初中數(shù)學(xué)“最值問題”集錦

#例3如圖3，在正方形小值。解因為ABCD為正方形，所以A、C是關(guān)于BD所在直線對稱的對稱點，連結(jié)AP,由對稱性知：則PC+PE的最小值為AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1證明可知即為線段AE。AP=PC,在Rt^ABE中AE=ABB2+BE2=222+32=<13]本例還可如圖4,OABDOOE關(guān)于BD例3如圖3，在正方形小值。解因為ABCD為正方形，所以A、C是關(guān)于BD所在直線對稱的對稱點，連結(jié)AP,由對稱性知：則PC+PE的最小值為AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1證明可知即為線段AE。AP=PC,在Rt^ABE中AE=ABB2+BE2=222+32=<13]本例還可如圖4,OABDOOE關(guān)于BD的對稱點E'，連PE',CE'，同樣有PC+PE=PC+PE'<CE'=B；BE'2+BC2=<13]邊上的中例4的最大值和最小值分別記為分析PA+PM關(guān)鍵在于AM',因為AM'，連結(jié)C時，等號成立，所以5,作M關(guān)于點，P是邊BC上任意一點，PDDOA'BC,如圖三角形ABC的邊長為M口CM,所以S=2+33],當(dāng)點本題<CA+CM=2+<3T,以BC為邊作正三角形/ABC=/CBA',所以BC所在的直線對稱點2,M是ABPA+PMM',連結(jié)M'在BA'd,且BM'=BM=1,PM=PM',PA+PM=PA+PM'口CM'，則/ACM'=900，所以 AM'=ACC2+CM'2=.j4+3?3所以t=<7。所以S2-12=(2+<3)2-(<7)2=4v3例5矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在AC、ABD各取一點M、N,使MB+MN值最小，求這個最小值。解如圖6,作B關(guān)于AC的對稱點 B'，連結(jié) AB'，則 NODOBM+MN的最小值，即為 BM+MN'的最小值，顯然 BM+MN'的最小值等于點AC的對稱點 N,OAB'上,這時BOAB'的距離BHD現(xiàn)在求BH的長，設(shè)AB'與DC交于PO,連結(jié) BP,則S =1AP-BH=1S =1x20x10=100(平方厘米 )AABP2 2矩形ABCD2B'與B關(guān)于A。稱n/1=/2矩形ABCD1,DC//ABn/2=>n/1=Z3nPA=PCZ3|ABCD中，EOBCD,BE=2,CE=1,P在BD上，求PE與PC的長度和的最設(shè)AP=PC=x,則 DP=20-x在RtQAPD中，由勾股定理，得 PA2=DP2+DA2即x2=（20—x）2+102，解得x=12.5（厘米）,即AP=12.5n米） 口所以BH=100x—=16（厘米）,12.5即BM+MN的最小值是16厘米。通過作“對稱點”使幾何題中求兩線段和的最大或最小值，這類難題得到順利解決。此法簡單明了，直觀易懂，而對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生空間想象能力確有一定的幫助。?數(shù)學(xué)最值題的常用解法在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見題型，圍繞最大（?。┲邓龅臄?shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：一.二次函數(shù)的最值公式一.二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)y二ax2+bx+cDa、b、c為常數(shù)且a豐0DOODOO①若a>0當(dāng)x=b2a時，y有最小值。ymin4ac-b2= ；4a②若a<0當(dāng)x=b時，y有最大值。ymax4ac-b2— n2a) 。4a利用二次函數(shù)的這個性質(zhì)，將具有二次函數(shù)關(guān)系的兩個變量建立二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)進行計算，從而達(dá)到解決實際問題之目的。例1.某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為 40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為 R元）,售價每只為 P元），且R、P與x的關(guān)系式分別為 R=500+30x,P=170—2x口（1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，每日獲得的利潤為 1750元；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：口1）根據(jù)題意得 1750=Px—R（170—2x）x—（500+30x）=1750整理得 x2—70x+1125=0解得x1=25,x2=45叫合題意，舍去）（2）由題意知，利潤為Px—R=-2x2+140x—500=-2（x—35）2+1950所以當(dāng)x=35時，最大利潤為 1950元。