第五章級數(shù)與廣義積分

第五章 級數(shù)與廣義積分§5.1 收斂性的討論一、基本概念與收斂的必要條件級數(shù)與廣義積分收斂性定義（1）設(shè)an是數(shù)列,則an稱為級數(shù).稱Sna1a2an為級數(shù)an的前n項部分n1n1和.若數(shù)列Sn收斂,則稱此級數(shù)收斂,并稱極限值limS為級數(shù)a的和.nnn1n(2)設(shè)fx是定義在a,b上的函數(shù),其中bR*R,.若對任意ta,b,fx在a,ttfxdx存在,b或fx在a,b上廣義可積,且上可積,且極限lim則稱積分fxdx收斂,tbaa記bfxdxtxdx.當bR且fx在點b附近無界時,稱b為瑕點.當b為或瑕點limfatba時,稱bfxdx為廣義積分.類似可定義a為時廣義積分bfxdx的收斂性.aa設(shè)fx是定義在a,b上的函數(shù),其中a,bR*bcb,定義fxdxafxdxac

fxdx,其中c a,b.若ca

fxdx與bfxdx都收斂時,稱積分bfxdx收斂,易證上述定義與c的選擇無關(guān).ca2.級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)an收斂,則liman0.n1n但是由廣義積分fxdx收斂,不能推出limfx0.ax例1存在1,上廣義可積的正值連續(xù)函數(shù)fx,使得limfx0.x解定義函數(shù)g(x)如下:當nxn11時,g(x)0;當n11xn11時,n2n22n2g(x)2n2xn11;當n11xn1時,g(x)2n2xn1.其中n取遍n22n2任意自然數(shù)函數(shù).g(x)的圖像如圖所示再令fxg(x)1,則fx在1,上連續(xù)恒正,x2且fxdxgxdx1dx11是收斂的,但是limfx20.x21n2111nx例2設(shè)f(x)在a,上一致連續(xù)且fxdx收斂,證明limfx0.ax證明由于f(x)在a,上一致連續(xù),0,0,當x',x''a,b且x'x''時,有1fx'fx''.由于fxdx收斂,存在M0,當x.M時,x.ftdtax由于xxfxdtxfxdtx.ftdtfxftftdtxxxxxxftdtfx2.即fx2.這證明了limfx0.所以fxftdtxxx例3設(shè)f(x)在a,上單調(diào)遞減非負且afxdx收斂,證明limxfx0.x證明由于fxdx收斂,0,存在M0,當x.M時,ftdt.又f(t)在x,2xax2上單調(diào)遞減非負,從而f2xx2x.故有02xf2x.因此當x.2Mftdtx2時,0xfx,所以limxfx0.x例4設(shè)f(x)在a,上可微,f'(x)可積,且當x時,f(x)單調(diào)遞減趨于零.又fxdx收斂,試證xf'xdx收斂.aa證明首先f(x)非負.否則,若存在1使得1,則1時恒有1)0,從而xf(x)0xxfxf(xfxdx發(fā)散,而這與已知條件矛盾.a其次由xf'xdxxdfxaxdfxxf(x)aaa

fxdx,且 fxdx收斂可a a知,xf'xdx收斂與否取決于limxfx是否存在.由例3證明過程可知limxfx0.axx例5設(shè)f(x)在a,上有連續(xù)可微函數(shù),積分fxdx和af'xdx都收斂.證明alimfx0.x證明要證x,f(x)有極限,由歸結(jié)原則,只要證xn恒有f(xn)收斂.事實上,由f'xdx收斂,由Cauchy收斂準則,0,存在Aa,當x,x.A時,恒有a12x2f'xdxfxfx.于是xn,存在N0,當n,mN時,有xn,xm.A,從2x112而xmf'xdxfxmfxn.所以f(xn)收斂.由歸結(jié)原則limfx存在.下證xnx0.若0,由局部保號性,存在0,當x時有f(x)0.從而A時22AfxdxA(當A時)這與fxdx收斂矛盾.同理可證0也不可能,故A2alimfx0.x二、收斂的充分條件1.比較原則設(shè)an與bn都是正項級數(shù),且存在N0,當nN時,anbn.n1n1(1)若bn收斂,則an收斂;(2)若an發(fā)散,則bn發(fā)散.n1n1n1n1推論設(shè)an與bn都是正項級數(shù),且存在N0,當nN時,an1bn1.n1n1anbn(1)若 bn收斂,則 an收斂;(2)若 an發(fā)散,則 bn發(fā)散.n1 n1 n 1 n 1對廣義積分有類似的比較原則 .例6設(shè)un是單調(diào)遞增的正數(shù)列 ,證明(1)當un有界時,1un收斂;(2)當un無界時,1un發(fā)散.unun1n11n1證明(1)由條件知limu存在,設(shè)limuu.因為nnnn01unun1unun1un,un1un1u1nuk1ukun1u1uu1),(nu1u1u1k1由比較原則級數(shù)1un收斂.un1n1(2)當u無界時,有l(wèi)imun.由于nnnp1uknpuk1uknpuk1ukunp1unun,uk1uk1knunp11unp1knknunp13對固定的n,取充分大的p使得un1,則有npuk1.由Cauchy收斂準則,級數(shù)unp1212knuk11un發(fā)散.un1n1練習設(shè)f(x)在1, 上連續(xù),對任意x 1, 有f(x) 0.另外limlnfx .xlnx試證若1,則fxdx收斂.1證明因lnfxlimxlnxlnfxlnx于是1,所以1

