專(zhuān)題02不等式（原卷版）

專(zhuān)題02不等式一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1等式的基本性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱(chēng)性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱(chēng)性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號(hào)5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識(shí)點(diǎn)3一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識(shí)點(diǎn)4基本不等式1、重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）.變形公式：2、基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．（3）算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．3、利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)（2）如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)一、比較兩數(shù)（式）大小的方法1、作差法：（1）原理：設(shè)，則；；；（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結(jié)論。（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形。2、作商法：（1）原理：設(shè)，則；；（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結(jié)論。（3）注意：作商時(shí)各式的符號(hào)應(yīng)相同，如果均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對(duì)數(shù)恒等變形?！镜淅?】（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎?，則（）A．B．C．D．與的大小無(wú)法判斷【典例2】（2022秋·河北石家莊·高三開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，，，則（）A．B．C．D．二、利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍已知，，求的取值范圍第一步：設(shè)；第二步：經(jīng)過(guò)恒等變形，求得待定系數(shù)；第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得的取值范圍。【典例1】（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知，，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【典例2】（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（）A．B．C．D．三、解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫(xiě)出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無(wú)解第三步：根據(jù)不等式，寫(xiě)出解集.【典例1】（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知全集，集合，，則（）A．B．C．D．【典例2】（2022秋·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式：（1）；（2）；（3）.四、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：條件和問(wèn)題間存在基本不等式的關(guān)系2、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。3、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類(lèi)型1：分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱(chēng)乘“1”法；類(lèi)型2：分母為多項(xiàng)式時(shí)方法1：觀察法適合與簡(jiǎn)單型，可以讓兩個(gè)分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設(shè)∴，解得：4、消元法：當(dāng)題目中的變?cè)容^多的時(shí)候，可以考慮削減變?cè)?，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問(wèn)題。5、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有問(wèn)題代數(shù)式的不等式，通過(guò)解不等式得出范圍，從而求得最值?！镜淅?】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最大值為.【典例2】（2022秋·浙江紹興·高三紹興一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（）A．2B．C．D．【典例3】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，，且，則（）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為2D．的最大值為4五、不等式恒成立與能成立問(wèn)題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，若不等式恒成立，則的最大值為．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式.若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍易錯(cuò)點(diǎn)1忽視不等式性質(zhì)成立的條件點(diǎn)撥：在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣做的條件．【典例1】（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）（多選）,則下列命題中，正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【典例2】（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）（多選）已知，下列命題為真命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則易錯(cuò)點(diǎn)2忽視不等式中參數(shù)的取值范圍點(diǎn)撥：對(duì)于最高項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的問(wèn)題，一定要注意討論當(dāng)最高項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，是否符合題意?！镜淅?】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列不等式證明過(guò)程正確的是（）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．不等式與成立的條件是相同的.B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)，的最小值是4D．“且”是“”的充分條件易錯(cuò)點(diǎn)3忽視基本不等式應(yīng)用的條件點(diǎn)撥：（1）利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負(fù)（2）對(duì)形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ax，b【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知命題p：“?x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．－1<a<2B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)<－1D．－1≤a<2【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）不等式的解集為，則的取值范圍是.易錯(cuò)點(diǎn)4解分?jǐn)?shù)不等式忽略分母不為零點(diǎn)撥：解含有分?jǐn)?shù)的不等式,在去分母時(shí)要注意分母不為零的限制條件,防止出現(xiàn)增解,如【典例1】（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）不等式的解集是．【典例2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）下列不等式中與不等式同解的是（）A．B．C．D．易錯(cuò)點(diǎn)5連續(xù)使用均值不等式忽略等號(hào)能否同時(shí)成立點(diǎn)撥：連續(xù)使用均值不等式求最值或