二.一次函數(shù)的增減性一次函數(shù) y=kx+b（k中0）的自變量 x的取值范圍是全體實數(shù)，圖象是一條直線，因而沒有最大DODD；但當(dāng)m<x<n時，則一次函數(shù)的圖象是一條線段， 根據(jù)一次函數(shù)的增減性， 就有最大（小口值。例2.某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人 150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是 600

元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的 2倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時可使得每月所付的工資最少？解：設(shè)招聘甲種工種的工人為 x人，則乙種工種的工人為 (150—X)人，由題意得： 150-x>2x 所以0<x<50設(shè)所招聘的工人共需付月工資 y元，則有：y=600X+1000(150—X)=-400x+150000[0<X<50口因為y隨x的增大而減小所以當(dāng)X=50時，yi=130000DOD三.判別式法X2-X+1例3.求 的最大值與最小值。x的一元二X2+X+1x的一元二分析：此題要求出最大值與最小值， 直接求則較困難，若根據(jù)題意構(gòu)造一個關(guān)于未知數(shù)次方程；再根據(jù) x是實數(shù)，推得 A>0，進而求出y的取值范圍，并由此得出 y的最值。X2-X+1 r解：設(shè) =y，整理得x2-x+1=yx2+yx+yX2+X+1即(1-y)x2-(1+y)x+1-y=0因為x是實數(shù)，所以A>0即(1+y)2-4(1-y)2>01解得一<y<33X2-X+1 1所以 的最大值是3,最小值是-DX2+X+1 3四.構(gòu)造函數(shù)法“最值”問題中一般都存在某些變量變化的過程，因此它們的解往往離不開函數(shù)。?一兀 兀x=sina,一一<a?一兀 兀x=sina,一一<a<—，則有

221sin2a2解：設(shè)y=x%1-x2,-1<x1sin2a2y=xt1-x2=sina七1-sin2a=sinacosa=所以得y的最大值為1，最小值為-122五.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi),顯然有a2+在實數(shù)范圍內(nèi),顯然有a2+b2+k>k，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，等號成立，即a2+b2+k的最小值為k。例5.設(shè)a、b為實數(shù)，那么 a2+ab+b2-a-2b的最小值為I解：a2+ab+b2-a-2b=a2+(b-1)a+b2-2b=(a+H)2+3b2-1b-12 4 2 4b-1 3=(a+ )2+4(b-1)2-1>-1=0,b—=0,b—1=0DOa=0,b=1時,DDDDDDDDDDDDDDDD 1。.DDDDDDD例6.□函數(shù)y=1x-11-1x+41-5ODDDD□□:本題□用DDDDDDDDD 消去函數(shù)yDDDDDDDDDDDyDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD x=11x=-4當(dāng)x<-4時y=-(x-1)+(x+4)-5=0[-4<x<1時y=-(x—1)—(x+4)—5=-2x—8[-4<x<1得-10<y=-2x-8<0[x>1od y=(x-1)-(x+4)-5=-10DDDDDDx<-4ODyDDDDDy=0.DDDDDDDDDDDDDDDx<aDDx=aDDDDDDDDD x>bDDx=bDDDDD例7.已知x、yDDDDDDDx+y+m=5Dxy+ym+mx=3DDDDmDDDDDDDD[x+y=5-mDDDDDD\[xy=3-m(x+y)=3-m(5-m)=m2-5m+3DDx、yD關(guān)□t□方程t2-(5-m)t+(m2-5m+3)=0DDDDDDDDA=[-(5-m)]2-4(m2-5m+3)>0O3m2-10m-13<01 13DD-1<m<—3mDDDDD13DmDDDDDD1D3八.DDDDDDDDDDDDDDDDODDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD D[8.DDDDDD AABCDDDDDDDDD 4和12DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD設(shè)a、b、cDDDDDDD 4、12、h因D 2S =4a=12b=chDDDa=3bAABCODDc<a+b=4b,00 12b=chD12b<4bhDDDh>3ODDc>a-b=2b,00 12b=chD12b>2bhdddh<6DD 3<h<6DDDD hDDDDD5D?