ar-lnx.
(1)求1Ax)的極值;
(2)若a=—1,g(x)=y(x)+e*,求證:g(x)>0.
(1)解了'(x)=〃一&x>0),
當(dāng)aWO時,f(x)<0恒成立,
則兀v)在(0,+8)上單調(diào)遞減,大?無極值;
當(dāng)”>0時,令/(x)>0,得x>!;
令f(x)<0,得0<r<^,
則式x)在(0,J)上單調(diào)遞減,在9,+8)上單調(diào)遞增,
凡r)有極小值為1+lna,無極大值.
(2)證明當(dāng)〃=—1時,g(x)=ex—Inx—x(x>0),
g'(x)=er-^-l,
令/z(x)=g'(x),則,(》=r+%*0,
所以/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.
又#)=#-3<0,/i(l)=e—2>0,
所以3卬6(;,1),使得/i(M))=exo—9一1=0,
即ejft)=7"+1,
所以函數(shù)g(x)在(0,刈)上單調(diào)遞減,在(xo,+8)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)g(x)的最小值為g(xo)=exo—In&一沏=1十1—In檢一沏,
又函數(shù)y=:+l—lnx—x在(;,1)上是單調(diào)減函數(shù),
所以g(xo)>l+I—In1—I=1>0,
故g(x)>0.
22.(12分)為回饋顧客,某商場擬通過模擬兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每
位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標(biāo)的面值之和為
該顧客所獲的獎勵額.
⑴若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元,其余3個均為10元,求:
①顧客所獲的獎勵額為60元的概率;
②顧客所獲的獎勵額的分布列及均值;
⑵商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的
兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符
合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的
設(shè)計,并說明理由.
解(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.
①依題意,得P(X=60)=詈斗
即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為g
②依題意,得X的所有可能取值為20,60.
1Cl1
產(chǎn)(X=60)=z,P(X=20)=W=/,
故X的分布列為
X2060
11
P
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