第3節(jié) 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值

第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用第3節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值、最值1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.考試要求知識診斷基礎(chǔ)夯實內(nèi)容索引考點突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實11.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)_________，右側(cè)_________.則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側(cè)__________，右側(cè)________.則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為________,極小值和極大值統(tǒng)稱為______.知識梳理f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜0極值點極值2.函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的______；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值_____________比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.極值f(a)，f(b)[常用結(jié)論]1.求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.2.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)對于可導函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x0為極值點.(

)(2)函數(shù)的極大值不一定是最大值，最小值也不一定是極小值.(

)(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上不存在最值.(

)(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上一定存在最值.(

)解析(1)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點.(3)反例：f(x)＝x2在區(qū)間(－1，2)上的最小值為0.×診斷自測√×√2.如圖是f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為(

)AA.1 B.2 C.3

D.4解析由題意知在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導數(shù)值符號左負右正.－104.函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有極值，則實數(shù)a的取值范圍是

__________________________.解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f′(x)有變號零點，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2＞0，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一利用導數(shù)研究函數(shù)的極值角度1根據(jù)導函數(shù)圖象判斷極值例1(多選)(2022·重慶檢測)函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則(

)ACA.－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點

B.－1是函數(shù)y＝f(x)的極小值點C.y＝f(x)在區(qū)間(－3，1)上單調(diào)遞增

D.－2是函數(shù)y＝f(x)的極大值點

解析根據(jù)導函數(shù)的圖象可知，當x∈(－∞，－3)時，f′(x)<0，當x∈(－3，1)時，f′(x)≥0，所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(－3，1)上單調(diào)遞增，可知－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點，所以A正確.因為函數(shù)y＝f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞增，可知－1不是函數(shù)y＝f(x)的極小值點，－2也不是函數(shù)y＝f(x)的極大值點，所以B錯誤，C正確，D錯誤.由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點；(2)由導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點.感悟提升x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

ln2－1

故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無極小值.

(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，則函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點；運用導數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)在定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號；(5)求出極值.感悟提升

角度3由函數(shù)的極值求參數(shù)例3(1)(2023·綿陽質(zhì)檢)若x＝2是函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－2)x－4alnx的極大值點，則實數(shù)a的取值范圍是(

) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－2，2)A①若a≥0，當x＞2時，f′(x)＞0，當0＜x＜2時，f′(x)＜0，所以當x＝2時，f(x)取得極小值，不滿足題意，故舍去.

②若a＜－2，由f′(x)＞0可得0＜x＜2或x＞－a，由f′(x)＜0可得2＜x＜－a，所以當x＝2時，f(x)取得極大值，滿足題意.③若－2＜a＜0，由f′(x)＞0可得0＜x＜－a或x＞2，由f′(x)＜0可得－a＜x＜2，所以當x＝2時，f(x)取得極小值，不滿足題意.④若a＝－2，則f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，此時f(x)無極值.綜上，a＜－2滿足條件，故選A.

(2)(2023·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)在(0，＋∞)上有兩個極值，則實數(shù)a的取值范圍為_____________.當0＜x＜1時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當x＞1時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)的極大值為g(1)＝1，又當x＞1時，g(x)＞0，當x→＋∞時，g(x)→0，當x→0時，g(x)→－∞，(1)已知函數(shù)極值確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解，求解后要檢驗.(2)判斷極值點的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)的根的個數(shù).感悟提升

訓練1(1)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(

)DA.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)解析由題圖可知，當x<－2時，f′(x)>0；當－2<x<1時，f′(x)<0；當1<x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.

(2)(2023·長沙模擬)若x＝1是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，則f(x)的極大值為________.解析因為f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，因為x＝1是函數(shù)f(x)的極值點，故可得f′(1)＝0，即2a＋2＝0，解得a＝－1.此時f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x＋2)(x－1).由f′(x)＞0可得x＜－2或x＞1；由f′(x)＜0可得－2＜x＜1，故f(x)的極大值點為x＝－2.則f(x)的極大值為f(－2)＝(4＋2－1)e－3＝5e－3.5e－3

要使g(x)存在兩個極值點x1，x2，則方程mx2－x＋m＝0有兩個不相等的正數(shù)根x1，x2.令h(x)＝mx2－x＋m，考點二利用導數(shù)研究函數(shù)的最值角度1求已知函數(shù)的最值例4已知函數(shù)f(x)＝xlnx－a(x－1)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值.解f(x)＝xlnx－a(x－1)，則f′(x)＝lnx＋1－a，由f′(x)＝0，得x＝ea－1.所以在區(qū)間(0，ea－1)上f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上f(x)單調(diào)遞增.(1)當ea－1≤1，即a≤1時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(1)＝0.