求最值問題最值型應(yīng)用問題經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的中考試卷中。的人文價值和社會價值， 有利于考查學(xué)生的分析、求最值的問題。這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。 本文舉幾例利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題對于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實數(shù)，因此不存在最大最小值值”），但在實際問題中，因題目中的自變量受到實際問題的限制，解這類問題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外，利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。（簡稱“最口口、（2008最值型應(yīng)用問題經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的中考試卷中。的人文價值和社會價值， 有利于考查學(xué)生的分析、求最值的問題。這類問題貼近生活、貼近社會，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。 本文舉幾例利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題對于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實數(shù)，因此不存在最大最小值值”），但在實際問題中，因題目中的自變量受到實際問題的限制，解這類問題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外，利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。（簡稱“最口口、（2008年泉州市初中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢查）紅星服裝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一批A、B兩種型號的演出服，已知每小時生產(chǎn)A型演出服比B型演出服少2套，口生產(chǎn)18套A型演出服與生產(chǎn) 24套B型演出服所用的時間相同。設(shè)該廠每小時可生產(chǎn)A型演出服a設(shè)該廠每小時可生產(chǎn)A型演出服a套，用含a的代數(shù)式表示該廠生產(chǎn)24套B型演出服所用的時間；求出a的值。若該廠要在8小時之內(nèi)n 8小時叫后生產(chǎn) A若該廠要在8小時之內(nèi)n 8小時叫后生產(chǎn) A、B兩種型號的演出服50套，且生產(chǎn)一套A、BD種型號的演出服可得利潤分別為40元和30元，問應(yīng)如何安排生產(chǎn)A、B兩種型號的演出服的套數(shù)，才能使獲得的總利潤最大？最大的總利潤是多少元？分析：（口）24a分析：（口）24a+218a24 18a—6② ——解得a—6a+2a（口）口生產(chǎn) A型演出服 x套，依題意得40x+30（50-x）=10x+1500x40x+30（50-x）=10x+15006 8W利潤是 x一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性口k—10>0口W隨x的增大而增大，口x<42,□當(dāng)x—42時，W利潤有最大值口10x42+1500—1920口口某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、B口口某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、BD種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過 2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價如下表：AB成本(00/套)2528售價(00/套)3034(1)該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案(2)該公司如何建房獲得利潤最大⑶根據(jù)市場調(diào)查， 