第五章 方差分析

第五章方差分析第1頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)方差分析的基本原理

k(k≥3)個樣本平均數(shù)的假設測驗方法，即方差分析(analysisofvariance)方差分析就是將總變異剖分為各個變異來源的相應部分，從而發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對重要程度的一種統(tǒng)計分析方法。一、自由度和平方和的分解設有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個觀察值，則該資料共有nk個觀察值，其數(shù)據(jù)分組如表

第2頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月總變異是nk個觀察值的變異，故其自由度，而其平方和則為：

第4頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月總平方和=組內(nèi)(誤差)平方和+處理平方和組間變異由k個的變異引起，故其自由度

,組間平方和為：

第5頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月組內(nèi)變異為各組內(nèi)觀察值與組平均數(shù)的變異，故每組具有自由度和平方和；資料共有組，故組內(nèi)自由度組內(nèi)平方和為：

第6頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表中類型資料的自由度分解式為：總自由度DFT=組間自由度DFt+組內(nèi)自由度DFe（組內(nèi)均方也稱誤差均方）

第7頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.1]以A、B、C、D4種藥劑處理水稻種子，其中A為對照，每處理各得4個苗高觀察值(cm)，其結果如表5.2，試分解其自由度和平方和。

第8頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.2水稻不同藥劑處理的苗高(cm)

第9頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月總自由度的剖分：總變異自由度DFT=(nk-1)=(4

4)-1=15藥劑間自由度DFt=(k-1)=4-1=3藥劑內(nèi)自由度DFe=k(n-1)=4

(4-1)=12總平方和的剖分：

第10頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月或第11頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月以上藥劑內(nèi)均方系4種藥劑內(nèi)變異的合并均方值，它是表5.2資料的試驗誤差估計；藥劑間均方則是不同藥劑對苗高效應的變異。第12頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二、F分布與F測驗若所得F≥F0.05或≥F0.01，則H0發(fā)生的概率小于等于0.05或0.01，應該在=0.05或=0.01水平上否定H0，接受HA；若所得F＜F0.05或F＜F0.01，則H0發(fā)生的概率大于0.05或0.01，應接受H0。

第13頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月F分布曲線（隨和的不同而不同）

第14頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月在方差分析的體系中，F(xiàn)測驗可用于檢測某項變異因素的效應或方差是否真實存在。所以在計算F值時，總是將要測驗的那一項變異因素的均方作分子，而以另一項變異(例如試驗誤差項)的均方作分母。如果作分子的均方小于作分母的均方，則F＜1；此時不必查F表即可確定P＞0.05，應接受H0。F測驗需具備：(1)變數(shù)y遵循正態(tài)分布N(，)，(2)和彼此獨立兩個條件。

第15頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.2]測定東方紅3號小麥的蛋白質(zhì)含量10次，得均方=1.621；測定農(nóng)大139小麥的蛋白質(zhì)含量5次，得均方=0.135。試測驗東方紅3號小麥蛋白質(zhì)含量的變異是否比農(nóng)大139為大。

第16頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月假設H0：東方紅小麥總體蛋白質(zhì)含量的變異和農(nóng)大139一樣，即H0：=，對HA：＞。顯著水平取=0.05，=9，

=4時，F(xiàn)0.05=6.00。測驗計算:

此F＞F0.05，即P＜0.05。推斷：否定H0，接受HA，即東方紅3號小麥蛋白質(zhì)含量的變異大于農(nóng)大139。

第17頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.3水稻藥劑處理苗高方差分析表第18頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)多重比較

處理平均數(shù)間的比較

一個試驗中k個處理平均數(shù)間可能有k(k-1)/2個比較，因而這種比較是復式比較亦稱為多重比較（multiplecomparisons）。這種在F測驗基礎上再做的平均數(shù)間多重比較稱為Fisher氏保護下的多重比較(Fisher’sprotectedmultiplecomparisons)。

第19頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最小顯著差數(shù)法

最小顯著差數(shù)法(leastsignificantdifference，簡稱LSD法)，LSD法實質(zhì)上是第四章的t測驗。

程序是：

處理間的F測驗為顯著

計算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)

任何兩個平均數(shù)的差數(shù)()，如其絕對值≥，即為在水平上差異顯著。反之，則為在水平上差異不顯著。

第20頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月已知：若|t|≥，即為在水平上顯著。最小顯著差數(shù)為：當兩樣本的容量n相等時，

第21頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月在方差分析中，上式的有了更精確的數(shù)值MSe