故0,存在A1,當xA時有l(wèi)nfxlnxlnx,所以0f(x)1(當xA時).因1,故取0x1fxdx收斂.dx收斂.由比較判別法x1

即1,2.比式判別法設(shè)an是正項級數(shù),若極限liman1q存在，則n1nan(1)當q1時級數(shù)an收斂;(2)當q1時級數(shù)an發(fā)散.n1n1練習1試證如下級數(shù)收斂(1)2222222222(2)3363662666

;.提示(1)令A(yù)n2222，an12An(其中A00),易證limAn2.nliman1lim22An1lim22xlim111(歸結(jié)原則).nann2An1X22xX222x2練習2設(shè)fx在x0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且limfx0．證明級數(shù)f1絕x0xn1n對收斂．證明1由limfx0得,f00,f00.又limfxlimf'x1f''0.由歸結(jié)x0xx0x2x02x24f1f1n2fx1n21原則,limlimlim2f''0故f''0,1,1nx0x2n2n2n2而級數(shù)1收斂,由比較判別法知f1絕對收斂．n1n2n1n證明2由limfx0得,f00,f00.fx在x0某鄰域內(nèi)的二階泰勒展式為x0xfxf0f0x1fxx21fxx2,0122由fx連續(xù)知，M0，有fxM，從而有f1M1n2n2故f1絕對收斂．n1n例7（比式判別法的推廣）設(shè)an是正項級數(shù),則n1(1)當liman11時,級數(shù)an收斂;(2)當liman11時,級數(shù)an發(fā)散.nann1nann1證明(1) 設(shè)q liman11,存在 0使得q 1.由上極限的性質(zhì) ,存在N 0,當n Nan時an1q1.故有aN1qaN,anaN2qaN1q2aN,aNpqpaN,p由于等比級數(shù)q收斂,由比較原則,aNp收斂,所以級數(shù)an收斂.p1p1n1（2）設(shè)qliman11,存在0使得q1.由下極限的性質(zhì),存在N0,當nN時,nanan11.因此an1an,所以原級數(shù)是發(fā)散的.qan53.根式判別法設(shè)an是正項級數(shù),若極限limnal存在，則n1nn(1)當l1時級數(shù)an收斂;(2)當l1時級數(shù)an發(fā)散.n1n1（根式判別法的推廣）設(shè)an是正項級數(shù),則n1(1)當limnan1時,級數(shù)an收斂;(2)當limnan1時,級數(shù)an發(fā)散.nn1nn1證明可仿照例7進行.4.Raabe判別法(極限形式)設(shè)an是正項級數(shù)且極限limn1an1r存在.n1nan(1)若r1,則級數(shù)收斂;(2)若r1,則級數(shù)發(fā)散.證明取0使得r0r1.存在N0,當nN時,an1r0,由此得n1anr0p111an11r0.取p滿足1pr0.由于nn1r0p,annlim10nnrpr0np故當n充分大時,111,即1.0nn1nn1所以an1p11nn1p.因此由收斂與比較原則的推論可知an收斂.ann11n1npn1npan11,an11n1n.(3)當n充分大時,有n1anan1nn1由調(diào)和級數(shù)1發(fā)散與比較原則的推論可知an發(fā)散.n1nn12n1!!p例8討論級數(shù)的斂散性.2n!!n12n1!!p,由于解設(shè)an2n!!6pan12np111n112n2np(n),n12n2an12n222n2(此處利用已知極限lim1xp1p),由Raabe判別法,當p2時級數(shù)收斂;當p2時級數(shù)x0x發(fā)散;當p2時由Raabe判別法的證明過程知級數(shù)發(fā)散.推論lim2n1!!0.2n!!例9討論級數(shù)n!的斂散性.其中x0.n1x1x2xnn!an1n1n1nx),解設(shè)anxn.由于n1xn1x(nx1x2anxn1由Raabe判別法,當x1時級數(shù)收斂;當x1時級數(shù)發(fā)散;當x1時級數(shù)為11,,因此級23數(shù)是發(fā)散的.