每套B型住房的售價不會改變，⑶根據(jù)市場調(diào)查， 每套B型住房的售價不會改變，每套A型住房的售價將會提高a萬元(a>0),且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大注：利潤=售價-成本分析：(1)設(shè)A種戶型的住房建 x套，則B種戶型的住房建 (80-x)套，根據(jù)題意：該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過 2096萬元，可列出兩個不等式，解不等式組，即可求出 x的取值范圍，進而確定x的正整數(shù)值.(2)根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決 .⑶要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想 .從而做到不重復(fù)不遺漏,注意思維的縝密性 .解析：⑴設(shè)A種戶型的住房建 x套，則B種戶型的住房建 (80-x)套口由題意知2090口25x+28(80-x)口209648口x口50口x取非負(fù)整數(shù)， 1x為48,49,50口口有三種建房方案：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套(2)設(shè)該公司建房獲得利潤 □(萬元)口由題意知 □=5x+6(80-x)=480-x口當(dāng)x=48時，□最大=432(00)即A型住房48套,B型住房32套獲得利潤最大(3)由題意知□=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x口當(dāng)O<a<l時， x=48,□最大，即A型住房建 48套,B型住房建32套當(dāng)a=l時，a-1=0,三種建房方案獲得利潤相等當(dāng)a>1時，x=50,□最大，即A型住房建 50套,B型住房建30套.答:略.說明:此題的第 (1)問是利用一元一次不等式組解決的 ,第(2)、(3)問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的 ,要注意三問相互聯(lián)系 .二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題例：一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具口至□個， 若每天須生產(chǎn)這種玩具□口口口， 那么須招聘工人多少名？分析：人y名。則有這是一道反比例函數(shù)模型的應(yīng)用題，這里皿口是常量。設(shè)每人每天生產(chǎn)x個玩具，需要工尸400000

xx為整數(shù))口當(dāng)XA0時，y隨X的增大而減小，400 400口——<y<——，即5 3180<y<133—3口y為正整數(shù)，口 y取口口至口0口。即須招聘工人為80至134人。三、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題對于某些與二次函數(shù)有關(guān)的實際問題,如果我們能夠?qū)嶋H問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,建立起二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值性質(zhì)，可以解決許多實際問題。ODD將進貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，若此商品每個漲價1元，其銷售量減少10個，為了賺到最大利潤，售價應(yīng)定為多少？解：設(shè)利潤為y元,每個售價為X元，則每個漲（X－50）元,從而銷售量減少10(x—50c,共售出500-10(X-50)=100-10X(個)[y=(x-40)(i000-i0x)=-10(X-70)2+9000(50<X口100)y—9000max 答：為了賺取最大利潤,售價應(yīng)定為70元．口口、（泉州市2008年中考題）某產(chǎn)品第一季度每件成本為50元,第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為請用含X的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本；如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第一季度少9.5元，試求該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價DDD為60元，第三季度每件的銷售價比第二季度有所下降，若下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本48元，設(shè)第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤．．．．