。為：

[例5.4]試以LSD法測驗表5.2資料各種藥劑處理的苗高平均數(shù)間的差異顯著性。

第22頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月由(例5.3)計算得F=20.56為顯著，MSe=8.17，DFe=12，故

由附表4，12時，t0.05=2.179，t0.01=3.055

LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)；LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm)

將各種藥劑處理的苗高與對照苗高相比，差數(shù)大于4.40cm為差異顯著；大于6.17cm為差異極顯著。

第23頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二、q法

基于極差的抽樣分布理論Student-Newman-Keul提出了q測驗或稱復極差測驗，有時又稱SNK測驗或NK測驗。

q測驗方法是將一組k個平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)所比較的兩個處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差值的。

其尺度值構成為：

第24頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月式中2≤p≤k，p是所有比較的平均數(shù)按大到小順序排列所計算出的兩極差范圍內(nèi)所包含的平均數(shù)個數(shù)(稱為秩次距)，SE為平均數(shù)的標準誤，

[例5.5]試對表5.2資料的各平均數(shù)作q測驗。

第25頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月由5.1資料得：查附表7q值表，當DF=12時，p=2，3，4的值，并由(5·11)計算出尺度值，列于表5.4。

第26頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月由表6.2可知，=29cm，=23cm，=18cm，

=14cm。由此可得到

第27頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月三、新復極差法

新復極差法，又稱最短顯著極差法(shortestsignificantranges，SSR)

在不同秩次距p下，平均數(shù)間比較的顯著水平按兩兩比較是，但按p個秩次距則為保護水平。

第28頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.6]試對表5.2資料的各平均數(shù)作新復極差測驗。查附表8，得值，由(5·13)算得在p=2，3，4時的值(表5.5)，即為測驗不同p時的平均數(shù)間極差顯著性的尺度值。

第29頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.5表5.2資料LSR值的計算(新復極差測驗)

第30頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月結論：表5.2資料的4個處理的苗高，除處理A與C差異不顯著外，其余處理間均達顯著差異，本例結果與上面介紹的q測驗法相同，但q法的要比新復極差法的大。

第31頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月四、多重比較結果的表示方法

(一)

列梯形表法

第32頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)劃線法

0.01水平下平均數(shù)差異顯著性結果(q法)

第33頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月(三)標記字母法

首先將全部平均數(shù)從大到小依次排列。

然后在最大的平均數(shù)上標上字母a；

并將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的，都標上字母a，

直至某一個與之相差顯著的平均數(shù)則標以字母b(向下過程)，

再以該標有b的平均數(shù)為標準，與上方各個比它大的平均數(shù)比，凡不顯著的也一律標以字母b(向上過程)；

再以該標有b的最大平均數(shù)為標準，與以下各未標記的平均數(shù)比，凡不顯著的繼續(xù)標以字母b，

，直至某一個與之相差顯著的平均數(shù)則標以字母c。……如此重復進行下去，直至最小的一個平均數(shù)有了標記字母且與以上平均數(shù)進行了比較為止。

第34頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月凡有一個相同標記字母的即為差異不顯著，凡沒有相同標記字母的即為差異顯著。

第35頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)單向分組資料的方差分析

單向分組資料是指觀察值僅按一個方向分組的資料，

所用的試驗設計為完全隨機試驗設計。

一、組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析表5.10組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析第36頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.10]作一水稻施肥的盆栽試驗，設5個處理，A和B系分別施用兩種不同工藝流程的氨水，C施碳酸氫銨，D施尿素，E不施氮肥。每處理4盆(施肥處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.2克)，共5×4=20盆，隨機放置于同一網(wǎng)室中，其稻谷產(chǎn)量(克/盆)列于表6.11，試測驗各處理平均數(shù)的差異顯著性。

第38頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.11水稻施肥盆栽試驗的產(chǎn)量結果

第39頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析步驟：(1)自由度和平方和的分解總變異自由度DFT=nk-1=5×4-1=19

處理間自由度DFt=k-1=5-1=4

誤差(處理內(nèi))自由度DFe=k(n-1)=5×(4-1)=15

矯正數(shù)

第40頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)F測驗

表5.12表5.11資料的方差分析

第41頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)各處理平均數(shù)的比較表5.13多重比較時的值計算第42頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.14施肥效果的顯著性(SSR測驗)第43頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月推斷：根據(jù)表5.14多重比較結果可知，施用氮肥(A、B、C和D)與不施氮肥有顯著差異，且施用尿素、碳酸氫銨、氨水1與不施氮肥均有極顯著差異；尿素與碳酸氫銨、碳酸氫銨與氨水1、氨水1與氨水2處理間均無顯著差異。