例10設(shè)數(shù)列an單調(diào)遞減非負,證明級數(shù)an收斂當且僅當級數(shù)2ka2k收斂.n1k0證明設(shè)Sna1a2an,Tka12a22ka2k.當n2k1時,Sna1(a2a3)(a2ka2k11)a12a22ka2kTk.因此若級數(shù)kk收斂,則數(shù)列T有界,從而數(shù)列S有界,這推出級數(shù)收斂.當2a2knank0n1n2k時,Sna1a2(a3a4)(a2k11a2k)1a1a22a42k1a2k1Tk.22故由級數(shù)an收斂可推出級數(shù)2ka2k收斂.n1k0例11設(shè)an0(n1,2,),證明數(shù)列1a11a21an與級數(shù)an同為收斂或發(fā)散.n1證明令un121an,則lnunln1a1ln1a2ln1an.1a1a7所以un收斂lnun收斂ln(1an)收斂.由于當liman0時有l(wèi)imln(1an)1,所n1nnan以ln(1an)與an同為收斂或發(fā)散,從而數(shù)列un與級數(shù)an同為收斂或發(fā)散n1n1n1注當數(shù)列1a11a21an收斂時,稱無窮乘積1an收斂,其極限值稱為無窮乘積n1的值.否則稱無窮乘積發(fā)散.例如發(fā)散而收斂.例12設(shè)an0(n1,2,)且limana0,證明級數(shù)an1an與級數(shù)11同為nn1n1an1an收斂或發(fā)散.證明令unan1an,vn11.an1an則unan1anan1an2.(n)所以級數(shù)un與級數(shù)vn同為收斂或發(fā)散.vn11an1n1an1an例13設(shè)正項級數(shù)an是發(fā)散的,Sn表示該級數(shù)的前n項部分和.證明（1）級數(shù)an也是n1k0Sn發(fā)散的;（2）級數(shù)an收斂．n1Sn2證明(1)由條件知Sn單調(diào)遞增趨于.我們有makan1an2aman1amSmSn1Snkn1SkSn1Sn2SmSmSmSm固定n,令m,則Sn0.因此存在N0,當mN時,有Sn1.所以當mmaxn,NSmSm2時,mak111.由Cauchy收斂準則級數(shù)an發(fā)散.kn1Sk22k0Snnak1nak1n11212，此級數(shù)部分（2）k1Sk2a1k2SkSk1a1k2Sk1SkS1Sna1和有界，故該級數(shù)收斂．5.Leibniz判別法設(shè)交錯級數(shù)n(其中an0)滿足1ann18(1)an單調(diào)遞減;(2)liman0,則級數(shù)1nan收斂.nn16.Abel判別法設(shè)(1)級數(shù)an收斂;(2)數(shù)列bn單調(diào)有界,則級數(shù)anbn收斂.n1n17.Dirichlet判別法設(shè)(1)級數(shù)an的部分和有界;(2)數(shù)列bn單調(diào)遞減且limbn0,n1n則級數(shù)anbn收斂.n1對于廣義積分有相應(yīng)的Abel判別法與Dirichlet判別法,這里就不再復(fù)述了.例14設(shè)函數(shù)fx在a,上fx0,且單調(diào)遞減,并對任意的Aa,fx在a,A上可積.試證明:fxdx與fxsin2xdx具有相同的斂散性.11證明因fx0,且單調(diào)遞減,故fx單調(diào)遞減到0或到某個正數(shù)A.（1）當fx單調(diào)遞減到0時,則由Dirichlet判別法知,fxsin2xdx=fx1cos2xdx=1fxdx1aa22a2

fxcos2xdx收斂.從而由afxcos2xdx知,afxdx與afxsin2xdx具有相同的斂散性.a（2）當fx單調(diào)遞減到某個正數(shù)A時,則對無論多么大的數(shù),有fxdxafxdxA.aafxsin2xdxafxsin2xdxaaAsin2xdxa1A1AaAa1cos2xdxcos2xdx,aa222a故這兩個積分都發(fā)散.n1例15討論級數(shù)11的斂散性.pn1nn解（1）當p0時,通項不收斂到0n,此級數(shù)發(fā)散;（2）當p1時,11,而1收斂,由比較原則知,原級數(shù)絕對收斂；1npnnppn9（3）當0p1時,1n1收斂,1單調(diào)有界,應(yīng)用Abel判別法知原級數(shù)收斂.因為n1np1nn1n111n,故原級數(shù)條件收斂.p11nnnn例16設(shè)an0(n1,2,),且極限limn1an1存在且大于0證明級數(shù)n1收斂.an1annn1證明由Leibniz判別法,只要證an單調(diào)遞減趨于0.由條件limn1an10知,nan存在r00與N10,當nN1時,n1an1r00,由此得anan11r0.該不等式說明an單調(diào)遞減的.取p滿足0pr0.