移動(dòng)荷載下粘彈性地基板的動(dòng)力響應(yīng)及地基模量e

移動(dòng)荷載下粘彈性地基板的動(dòng)力響應(yīng)及地基模量e

機(jī)場(chǎng)走廊的檢測(cè)和維護(hù)技術(shù)是機(jī)場(chǎng)建設(shè)和管理中不容忽視的問題。國內(nèi)外飛機(jī)結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)證明了這一點(diǎn)。傳統(tǒng)的破壞試驗(yàn)比較直接，但應(yīng)停止對(duì)現(xiàn)場(chǎng)的不利影響，修復(fù)后的完整性也受到一定的影響。因此，對(duì)機(jī)場(chǎng)走廊的損傷檢測(cè)理論的研究對(duì)控制場(chǎng)地的施工質(zhì)量、長期使用性、道面的設(shè)計(jì)以及優(yōu)化道面的重建方案具有重要意義。在現(xiàn)場(chǎng)道工程中，現(xiàn)場(chǎng)道修復(fù)技術(shù)主要用于檢測(cè)曲線沉降?；谲壽E波表面的反演，不同層的結(jié)構(gòu)參數(shù)是基于軌跡波表面波動(dòng)沉降檢測(cè)結(jié)果的。在此基礎(chǔ)上，可以分析和評(píng)估軌跡結(jié)構(gòu)的性能。在每個(gè)截面的結(jié)構(gòu)層中，基本材料參數(shù)對(duì)于管理、維護(hù)和機(jī)場(chǎng)改造是不可或缺的重要力學(xué)參數(shù)。因此，通過不規(guī)則檢測(cè)方法獲得基本材料參數(shù)具有重要的理論和實(shí)際意義。實(shí)際工程中,場(chǎng)道承受的是移動(dòng)荷載,且地基表現(xiàn)出一定的粘彈性特征.故本文采用動(dòng)態(tài)識(shí)別系統(tǒng),建立了移動(dòng)荷載下的粘彈性地基板體系模型,較全面地反映了荷載_道面_地基的特性.1粘彈性半空間體地基道面板的邊界條件非常復(fù)雜,很難用理論來精確描述板塊的實(shí)際邊界.現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得的彎沉盆半徑都在一定的范圍內(nèi),當(dāng)荷載移動(dòng)至板中時(shí),板邊的位移相對(duì)很小,故而,板塊間的相互作用對(duì)本文的結(jié)果影響較小.此外,場(chǎng)道地基在飛機(jī)荷載的重復(fù)作用下表現(xiàn)出一定的粘彈特征.基于以上原因,本文選用了移動(dòng)荷載作用下粘彈性地基上無限大板系統(tǒng)模型,如圖1所示.系統(tǒng)模型基于下述三個(gè)基本假定:①道面板滿足小撓度彈性薄板理論;②道面板與地基水平方向的摩擦阻力忽略不計(jì),在變形過程中,板不發(fā)生抬離地基的情況;③以地基彈性模量E,阻尼系數(shù)c,泊松比μ來表征粘彈性半空間體地基.板的運(yùn)動(dòng)方程可由Kirchhoff薄板理論、粘彈性半空間體地基反力以及彈性力學(xué)理論給出D?2?2w(x,y,t)+ρ0h?2w?t2-λh2?2w+α(λ+2G)w+c?w?t=F(x,y,t)(1)式中:D=E0h312(1-μ20)為道面板的抗彎剛度;?2為二維Laplace算符,?2=?2?x2+?2?y2;c表示地基的阻尼系數(shù);ρ0和h表示道面板的材料密度和厚度;E0和μ0分別表示道面板的彈性模量和泊松比;E和μ分別表示地基的彈性模量和泊松比;λ=Eμ(1+μ)(1-2μ)為拉梅常數(shù);G=E2(1+μ)為切變模量;w(x,y,t)為道面板上任意位置任意時(shí)刻的彎沉.根據(jù)Kirchhoff薄板理論假定,道面板表面和底面處各點(diǎn)的彎沉都與中面處的彎沉相等,這就保證了板受力時(shí)其厚度不會(huì)發(fā)生改變.如令k1=λh2?k2=α(λ+2G),則(1)式可寫為D?2?2w(x,y,t)+ρ0h?2w?t2-k1?2w+k2w+c?w?t=F(x,y,t)(2)在圓柱坐標(biāo)下(2)式可寫為D?4w(r,t)+ρ0h?2w(r,t)?t2-k1?2w(r,t)+k2w(r,t)+c?w(r,t)?t=F(r,t)(3)對(duì)于本文所討論的穩(wěn)定移動(dòng)荷載,它在時(shí)間上是無始無終的,可以用特殊函數(shù)將它表示為F(x,y,t)=Fδ(x-vt)δ(y)(4)式中:δ(·)為Dirac_δ階躍函數(shù).所謂Dirac_δ階躍函數(shù)就是要求這個(gè)函數(shù)在t=0的鄰域內(nèi)取非常大的值,而在這個(gè)鄰域之外等于0.