第44頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二、組內(nèi)觀察值數(shù)目不等的單向分組資料的方差分析

若k個處理中的觀察值數(shù)目不等，分別為n1，n2，…，nk，在方差分析時有關公式因ni不相同而需作相應改變。主要區(qū)別點如下：(1)自由度和平方和的分解第45頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)多重比較平均數(shù)的標準誤為：

第46頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月上式的和系兩個相比較的平均數(shù)的樣本容量。但亦可先算得各的平均數(shù)。

第47頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.11]某病蟲測報站，調(diào)查四種不同類型的水稻田28塊，每塊田所得稻縱卷葉螟的百叢蟲口密度列于表5.15，試問不同類型稻田的蟲口密度有否顯著差異？

第48頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月該資料=7+6+8+7=28故

總變異自由度DFT=Σni-1=28-1=27

稻田類型間自由度DFt=k-1=4-1=3

誤差自由度DFe=Σni-k=28-4=24求得：第49頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.16表5.15資料的方差分析表5.16所得F=5.91＞F0.01，因而應否定H0：，即4塊麥田的蟲口密度間有極顯著差異。

第50頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月F測驗顯著，再作平均數(shù)間的比較。需進一步計算n0，并求得SE(LSR測驗）或(LSD測驗)。如在此可有：

第51頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)兩向分組資料的方差分析

按完全隨機設計的兩因素試驗數(shù)據(jù)，都是兩向分組資料，其方差分析按各組合內(nèi)有無重復觀察值分為兩種不同情況

.一、組合內(nèi)只有單個觀察值的兩向分組資料的方差分析

設有A和B兩個因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，每一處理組合僅有1個觀察值，則全試驗共有ab個觀察值，其資料類型如表5.23。

第52頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.23完全隨機設計的二因素試驗每處理組合只有一個觀察值的數(shù)據(jù)結構

（i=1，2，…，a；j=1，2，…，b）

第53頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.24表5.23類型資料自由度和平方和的分解及方差分析第54頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月[例5.13]采用5種生長素處理豌豆，未處理為對照，待種子發(fā)芽后，分別每盆中移植4株，每組為6盆，每盆一個處理，試驗共有4組24盆，并按組排于溫室中，使同組各盆的環(huán)境條件一致。當各盆見第一朵花時記錄4株豌豆的總節(jié)間數(shù)，結果列于表5.25，試作方差分析。

第55頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.25生長素處理豌豆的試驗結果第56頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)自由度和平方和的分解根據(jù)表6.24將各項自由度直接填于表6.26。以下分解平方和，求得：

第57頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.26表5.25資料的方差分析第58頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)F測驗

推斷：組間環(huán)境條件無顯著差異，不同生長素處理間有顯著差異。

(3)處理間比較

此例有預先指定的對照，故用LSD法。求得：

查得=15時，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故：

LSD0.05=1.202×2.131=2.56(節(jié)間)，LSD0.01=1.202×2.947=3.54(節(jié)間)

第59頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月以LSD測驗各生長素處理與對照的差異顯著性于表5.27。結果赤霉素的效應最強，吲哚乙酸次之，其余處理皆與對照無顯著差異。表5.27豌豆生長素處理后始花時的節(jié)間數(shù)(4株總和)第60頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月二、組合內(nèi)有重復觀察值的兩向分組資料的方差分析

設有A、B兩個試驗因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，共有ab個處理組合，每一組合有n個觀察值，則該資料有abn個觀察值。如果試驗按完全隨機設計，則其資料類型如表5.28。

第61頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.28完全隨機設計的二因素試驗，每處理組合有重復觀察值的數(shù)據(jù)結構

(i=1，2，…，a；j=1,2，…，b；k=1,2，…，n)

第62頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.29表5.28類型資料自由度和平方和的分解(C=T

2/abn)

第64頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月在上述測驗中，互作的分析非常重要。通常首先應由測驗互作的顯著性。

第65頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.313種肥料施于3種土壤的小麥產(chǎn)量（g）(a=3,b=3,n=3,abn=27)第66頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)自由度和平方和的分解根據(jù)上表，將各項變異來源的自由度填于表5.32。以下分解平方和，求得：

第67頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月表5.32表5.31資料的方差分析

第68頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)F測驗將上述結果錄于表5.32，以固定模型作F測驗。假設H0：=0求得F=4.81/0.92