當n時,有annr0p111nn1rp0,10nr011pr0np故存在N20,當nN2時,10,即1.nn1nn1an1npnp所以當nmaxN1,N2時,,即an1an.不妨設(shè)當n1時該不等式成立.ann1n1p則用數(shù)學(xué)歸納法可證明an1a1p.由此可得liman0.n1n12n1!!p例17討論級數(shù)1n的斂散性.n12n!!2n1!!p解設(shè)an,由例8知級數(shù)an當p2時收斂,當p2時發(fā)散.因此當p2時2n!!n1級數(shù)1n1絕對收斂,此時有ann11pp11n1an1n12n12n2n,故limn1an1p.由例16知當p0時an2n212n2nan22n2級數(shù)1n1an條件收斂.n110pp由收斂的必要條件知當p0時,lim2n1!!0.因此當p0時,lim2n1!!.n2n!!n2n!!故級數(shù)1n1an發(fā)散.本題的結(jié)論可總結(jié)為:n1p2時絕對收斂n12n1!!0p時條件收斂.12n!!2n1p時發(fā)散0例18證明級數(shù)sinn是條件收斂的.n2lnn證明令ansinn,bn1.則bn單調(diào)遞減趨于0.又由三角恒等式lnnmcos3cosm1,所以m1.sinn221sinn1n2n22sinsin22由Dirichlet判別法知級數(shù)sinn收斂.n2lnn下面證明sinn發(fā)散.sinnsin2ksin2k1sin2ksin2k1.n2lnnlnnln2kln2k1k1ln2k1n2k1設(shè)fxsinxsinx1,顯然fx0且fx是連續(xù)的周期函數(shù).因此存在l0使得fxl.所以sinnl1.由此可知級數(shù)sinn發(fā)散.n2lnnk1ln2k1n2lnn例19討論級數(shù)111sinnx的斂散性.n12nn解當xk時級數(shù)顯然收斂.當xk時,令ansinnx,bn1111.同例18可證n2nan部分和有界.下證bn單調(diào)遞減趨于0.n1bnbn1111111111111n0.n2nn12n1nn12nn1由Dirichlet判別法知級數(shù)ab收斂.nnn1用類似于例18的方法可證該級數(shù)是條件收斂的.例20若nxn收斂，nxnxn1收斂,則級數(shù)xn收斂.n2n1證明令i1,則nn.利用Abel變換得到xi,vinvi111nn1n1.xi1nxnixi1xinxnixi1xii1i1i1由于nxn1xnn1xn1xnn.而n單調(diào)有界,級數(shù)n1n1n11nn1xn1xnnxnxn1收斂.由Abel判別法知級數(shù)nxn1xn收斂.再由數(shù)n1n2n1列nxn的收斂性即可知級數(shù)n1xn收斂.練習設(shè)an收斂，limnan0．證明：n(anan1)an．n1nn1n1證明記級數(shù)n(anan1)的前n項和為Sn，則n1Sn(a1a2)2(a2a3)n(anan1)a1a2annan1，而limnan1lim[n(n1)an1]0，所以n(anan1)an．nnn1n1n1例21設(shè)p0,級數(shù)111的和記為S.證明1S1.nn1np2證明顯然S1111111111.2p3p4p2p3p4p5p另一方面,S1111112p3p4p2n1p2np令fx1pxp1,f''xp(p1)xp20時,f''x0.因此xp,則f'x.當xfx為嚴格下凸函數(shù).故對任意x1,x20,當x1x2時,有f(x12x2)fx1fx2.取2x12n1,x22n1,則2f2nf2n1f2n1即f2n1f2nf2nf2n1.所以1111,1111,.11112p2p3p4p4p5p2n1p2np2np2n1p3p因此S1111111S.所以S1.2p3p4p5p2np2n1p2例22討論級數(shù)1nn的斂散性.n1解1n1111111111nn12345678915121k1111n1k2k21k12令a111.kk2k21k121由于1k211k111k1k12,故ak2.k2k1k2k12k2k2kkk同理可證akkk12.k2k1k121k1因此ak是單調(diào)遞減趨于0的.所以級數(shù)k111收斂,從而原級數(shù)收斂.1k2k21k121n1注上例中實際上是證明了加括號后的級數(shù)是收斂的.問題是:一個變號級數(shù)加括號后收斂能否推出原級數(shù)是收斂的?在一般情況下是不行的.例如級數(shù)1111是發(fā)散的,但加括號后的級數(shù)1111收斂.我們有以下的定理.定理將級數(shù)n1an加括號,使得同一括號內(nèi)的項具有相同的符號.如果加括號后的級數(shù)收斂,則原級數(shù)也收斂,且兩個級數(shù)的和相等.證明設(shè)加括號后的級數(shù)為a1an1(an11an2)Ak.k1其中Aank11ank.(k1,2,,且設(shè)n00)k設(shè)an的部分和為Saa2a,則SnA1A2Ak.n1nkn1由條件知級數(shù)Ak收斂.因此極限limSnk存在,記S為其極限值.設(shè)nknnk1,則當Ak1k1k中的項全為正項時,SnkSnSn;則當Ak1中的項全為負項時,SnSnSn.k1k1k因此limSnS,即anA.nkn1k11x例23討論廣義積分dx的斂散性.0x解顯然該積分不是絕對收斂的.設(shè)nxn1,則n2x22n1.1xn11k 1