y元,試求的百分率相同，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價不低于y與x的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求y的最大值（注：利潤分析：（1）—銷售價 —成本)50G—x)⑵50(1—x)2—50—9.5解得X=0.1口當(dāng)口當(dāng)說明：（3）60G-x)>48,解得x<0.2而x>0，口0Yx<0.2而y―60G—x)—50G—x)2口—50X2+40X+101—50(X—0.4}+18X<0.4時，利用二次函數(shù)的增減性，X=0.2時，y最大值口當(dāng)自變量取值范圍為體體實數(shù)時，某一區(qū)間時，二次函數(shù)的最值應(yīng)注意下列兩種情形：18（元）若拋物線頂點在該區(qū)間內(nèi)，頂點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。y隨x的增大而增大，而二次函數(shù)在拋物線頂點取得最值，若拋物線的頂點不在該區(qū)間內(nèi)，則區(qū)間兩端點所對應(yīng)的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。四、利用對稱性來求最值問題。類這題涉及的知識面廣，綜合性強，解答有一定的難度。（一）在幾何題組中的應(yīng)用例口、如圖，菱形ABCD中，AB口2口,口BADD60°,E是AB的中點，則PE+PB的最小最是分析：由菱形的性質(zhì)知：點皿點□關(guān)于皿對稱。因為口在皿上支運動，所以口口口小。要求PE+PB的最小最，即求P口+PB的最小值。連接口□交□□于點0YX<0.2,而當(dāng)自變量取值范圍為P，0即為所求。又口BADD60°,DDD1DD, □為叫的中點，2OODDDDD,ODDDDDDD,OODDD<3,即P口+PB的最小值為ODDOD,DDDDDDD°OOOOOD,DDDDD,OOODDOODODDDDOOO于點口），則△口皿的周長的最小值為分析：作皿于口叫□□的對稱點P，1P。2連接PP,ODODD,DDOD,DD12如圖所示，再連接叫,小。易知1所以△。的周長OPDDDD,PDDDD,2P[+口口1+勺。根據(jù)兩點之間線段最短，△口口□的周長口P2,而口口口口DDDDDDDD,ODDDDODDDDDDD°,OODPO口1PODD°2P口口，1PODD,2口口P口P為等腰直角三角形，口△口口口的周長的最小值為（二）在代數(shù)題組中應(yīng)用1，如圖，拋物線1y=—x2+bx-2與x軸交于A、2B兩點，與丫軸交于C點，且ADD 1,0）?？趻佄锞€的解析式及頂點口的坐標(biāo)判斷口□□□的形狀，證明你的結(jié)論。點口（ m,0）是口口上的一個動點，當(dāng)口□+□□的值最小時，求m的值分析：D1）將ADD1,0）代入+bx-2——，所以拋物線的解析式2配方得：252——，所以頂點8(3252'D2)求出 AC=v5,BC=Y20，而AB=5口AC2+BC2=AB2，]△口為RT口D3）作點 C關(guān)于X軸的對稱點ED2,0),連接DE交X軸于點 M,通過兩點式可求得直線41解析式：y=——x+2，當(dāng)y=0時，解得12DE的24x=41ODD24,0)即4124m=41[2、如圖以矩形口。的頂點口為原點，口□所在的直線為口口，口口所在的直線為□軸，建立平面直角坐標(biāo)系。OODDOD,DDOD,ODOD口的中點，在。取一點口，將口□□口口翻折，使點口落在口口邊上的點口處。直接寫出點口、口的坐標(biāo)：設(shè)頂點為皿拋物線交口軸正半軸于點口，口以口、口、口為頂點的三角形是等腰三角形,求該拋物線的解析式；在口口、。是否分別存在點口、BFYPC1N、E3D、L,.E1AMM、PPX口，使得四邊形皿口□的周長最??？如果存在，求出周長的最小值;如果不存在，請說明理由。分析：(1口口(3,1),F(1,2)在RT口FEB中，F(xiàn)B=2,BE=1,口EF=v：'5,當(dāng)EP=<5時，P(0,0)不合題意TOC\o"1-5"\h\z1 _ 1當(dāng)EP=<5時，如圖所示P(0,4)設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x—1)2+2，且過點P(0,4),代入得4=a(0—1)2+2口a=2，口 y=2(x-1)2+2作點F關(guān)于Y軸的對稱點F，點E關(guān)于X軸的對稱點E，連接FE分別交X軸，Y軸于點M,N。