第2課時角平分線的判定課件人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

第十二章全等三角形第2課時角平分線的判定1.探索并證明角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上.3.會用角平分線的判定解決實際問題.

學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點

新課引入你還記得上節(jié)課所學(xué)的角平分線的性質(zhì)定理嗎？角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？一

角平分線的判定思考如圖，要在

S

區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到鐵路和公路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處

500m，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？DCSO解：作夾角的角平分線

OC，在射線OC上截取

OD=500m，則點

D即為所求.新知學(xué)習(xí)我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢?利用三角形全等，可以得到角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.按照上述證明命題的步驟，自己證一證這個結(jié)論.證明如圖，點P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，PO=PO，

∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴點P在∠AOB的平分線OC上.歸納角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.使用定理時這樣書寫：∵點P是∠AOB內(nèi)的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐例1如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F且DB=DC.求證：AD是∠BAC的平分線.證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF，

DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE=DF.∴即AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐二

三角形的內(nèi)角平分線探究1分別畫出以下三角形的三個內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？三角形的三條角平分線相交于一點，且交點位于三角形的內(nèi)部.ABC┐ABCABC探究2過交點分別作三角形三邊的垂線，測量一下每一組垂線段的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么？ABCABBCAC過三角形三條角平分線交點作三角形三邊的垂線段相等.┐┐┐┐┐┐┐┐┐D

E

F

A

B

C

P

N

M

例2如圖，△ABC的角平分線

BM，CN相交于點

P，求證：點

P到三邊

AB，BC，CA

的距離相等.證明：過點

P作

PD，PE，PF分別垂直于

AB，BC，CA，垂足分別為

D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC

的角平分線，點

P

在

BM

上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD=PE=PF.即點

P到三邊

AB，BC，CA的距離相等.針對訓(xùn)練1.如圖，在直角△ABC

中，AC＝BC，∠C

＝90°，AP

平分∠BAC，BD

平分∠ABC；AP，BD

交于點

O，過點

O

作

OM⊥AC于點

M，若

OM＝4.(1)

求點

O

到△ABC

三邊的距離和；MENABCPOD解：如圖，過點

O

作

ON⊥BC于點

N,過點

O

作

OE⊥AB于點

E,∵OM＝4.∴OM+ON+OE=4+4+4=12.(2)

若△ABC

的周長為

32，求

△ABC

的面積.解：連接

OC.ENABCPODM過三角形三條角平分線的交點O向任一邊作垂線段h，三角形周長為C，則三角形面積=.隨堂練習(xí)1.如圖，在△ABC

中，點

O

是△ABC

內(nèi)一點，且點

O

到△ABC

三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC

的度數(shù)為

()A.110°

B.120°

C.130°

D.140°解析：由于

O

到△ABC

三邊的距離相等，故

O

是三條內(nèi)角平分線的交點，即

BO，CO

都是內(nèi)角的平分線，則∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB.∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°.∴∠BOC＝180°－70°＝110°.答案：A證明：如圖，過點F作FG⊥AE于點G，F(xiàn)H⊥AD于點H，F(xiàn)M⊥BC于點M.2.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F.求證：點F在∠BAC的平分線上．GHM∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC.∴FG=FM.同理可得∴FM=FH.∴FG=FH，∴點F在∠BAC的平分線上．3.如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC.求證：AM是∠DAB的平分線.∵DM平分∠ADC，∠C=∠DNM=90°∴MN=MC（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等），N解：如圖，作MN⊥AD于N，∵