xn1k121kx1ndxdtdtk1k2tn2tklntk121lnxn11lnk11lnx.nknk2n2k1kn213由Leibniz判別法,級數(shù)kln11是收斂的,而1k1knxn1210,x2ln11lnln2nn2n1x所以積分dx是條件收斂的.0x例24將級數(shù)1111的項重新排列,使得按原有順序先排p個正項與q個負項,然234后再排p個正項與q個負項,得11111111.32p122q2p14p12q2證明此級數(shù)收斂并求其和.證明由lim1111lnnC,其中C是Euler常數(shù).令23nnHn1111,則HnlnnCn,其中n0n.我們有23n1111Hq1lnqC1q;242q222111ln2lnpC11132p1H2p2Hp2p2lnpC2p111.ln22lnp2C2p2p將重排以后的級數(shù)的符號相同的相鄰的項加括號,得1111111.32p122q2p14p1它的前2n項部分和為S2nln2pn,其中l(wèi)imn0.所以原級數(shù)是收斂的,其和為qnln2p.q特別地有1111111ln2,p1,q22436821111113ln2,p2,q1325742111111110.p1,q424683101614§5.2 一致收斂性及其應(yīng)用一、基本概念與主要結(jié)果一致收斂性的定義(1)設(shè)fnx(n1,2,)與fx都在區(qū)間I上有定義,0，N0，當nN時,有fnxfx對一切xI成立．則稱函數(shù)列fnx在I一致收斂于fx.(2)設(shè)n1unx是函數(shù)項級數(shù),其中每一個unx在I上有定義.記nx，xI.若函數(shù)列Snx在I上一致收斂于某函數(shù)Sx，則稱Snxukunxk1n1在I上一致收斂于Sx．(3)設(shè)fx,ydy是含參量廣義積分,其中fx,y定義在Ia,上.記aIx,AAx,ydy.若當A時Ix,A在I上一致收斂于某函數(shù)Ix．則稱廣義fa積分fx,ydy在I一致收斂于Ix.a一致收斂性的判斷(1)（一致收斂的柯西準則）unx在I上一致收斂0，N0，nN，n1p，xI，有un1xunpx．(2)若unx在I上一致收斂于SxlimsupSxSnx0n1nxIlimsupRnx0．（RnxSxSnxukx）．nxIkn1推論 級數(shù) unx在I上一致收斂的必要條件是： unx 一致收斂于零．1Wwierstrass判別法(魏爾斯特拉斯判別法,M判別法或優(yōu)級數(shù)判別法）若unx Mn，對一切x I成立且正項級數(shù) Mn收斂，則 unx在I上一致n1 n1收斂．(4)Dirichlet 判別法 若1）級數(shù) unx的部分和函數(shù)列在 I上一致有界；n1152）xI，vnx在I上對n是單調(diào)的；3）vnx0（n），xI，則級數(shù)unxvnx在I一致收斂．1Abel判別法若1）級數(shù)unx在I一致收斂；n12）xI,vnx在I上對n是單調(diào)的(即v1xv2x或v1xv2x)；3） vnx 在I一致有界，即 M 0，vnx M， x I，n 1,2, ．則級數(shù) unxvnx在I一致收斂．n13．和函數(shù)的分析性質(zhì)定理1若unx在x0處連續(xù)（n1,2,），且unx在x0某領(lǐng)域一致收斂，則n1nSxukx在x0處連續(xù)．k1定理2若unx在a,b內(nèi)連續(xù)（n1,2,），且unx在a,b內(nèi)閉一致收斂，則n1nukx在a,bSx內(nèi)連續(xù)．k1定理3（連續(xù)性）若unx在a,b一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其和函數(shù)在a,bn1上也連續(xù)，即limunxlimunx．xx0n1xx0n1即求和與求極限可以交換次序．定理4（逐項求積）在定理14的條件下，有bbaunxdxunxdx．n1n1a即求和與求積分可交換次序．定理5（逐項求導(dǎo)）若函數(shù)項級數(shù)unx滿足條件：n1（1）unx在a,b上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，n1,2,；（2）x0a,b，unx在x0點收斂；n116（3）unx在a,b一致收斂，n1則unxunx．