為獲得道面板在穩(wěn)定移動(dòng)荷載下的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng),實(shí)際上就是求解右端項(xiàng)為(4)式的偏微分方程(3).由于方程是線性的,故其滿足疊加原理.2拉普拉斯積分變換與漢克爾積分變換的關(guān)系考察一個(gè)二維彈性體在t=0時(shí)刻在坐標(biāo)原點(diǎn)處受一突加點(diǎn)源荷載,隨后該點(diǎn)源荷載以速度v沿x軸勻速運(yùn)動(dòng),如圖2所示.定義瞬時(shí)點(diǎn)源荷載δ(x)δ(y)δ(t)作用于坐標(biāo)系XOY的原點(diǎn)時(shí),在彈性體內(nèi)產(chǎn)生的位移場(chǎng)即為該線性系統(tǒng)源點(diǎn)作用在(0,0)處的位移脈沖響應(yīng)函數(shù),記為hw(x,y,t).當(dāng)荷載運(yùn)動(dòng)至τ(0≤τ≤t)時(shí)刻,瞬時(shí)點(diǎn)源荷載已不再處于坐標(biāo)系XOY的原點(diǎn).為了利用前面得到的瞬時(shí)點(diǎn)源荷載作用在(0,0)處的位移脈沖響應(yīng)函數(shù)來分析時(shí)刻的瞬時(shí)點(diǎn)源荷載在彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)A所產(chǎn)生的位移場(chǎng),就必須進(jìn)行坐標(biāo)變換.圖2中XOY為原坐標(biāo)系,X′O′Y′為新坐標(biāo)系,其坐標(biāo)系原點(diǎn)建立在τ時(shí)刻運(yùn)動(dòng)荷載所處的位置.設(shè)A點(diǎn)在舊坐標(biāo)系統(tǒng)中坐標(biāo)為(xa,ya),在新的坐標(biāo)系統(tǒng)中其坐標(biāo)為(x′a,y′a),則新舊兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)變換滿足關(guān)系{x′a=xa-xτy′a=ya-yτ(5)其中,xτ和yτ分別為在τ時(shí)間內(nèi)點(diǎn)源荷載在x軸和y軸上移動(dòng)的距離,即v×τ和0.這樣在τ時(shí)刻作用于彈性體的瞬時(shí)點(diǎn)源荷載所激發(fā)出的A點(diǎn)在t時(shí)刻的位移場(chǎng),可以把(5)式和t-τ(由時(shí)滯造成的時(shí)間移位)代入前面給出的位移脈沖響應(yīng)函數(shù)hw(x,y,t)中得到.由于(3)式是線性系統(tǒng),滿足Duhamel疊加積分,也就是說A點(diǎn)處的位移場(chǎng)是由一系列時(shí)空連續(xù)的瞬時(shí)點(diǎn)源荷載對(duì)A點(diǎn)在t時(shí)刻位移場(chǎng)的貢獻(xiàn)疊加而成.時(shí)間的連續(xù)性使得這種疊加成為對(duì)脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積積分.注意到A點(diǎn)選擇的任意性,可得w(x,y,t)=∫t0Fhw(x-vτ,y,t-τ)dτ(6)上式為運(yùn)動(dòng)荷載作用下彈性線性時(shí)不變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的普遍適用公式.如令積分下限由0→-∞,該式即成為處理穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)荷載時(shí)用到的積分表示公式w(x,y,t)=∫t-∞Fhw(x-vτ,y,t-τ)dτ(7)利用(7)式求解移動(dòng)荷載下道面板的位移響應(yīng)的關(guān)鍵在于(7)式中位移脈沖響應(yīng)函數(shù)的獲得.為此要求解瞬時(shí)點(diǎn)源荷載δ(x)δ(y)δ(t)作用下道面板的彎沉響應(yīng).考慮到結(jié)構(gòu)和荷載的對(duì)稱性,在圓柱面坐標(biāo)中表示道面板的運(yùn)動(dòng)方程可以減少一個(gè)自變量,因此把方程式(3)和瞬時(shí)點(diǎn)源荷載可改寫為D?4w(r,t)+ρ0h?2w(r,t)?t2-k1?2w(r,t)+k2w(r,t)+c?w(r,t)?t=Fδ(r,t)(8)Fδ(r,t)=δ(r)2πrδ(t)(9)對(duì)(8)式兩邊t進(jìn)行拉普拉斯積分變換,可得D?2?2?w-k1?2?w+k2?w+ρ0hp2?w+cp?w=?Fδ(r,p)(10)式中:變換參數(shù)為p(p是一個(gè)復(fù)變量),?w=?w(r,p).