初中數(shù)學(xué)常見8種最值問題

最值問題，也就是最大值和最小值問題。它是初中數(shù)學(xué)競賽中的罕見問題。這類問題出現(xiàn)的試題，內(nèi)容豐富，知識點多，涉及面廣，解法靈活多樣，而且具有一定的難度。本文以例介紹一些罕見的求解方法，供讀者參考。之樊仲川億創(chuàng)作配方法例1.（2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽武漢CASIO杯選拔賽）帝+4勾+獷-4x+2y-4可取得的最小值為。解：原式匚口與尸+5-2/+①+球-io由此可知，當(dāng)卜=2,y=-1時，有最小值匚問。設(shè)參數(shù)法例2.（《中等數(shù)學(xué)》奧林匹克訓(xùn)練題）已知實數(shù)正滿足三三。則國的最大值為。解：設(shè)/+丁=3易矢口”Q從而，曲［歸一I由此可知，正是關(guān)于t的方程，一“十衿一m=。的兩個實根。于是，有△=/一9'》2。解得E。故E的最大值為2。一」十1_"2例3. （2004年全國初中聯(lián)賽武漢選拔賽）若 2 3則產(chǎn)產(chǎn)可可取得的最小值為（）

A.3B.2D.6A.3B.2D.6解：設(shè)從而可知，當(dāng)「 回時，H上可取得最小值回。故選（B）。選主元法例4.（2004年全國初中數(shù)學(xué)競賽）實數(shù)E目滿足天土,+工=5, +jkz+zz亙。貝Uz的最大值是。解：由\+y+-5得1=5T西。代入叵亙?nèi)并整理成以恒為主元的二次方程三三巨EE二三三，由x為實數(shù)，則判別式厘①。即藝五至三三回，整理得史三亟三王江解得卜工屋!。所以，z的最大值是回夾逼法例5.（2003年北京市初二數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽）江刁是非負實數(shù)，而且滿足區(qū)4您』”5,2”方一無=1。設(shè)帆=3口十3一無卜記因為m的最小值，y為m的最大值。則互］ 。解：由%+2上+匕=5,+4+」-3匕=1得（a=7c-3解得版二TTic由不司是非負實數(shù)，得從而，解得亡￡n。又颯=%+占-7匚=女-2,J--<故|7 11|于是，卜一2W因此，U構(gòu)造方程法例6.（2000年山東省初中數(shù)學(xué)競賽）已知矩形A的邊長為a和b,如果總有另一矩形B使得矩形B與矩形A的周長之比與面積之比都等于k，試求k的最小值。解：設(shè)矩形B的邊長為x和y，由題設(shè)可得亙王羽丑叵三殛。從而x和y可以看作是關(guān)于t的一元二次方程巴亙匹匹亙的兩個實數(shù)根，則匠三三可三朝因為叵4所以叵w返且，D4.解得匚空正］Aab所以k的最小值是后史四.由某字母所取的最值確定代數(shù)式的最值例7.（2006年全國初中數(shù)學(xué)競賽）已知巨目為整數(shù)，且"右=2DQ6,c-=2005。若“磯則開E的最大值為解：由區(qū)三頌3得|三三①叵］，代入舊豆=2006|得出+己=4011

而由1+擊=2。06和它固可知"工1口口2的整數(shù)。所以，當(dāng)9W時,第+啟”|取得最大值，為皿12+4口11=5所以，當(dāng)9W時,七.借助幾何圖形法例8.（2004年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）函數(shù)〃⑴=，干十加-以十41的最小值是。解：顯然，若三#則匹三二3。因而，當(dāng)匹3取最小值時，必定有三斗如圖1，作線段AB=4，匹/亶匹回，且AC=1，BD=2。對于AB上的任一點O，令OA二x，則那么，問題轉(zhuǎn)化為在AB上求一點O,使OC+OD最小。圖1設(shè)點C關(guān)于AB的對稱點為E，則DE與AB的交點即為點O,止匕時，|68"=0。4*=友］。作EF//AB與DB的延長線交于F。在邈巫昭中，易知空衛(wèi)三三回，所以，\"￡=5。因此，函數(shù)［⑴=占為十四一璜于十4|的最小值為5。八.比較法例9.（2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽）某項工程，如果有甲、乙兩

m m一一?2——、,、 一，， 一..一一一一."一、隊承包2天完成，需付180000兀；由乙、丙兩隊承包包天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包比天完成，需付160000元?，F(xiàn)在工程由一個隊單獨承包，在包管一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少？

解：設(shè)甲、乙、丙單獨承包各需匯、4工天完成解得匕叫又設(shè)甲、乙、丙單獨工作一天，各需付叵N習(xí)元，則JLS=455001v=29