n1n1例1設(shè)f0x在a,b上正?？煞e，fnxxtdt，n1,2,fnfn1．證明函數(shù)項xan1在a,b上一致收斂．證明（遞推方式放大）由f0x在a,b上正?？煞e知f0x在a,b有界，即M0，使得f0xM，xa,b．從而f1xxf0tdtMxa，axxMxa2，f2xaf1tdtMtadta2!一般地，若對n有fnxMxan，則n!Mfn1xxMxnn1fntdtn!tadtn1!xa，aaMbanMban從而有fnx.由于級數(shù)收斂，由Weierstrass判別法,n!n!n1n1fnx在a,b上一致收斂．練習設(shè)f1x在a,b上正?？煞e，fnxxfntdt，n1,2,．證明：函數(shù)序列1afnx在a,b上一致收斂于零．例2（函數(shù)列Dini定理）若(1)fn(x)在a,b上連續(xù)n1,2,，(2)對任意xa,b,f1(x)f2xfnx，(3)limfnxfx且f(x)在a,b上連續(xù)．n則函數(shù)列fn(x)在a,b上一致收斂于fx．證明（反證法）設(shè)fn(x)在a,b上不一致收斂于fxn1,2,.由于fn(x)遞增,00，n0，xna,b，使得fnxnfxn0．(1)由于xn是有界數(shù)列,由致密性定理，存在收斂子列,不妨設(shè)xnx0n．又由于limfnx0fx0,從而存在N0使得0f(x0)fNx00.由于f(x)fNx在n點x0連續(xù)且xnx0,故存在N10使得當nN1時,有0f(xn)fNxn0.當nmaxN,N1時,由fN(xn)fnxn,得0f(xn)fnxn0.這與(1)式矛盾.注當條件(2)改為”xa,b,f1(x)f2xfnx”時結(jié)論仍然成立.17（函數(shù)項Dini定理）設(shè)函數(shù)項級數(shù)unx的每項均在有限區(qū)間a,b上連續(xù)，且收斂于n1連續(xù)函數(shù)f(x)．若xa,b，級數(shù)unx為同號級數(shù)，則unx在a,b上一致收n1n1斂于fx．證明（反證法）假設(shè)在a,b上非一致收斂，則00，使得N0，nN，xa,b，rnx0．取N1，n11，x1a,b，使Rn1x10；取Nn1，n2n1，x2a,b，使Rnx2，，如此下去得一子列Rnk，使得2Rnkxk0，k1,2,．（1）由致密性定理，有界數(shù)列xk中存在收斂子列xkj：xkjx0a,b．由題設(shè)知unx是同號級數(shù)，因此Rn(x)關(guān)于n單調(diào)遞減，所以由（1）得：當nkjm時，n1RmxkjRnkjxkj0由于RmxfxSmx連續(xù)，故當j時，Rmx00，這與unx在a,bn1上收斂相矛盾，故一致收斂．例3設(shè)(1)對每一n,fn(x)是a,b上的單調(diào)函數(shù)，(2)limfnxfx且f(x)在a,bn上一致連續(xù)．證明函數(shù)列fn(x)在a,b上一致收斂于fx．注本題條件中不要求對任意n,fn(x)都是單調(diào)遞增的或都是單調(diào)遞減的.證明由于f(x)在a,b上一致連續(xù),故0,0,當x',x''0且x'x''時,有fx'fx''.(1)2將區(qū)間a,b作k等分,使得ba.設(shè)其分點為x0ax1x2xnb.k由于limfnxfx,故存在N0,當nN時,nfnxjfxjj1,2,,k.(2)2對于任意xa,b,存在j使得xxj1,xj.由于fn(x)為a,b上的單調(diào)函數(shù),fn(x)介于fn(xj1)與fn(xj)之間.因此fnx fx maxfnxj1 fx,fnxj fx .由不等式(1)與(2),fnxj1 fx fnxj1 fxj1 fxj1 fx ,18fnxjfxfnxjfxjfxjfx.所以fnxfx.故fn(x)在a,b上一致收斂于fx．例4證明級數(shù)sinnx在0,2上收斂而非一致收斂．n1n證明由Dirichlet判別法知sinnx對任意x收斂.n1n對任意m,取xm.注意當nm1,,2m時,有nxm.所以4m422msinnxm2msin41sin2nnm12m2.nm144由Cauchy收斂準則sinnx上非一致收斂．,在0,2n1n注可以證明sinnx在,2上一致收斂,其中0,但在x0的任一鄰域內(nèi)n1n非一致收斂．n p分析 估計k n1