變換中用到了拉普拉斯積分變換微分性質(zhì)和初、終值定理.再對(duì)方程式(10)兩邊實(shí)施零階漢克爾積分變換,可得Dξ4ˉ?w-k1ξ2ˉ?w+k2ˉ?w+ρ0hp2ˉ?w+cpˉ?w=ˉ?Fδ(ξ,p)(11)式中:變換參量為ξ?ˉ?w=ˉ?w(ξ?p).(11)式已經(jīng)是變換域中關(guān)于彎沉的代數(shù)方程,從中可以解得ˉ?wˉ?w=ˉ?Fδ/(Dξ4+k1ξ2+k2+ρ0hp2+cp)(12)為了得到更明確的表達(dá)式,還需求出荷載項(xiàng)的積分變換ˉ?Fδ(ξ?p).為此對(duì)(9)式兩邊依次進(jìn)行拉普拉斯積分變換和漢克爾積分變換,可得到以下兩式.拉普拉斯積分變換?Fδ(r,p)=∫∞0δ(r)2πrδ(t)e-ptdt=δ(r)/2πr(13)漢克爾積分變換ˉ?Fδ(ξ,p)=∫∞0rδ(r)2πrJ0(ξ,r)dr=1/2π(14)將(14)式代入(12)式,并整理可得ˉ?w(ξ,p)=[2π(Dξ4+k1ξ2+k2+ρ0hp2+cp)]-1(15)為了得到時(shí)域中的彎沉,需對(duì)上式進(jìn)行積分反演.根據(jù)拉普拉斯積分變換和漢克爾積分變換的線性性質(zhì)可知,改變兩種變換的先后順序并不影響最終的結(jié)果.故可先對(duì)(15)式進(jìn)行拉普拉斯逆變換,則(15)式成為ˉw(ξ,t)=[2πρ0h(p1-p2)]-1L-1[(p-p1)-1-(p-p2)-1](16)式中作了如下變量替換p1=(-c+√Δ)/2ρ0h,p2=(-c-√Δ)/2ρ0h,Δ=c2-4ρ0h(Dξ4+k1ξ2+k2)(16)式的拉普拉斯逆變化查表可得ˉw(ξ,t)=[2πρ0h(p1-p2)]-1(ep1t-ep2t)(17)對(duì)上式兩邊進(jìn)行漢克爾逆變換,可得w(r,t)=αe-υt∫∞0ξ(λ-ξ4-ˉkξ2)-12(eβt√λ-ξ4-ˉkξ2-e-βt√λ-ξ4-ˉkξ2)J0(ξr)dξ(18)式中作了如下變量代換α=(4π√ρ0hd)-1?β=(D/ρ0h)12?υ=c/vρ0h?λ=(c2-4ρ0hk2)/4ρ0hD?ˉk=k1/D對(duì)上式使用歐拉公式可得w(r,t)=2αe-υt∫∞0ξ(ξ4+ˉkξ2-λ)-12sin(βt√ξ4+ˉkξ2-λ)J0(ξr)dξ(19)(18)式和(19)式就是最終要求的位移脈沖響應(yīng)函數(shù)hw(r,t).廣義積分式(7)是在笛卡爾坐標(biāo)中給出的,為此需要把(19)式在直角坐標(biāo)下表示出來.根據(jù)直角坐標(biāo)與原柱面坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系可w(x,y,t)=2αe-υt∫0∞ξ(ξ4+kˉξ2-λ)-12sin(βtξ4+kˉξ2-λ)J0(ξx2+y2)dξ(20)將上式代入廣義積分式(7)中,并在代入過程中將(20)式中的x,y,t分別以x-vt,y,t-τ代替.即得到移動(dòng)荷載作用下道面板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)精確解w(x,y,t)=∫-∞t2αe-υ(t-τ)F∫0∞ξ(ξ4+kˉξ2-λ)-12sin[β(t-τ)ξ4+kˉξ2-λ]J0[(ξ(x-vt)2+y2]dξdτ(21)由(21)式可以看出,當(dāng)?shù)鼗鶑椥阅Ａ縀值給定后,即可通過數(shù)值積分的方法得到道面板的彎沉值.反之,如果由實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到道面板的彎沉值,就可以通過實(shí)測(cè)彎沉與理論彎沉相擬合的方法識(shí)別出地基彈性模量E.在參數(shù)優(yōu)化過程中,采用取兩種彎沉差值的平方和最小的方法.目標(biāo)函數(shù)為δ(E)=∑i=1n(fi-fli)2n(22)式中:fi,fli分別為理論彎沉、實(shí)測(cè)彎沉,n為測(cè)點(diǎn)數(shù).由上式可見,逐一調(diào)整參數(shù)E使得此綜合誤差最小,此時(shí)的E即為所要識(shí)別的地基彈性模量.3道面板密度的確定某機(jī)場(chǎng)跑道為混凝土道面,其道面材料的參數(shù):彈性模量E0=3.5×1010Pa,泊松比μ0=0.167,道面板厚度h=0.1575m,密度ρ0=2300kg/m3;地基材料的參數(shù):泊松比μ=0.25,阻尼系數(shù)c=2.0×105Ns/m3,加載設(shè)備為飛機(jī)(F=1.0×105N).當(dāng)飛機(jī)以v=2.59m/s運(yùn)動(dòng)時(shí),道面板