(2)當1＜ea－1＜e，即1＜a＜2時，f(x)在[1，ea－1]上單調(diào)遞減，在[ea－1，e]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(ea－1)＝a－ea－1.(3)當ea－1≥e，即a≥2時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為f(e)＝a＋e－ae.綜上，當a≤1時，f(x)的最小值為0；當1＜a＜2時，

f(x)的最小值為a－ea－1；當a≥2時，f(x)的最小值為a＋e－ae.

[－2，1)解析由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，故若函數(shù)f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值.(2)若所給函數(shù)f(x)含參數(shù)，則需通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.感悟提升

由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，當a＝－10時，f(x)在(1，4)上單調(diào)遞減，f(x)在[1，4]上的最小值為f(4)＝8，符合題意.綜上，a＝－10.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.已知函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a，b)上的極大值點的個數(shù)為(

)B【A級

基礎(chǔ)鞏固】A.1 B.2 C.3

D.4解析由函數(shù)極值的定義和導函數(shù)的圖象可知，f′(x)在(a，b)上與x軸的交點個數(shù)為4，但是在原點附近的導數(shù)值恒大于零，故x＝0不是函數(shù)f(x)的極值點.其余的3個交點都是極值點，其中有2個點滿足其附近的導數(shù)值左正右負，故極大值點有2個.BAC得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.根據(jù)題意得[2(a－1)]2－4≤0，解得0≤a≤2.C解析由圖象可知f(x)的圖象經(jīng)過點(1，0)與(2，0)，x1，x2是f(x)的極值點，∴1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，∴f(x)＝x3－3x2＋2x，∴f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的兩根，

6.(2023·哈爾濱質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值.若m，n∈[－1，1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是(

) A.15 B.－15 C.10 D.－13解析因為f′(x)＝－3x2＋2ax，f(x)在x＝2處取得極值，所以f′(2)＝0，即－12＋4a＝0，解得a＝3，所以f′(x)＝－3x2＋6x.又當n∈[－1，1]時，f′(n)＝－3n2＋6n單調(diào)遞增，所以當n＝－1時，f′(n)的最小值為－9.當m∈[－1，1]時，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以f(m)在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，所以當m＝0時，f(m)最小值為－4.故f(m)＋f′(n)的最小值為－4＋(－9)＝－13.DABC∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，2)上單調(diào)遞增，∴f(－1)是函數(shù)的極小值，f(2)是函數(shù)的極大值，故B正確；且當x→－∞時，f(x)→＋∞，x→＋∞時，f(x)→0，∴f(x)的圖象如圖所示，由圖知C正確，D不正確.8.(2023·廣州模擬)寫出一個存在極值的奇函數(shù)f(x)＝____________________.解析正弦函數(shù)f(x)＝sinx為奇函數(shù)，且存在極值.sinx(答案不唯一)9.若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為________百萬件.解析y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，當0<x<3時，y′>0；當x>3時，y′<0.故當x＝3時，該商品的年利潤最大.310.(2023·福州一模)已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋mex有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范

圍是________________.解析f′(x)＝lnx＋1＋mex(x＞0)，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減且h(1)＝0，∴當x∈(0，1]時，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增；當x∈(1，＋∞)時，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，而當x→0時，g(x)→－∞，當x→＋∞時，g(x)→0，若f(x)有兩個極值點，只要y＝－m和g(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個交點，11.已知函數(shù)f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；解因為f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因為f(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.解設(shè)h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，則h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.解因為F(x)＝af(x)，令F′(x)>0得0<x<e，令F′(x)<0得x>e，所以F(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，所以F(x)在[a，2a]上的最小值F(x)min＝min{F(a)，F(xiàn)(2a)}.所以當0<a≤2時，F(xiàn)(a)－F(2a)≤0，F(xiàn)(x)min＝F(a)＝lna.當a>2時，F(xiàn)(a)－F(2a)>0，B【B級

能力提升】AD解析f′(x)＝lnx＋1＋2x，∵x0是f(x)的極值點，∴f′(x0)＝0，即lnx0＋1＋2x0＝0，所以當0＜t＜2時，f′(t)