sinkx的麻煩在于每項因子有sinkx，否則np1很容易證明其發(fā)散．因此，kkn1k我們想：在x0的任一鄰域U0,，當k從n1變化到np時，sinkx能否大于某常數(shù)，若能則必非一致收斂．事實上，當x,2時，sinkxsin，因此，取x0U0,，44使sinkx0sin，即只需kx04,，kn1,,2n．取x0即可．424n證明取02N，nN，pn，x0U0,，有，4n42nsinkx02n1sin1sin420，kn1kkn1k424由柯西收斂準則知sinnx非一致收斂．n1n例5設(shè)an是單調(diào)遞減的正數(shù)列,且級數(shù)ansinnx在,上一致收斂.證明n1limnan0.n證明由于ansinnx在,上一致收斂,0,存在N0,當nN時,n119ansinnxan1sinnx1a2nsin2nx對任意x成立.取x1則2n0ansin1an1sin11a2nsin1.222n由于an單調(diào)遞減,有na2nsin1ansin1an1sin11a2nsin12222n所以lim20.同理可證lim2n1a2n10.因此limnan0.2nnnn注本題可推出sinnx在0,2上不一致收斂.n1n例6設(shè)f(x)在開區(qū)間a,b內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)f(x).令fn(x)n[f(x1)f(x)]．n證明對任意閉區(qū)間c,da,b,函數(shù)列fn(x)在[c,d]上一致收斂于f(x)．證明取d'滿足dd'b由于f(x)在[c,d']上連續(xù)，從而一致連續(xù)，即0,0，當x1,x2[a,b],且x1x2時，有f(x1)f(x2)．由微分中值定理,存在x,x1使得n[f(x1f(x)]f'n.nnn)所以fn(x)f(x)f(n)f(x).存在N0,使得1且c1d',則當NNnN時,nx,從而fn(x)f(x).這證明了fn(x)在[c,d]上一致收斂于f(x)．練習設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，ab．對每一個自然數(shù)1，定義函數(shù)：fn(x)n[f(x1)f()]fn(x)在[a,]上一致收斂nnx．試證：b于f(x)．證明f(x)在[a,b]上連續(xù)，從而一致連續(xù)，即0,0，x1,x2[a,b]，當x1x2時，有f(x1)f(x2)．取Nmax1,1，則當nN時，x[a,]，有x1[a,b]，從而由上式和bn微分中值定理得fn(x)f(x)f(xn)f(x)(0nn1)，20即fn(x)在[a,]上一致收斂于f(x)．7設(shè)f1(x)x,fn1(x)ffnxn1,2,.證明函數(shù)列fn(x)例fx1x2在,上一致收斂于0．x證明由于f2(x)ffx1x2x211x2用數(shù)學(xué)歸納法可證對任意n有,fn(x)fx1對任意x與n成立,所以由此推出fn(x)n

x,12x2x1 nx2fn(x)在 , 上一致收斂于 0．例8證明xn1x2在0,1上一致收斂．n1證明（最大值法）記unxxn1x2，則unxnxn11x22xn1x令unx0得穩(wěn)定點x0,1,nnun0un10，所以unx在0,1，而unnn22上的最大值為unn，從而2nnnn2n224unx112n2n2n2n2n2．42收斂知xn12由x在0,1上一致收斂．n1nn1例9設(shè)xn0,1,對任意x0,1定義fx1是區(qū)間中全體有理數(shù)x2n,求定積分xn1f(x)dx的值．0解顯然fx在0,1上是單調(diào)遞增有界函數(shù),因而是可積的.0,xxn,令gnx1xxn.,2n則gnx1xnx1fx.由于gnx1n1,2,且1收n1n12nxnx2n2nn12n斂,由Weierstrass判別法,級數(shù)gnx在0,1上一致收斂.由逐項積分定理,n1xn111f(x)dx0gn(x)dx12n.0nn121例10設(shè)xn是區(qū)間0,1中全體有理數(shù)．試討論函數(shù)fxsgnxxn在0,1的連續(xù)性，其中sgnx是符號函數(shù)．n12n解令fnxsgnxxn.顯然fnx有惟一的間斷點xn,且fnx在,上一致2nn1收斂于fx..對任意n,令gnxfkx,則fxfnxgnx.由于fkx中每一項fkx在knknxxn連續(xù),且該級數(shù)一致收斂,因此gnx在xxn連續(xù).但是fnx在xxn不連續(xù),所以fx在xxn不連續(xù).同理可證fx在任意無理點是連續(xù)的.注fx在[0,1]1112xn上是可積的且fxdxfnxdx,02n.0n1n1練習設(shè)xn是區(qū)間0,1的一個序列，0xn1，且xixj，ij．試討論函數(shù)fxsgnxnxn在0,1的連續(xù)性，其中sgnx是符號函數(shù)．n120sgnxxn1，而n11sgnxxn解12n2n2n收斂，故n12n一致收斂．20設(shè)x0xn為0,1中任一點，則通項unx在x0連續(xù)，由定理1（P17）知fx在x0連續(xù)．30設(shè)x0為xn中某點，不妨設(shè)為xk，則fxsgnxxnsgnxxk，nk2n2k上式右端第一項連續(xù)，第二項在xxk處間斷，從而其和間斷，即fx在xk處間斷．