1 1 11此時四邊形口□□口的周長最小，口FE=FN+MN+ME=FN+MN+ME<FN+MN+ME1 1 1 1 11 11 11FE=-v132+42=5,1 1 _口四邊形口□□口的周長最小值 =FE+ef=5+-<5\o"CurrentDocument"1 1?有理數(shù)的一題多解有理數(shù)是學(xué)生進入初中階段接觸的第一塊系統(tǒng)學(xué)習(xí)的代數(shù)知識，它不僅在知識體系上讓學(xué)生第一次領(lǐng)略了系統(tǒng)性、層次性，而且也滲透了“分類”、“一題多解”等好的數(shù)學(xué)思想。所謂“一題多解”，是指答案的多樣性或方法的多樣性。本文試就本章出現(xiàn)的一題多解問題作一歸類說明。絕對值方程中的一題多解一個數(shù)的絕對值表示點到原點的距離，而互為相反數(shù)的兩數(shù)到原點的距離相同，故方程|x|=a(a>0)的解有兩個：『或x2=—a,他們是一對互為相反數(shù)。例1解方程|x+1|=2解：口|x+l|=2，口x+1=2或-2,口x=1或—3.賽試題）評注：若|x|=0，則x=0，此時方程只有一口，注意區(qū)別。方程|x-2|+|x-3|=1的解的個數(shù)是A、0B、1C、2D、3E、多于3（第41屆美國高中數(shù)學(xué)競賽，第4屆初中祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請解：該題的幾何意義是：點2的距離與到3的距離的和等于x在這兩點之間（含這兩點）即方程的解是,故選1，由圖形可知，最值問題中的一題多解所謂最值，即指最大值或最小值，在本章中涉及的最值問題主要是與絕對值相關(guān)的距離的最值，競賽中會有所涉及。例3求y二|x-l|+|x+3|的最值，并求此時x的取值范圍。解：根據(jù)絕對值的幾何意義，y表示數(shù)軸上的一點x到兩點1和3之間的距離之和，從數(shù)軸上看，當(dāng)x<1或x>3時,y取不到最大、最小口，當(dāng)點分布在線段AB上，口1口x口3.3時，y可取最小值A(chǔ)2,此時使By取最小值2的例4求y=|x-1Hx-3|的最值，并求此時x的取0 1 3值范圍。解:同例3,y表示數(shù)軸上的點x到點1、3的距離之差，分情況討論如下：1)x>3時，2)1口x口y=23時，-2口y口3)x<1時，故y取最大值為-2,0D x口1.y=-2.2,此時x口3,取最小值口注：例3與例4的區(qū)別在于相差一個符號，而結(jié)果卻大相徑庭。但這一點從幾何意義上來看，是很清晰的。所以，對于此類與距離有關(guān)的最值問題，我們可以借助于圖形，以獲得直觀的理解。乘方運算中的一題多解在乘法運算中，根據(jù)符號法則——同好得正，異號得負(fù)，故有1在乘法運算中，根據(jù)符號法則——同好得正，異號得負(fù)，故有1x1=1,(-1)x(-1)=1,故解方程X2=1X2=1時，x可取10-1,00000X2二1有二解。當(dāng)然，這里的1可以換成其他的數(shù)。例5解方程 (x-3)2=9例5解方程 (x-3)2=9解：口 32=9,(-3)2=9，口x-3=3或-3,Dx=0或6.評注：由于所學(xué)知識有限,現(xiàn)階段我們只能利用乘方的含義求解諸如“方程,更一般的二次方程的解法構(gòu)成了初中數(shù)學(xué)的一大分支,將在以后學(xué)到。X2二a2,a為有理數(shù)”的二次例6解方程 x3=x解：由X3=x得x3-x=0,0：x(x2-1)=0，故，x=0或x2=1,0 x=1或-1,綜上,原方程的解為 x=0,1,-1.口注：并非所有的形如 xn=a(a口0)0000000,0 x4=64就只有一個解xn=a(a>0),若 n為偶數(shù)，則000 20,且二解互為相反數(shù)；若 n為奇數(shù)，則只有一0。x=4.一般地，對方0四則運算中的一題多解此處的“一題多0”取多種0法的意思。我們知道,四則運算中,運算律或運算技巧的使用可以讓我們充分領(lǐng)略“條條大路通羅馬”的數(shù)學(xué)思想0法。當(dāng)我們熟悉多種0法后,可以選擇一種最好的。例7計算0一：原式3(14=(7 78—12)+(—8)+(—3)例7計算0一：原式3(14=(7 78—12)+(—8)+(—3)777 )481288X(一7)+(-3)=一42—21—148