例11設(shè)fn(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)列,且在[a,b]上一致收斂于f(x)，又xn[a,b](n1,2,,)滿足limxnx0．證明limfn(xn)f(x0)．nn分析fn(xn)f(x0)fn(xn)f(xn)f(xn)f(x0)．證明由一致收斂定義得：0,N10,當nN1時,對一切x[a,b]，有fn(x)f(x)．（1）又fn(x)連續(xù)，且一致收斂于f(x)，所以f(x)在[a,b]也連續(xù)，進而在x0處連續(xù).則對上述0，0，當xU(x0,)[a,b]時，有f(x)f(x0)．而limxnx0，則對上述0,N20,當nN2時，有xnx0，從而當nN2n時，有f(xn)f(x0)．（2）取NmaxN1,N2，則當nN時，（1）和（2）式均成立，故有22fn(xn)f(x0)fn(xn)f(xn)f(xn)f(x0)2，所以limfn(xn)f(x0)．n例12設(shè)fn(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)列，且在[a,b]上一致收斂于f(x),又f(x)在[a,b]上無零點.證明1[a,b]上一致收斂于1fnxf.x證明由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，且恒不為0,因此f(x)在[a,b]上同號.不妨設(shè)f(x)恒正.由連續(xù)函數(shù)的最值定理,f(x)在[a,b]上有正的最小值m,故f(x)m.由于f(x)在[a,b]上一致收斂于f(x),N0，當nN時，x[a,b]，有fn(x)f(x)m，所以m,fnmmm.又2fnxf(x)fnxf(x)xfxm0,2222N20,當nN2時,x[a,b],fn(x)f(x)m2maxN1,N2，.因此取N2則當nN時,對任意x[a,b]11fn(x)f(x)2m2，有m2fn(x)f(x)fn(x)f(x)2這證明了1[a,b]上一致收斂于1.fnfxx練習設(shè)fn(x)為[a,b]上連續(xù)函數(shù)列，且fn(x)f(x)(n),x[a,b]．（1）證明：若f(x)在[a,b]上無零點，則當n充分大時，fn(x)在[a,b]上無零點，且有11(n),x[a,b]．fn(x)f(x)證明由函數(shù)列一致收斂的性質(zhì)知f(x)在[a,b]上連續(xù)，又f(x)在[a,b]上無零點，故由連續(xù)函數(shù)的零點定理知f(x)在[a,b]上不變號，不妨設(shè)f(x)0．設(shè)m為其最小值，則m0．由（1）得：對m2，N0，當nN時，x[a,b]，有fn(x)f(x)，由此得：當nN時，有fn(x)f(x)m，2所以當nN時，fn(x)在[a,b]無零點．同時，我們有1 1fn(x) f(x)由一致收斂的定義立得例13證明Riemann函數(shù)

fn(x)f(x)42fn(x)f(x)，fn(x)f(x)m11(n),x[a,b].fn(x)f(x)x1,且有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù).x在1,連續(xù)但不一致連續(xù)n1n23任取x0(1,),存在0,滿足1x0,則當x[1,11證明),n1.由)上一致收斂.又每一項1nx于級數(shù)1收斂,所以1在[1,在[1,)上n1n1n1nxnx連續(xù),所以(x)在[1,),上連續(xù)從而在點x0連續(xù).由x0的任意性,(x)在(1,)上連續(xù).再證(x)在(1,)上不一致連續(xù).對任意x(1,),x111111n1nx12x3x4x5x8x12411111.1112x12x4x8x2x22x123x212x2112x1當x1時,2,所以(x).若(x)在(1,)上一致連續(xù),則2x(x)在(1,)上不是一致連續(xù)的.lim(x)存在且有限,這是不可能的.因此x1記un(x)1(k)(x)(1)klnkn1,2,.x0(1,)，0,nx，由歸納法得：unnx,k使得x0[12,13]．在區(qū)間[12,13]上，有un(k)(x)(1)klnknlnkn1,k1,2,.nxnn1而limlnkn0，所以當n充分大時，有nun(k)(x)1，n1由M判別法知：對任意正整數(shù)k，級數(shù)un(k)(x)在[12,13]上一致收斂，因此，n1由數(shù)學(xué)歸納法知(x)在[12,13]上存在任意階導(dǎo)數(shù)，從而在點x0存在任意階導(dǎo)數(shù)，由x0的任意性知(x)在(1,)上存在任意階導(dǎo)數(shù)，且連續(xù)．xnlnx在(0,1上不一致連續(xù);((2)121.例14證明：(1)xnlnxdxn106n1證明(1)當x(0,1