x—24 70二：原式788一x 247377 )812-388x(一7)+(-3)787878―一x—+—x—+一x——47871278=-2+1+=-333評注：0法一在括號內(nèi)通分后計算,是通常的路子；0法二注意到括號內(nèi)分?jǐn)?shù)分子相同,可與括號外的分?jǐn)?shù)約分,使用了分配律,易于口算。因而快捷一些。例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.0一： S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2001-2002)+2003=(-1)+(-1)+(-1)+…(-1)+2003=-1001+2003=100200： S=(1+3+5+…+2003)-(2+4+6…+2002)=(1+2003)x1002-(2+2002)x10012 2=1002x1002-1002x1001=10020三： S=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-2002+2003)=1+1X1001=1002評注：解法一、三如出一轍，不過解法三靈活利用了減法的意義——減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因而避開了負(fù)數(shù)的運算，解題過程更“安全” ；解法二思路簡單：正負(fù)數(shù)分別相加，再把結(jié)果相減，不過利用了數(shù)列的求和公式，技巧頗高。例9計算 S=2-22-23-24-25-26-27-28-29+210解一：S=(22-2)-(23-22)-(24-23)-…⑵0-29)+210=22-2-23+22-24+23-…-210+29+210=22-2+22=6解二：S=(210-29)-28-27-…-22+2=(29-28)-27-26…-22+2=(28-27)-26-25-0-22+2:……=23-22+2=6解三：由題意 S=2-22-23-24-25-26-27-28-29+210故 2S=22-23-24-25-26-27-28-29-210+211兩式相減得 S=22-2+22-210-210+211=-2+8=6評注：解法一巧用相鄰兩項的關(guān)系得 2n=2n+1-2n,因而利用加法運算律解決問題； 解法二是“倒著走”每一步總是把 S得表達(dá)式縮短一點，從而得解，過程富有節(jié)奏感；解法三則運用了“錯位相減法” ，技巧性較強，但具有一般性。本章中的一題多解問題只是為我們提供了一個領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法的窗口， 在后繼課程中我們還要學(xué)習(xí)更多的一題多解問題， 同學(xué)們要能養(yǎng)成及時總結(jié)、歸納的習(xí)慣， 形成自己的學(xué)習(xí)方法，從而更高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。最后，提供一組練習(xí)，供同學(xué)們復(fù)習(xí)鞏固使用。解方程 (2x+4)2解方程 (2x+4)2=16①求y二|2x-2|+|2x-4|的最值;②求y二|2x-2|-|2x-4|的最值(x=0或-4)(1口x口2時，y取最小值(x口2時，y取最大值2)2；x口1時，y取最小值 -2)若數(shù)x滿足|1-x|=1+|x|,那么|x-1|等于下式中的哪一個?A.1 B.-(x-1) C.x-1 D.1-x(第三屆祖沖之杯試題 選D)計算①(1-+1-計算①(1-+1-—1—)-(——)2 8 12 12(答案：39———)

2((S=163)64②s=i+1+-+-+—+，248163264?4道經(jīng)典題1.小學(xué)生小明問爺爺今年多大年齡， 爺爺回答說： “我今年的歲數(shù)是你的歲數(shù)的70多,過幾年變成你的6倍，又過幾年變成你的 5倍，再過若干年變成你的 4倍?！蹦阏f，小明的爺爺今年是多少歲？解：設(shè)小明今年的年齡是 x歲，那么爺爺年齡是 7x。過n年后，爺爺?shù)哪挲g是小明的 6倍，所以 6(x+n)=7x+n,x=5n.所以x除得盡 5。過m年后，爺爺年齡是小明年齡的 6倍，所以 5(x+m)=7x+m。所以 x=2m.因此x是偶數(shù)。因此x是10的倍數(shù)。爺爺?shù)哪挲g是 70的倍數(shù)。 (140歲，也可能啊： ))所以爺爺年齡是 70歲設(shè)小明的年齡為 x歲，爺爺是 7x歲。過了 a年，小明的年齡為 x+a歲，爺爺是 7x+a歲。有(x+a)*6=7x+a,化簡得 x=5a………………( 1)又過了 b年，小明的年齡為 x+a+b歲，爺爺是 7x+a+b歲。有(x+a+b)*5=7x+a+b,化簡得 x=2*(a+b)…( 2)又過了 c年，小明的年齡為 x+a+b+c歲，爺爺是 7x+a+b+c歲。有(x+a+b+c)*4=7x+a+b+c,化簡得 x=a+b+c…( 3)由( 1)、( 2)、( 3)式得x=5a，3x=10b，x=2cx,a,b,c都是正整數(shù)， x是5、10、2000, b是3的倍數(shù)。所以x是10000,00000 10。因為小明是小學(xué)生,所以只能是 10歲,而不