考點(diǎn)33 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

考點(diǎn)33直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1.(2022·全國(guó)乙卷文科·T9)(與理科T7相同)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D【命題意圖】考查面面垂直、面面平行的判斷,考查學(xué)生的空間想象能力以及邏輯推理能力.【解析】選A.方法一:對(duì)于A選項(xiàng),在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),易知EF⊥BD,從而EF⊥平面BDD1,又因?yàn)镋F?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,所以A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)槠矫鍭1BD∩平面BDD1=BD,由上述過(guò)程易知平面B1EF⊥平面A1BD不成立;對(duì)于C選項(xiàng),由題意知直線AA1與直線B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC有公共點(diǎn),從而C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),連接AC,AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又因?yàn)槠矫鍭B1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1,故平面AB1C與平面B1EF不平行,即平面A1C1D與平面B1EF不平行,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.方法二:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD,又EF?平面ABCD,所以EF⊥DD1,因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD1=D,所以EF⊥平面BDD1,又EF?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正確;如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),則=(-1,1,0),=(0,1,2),=(2,2,0),=(2,0,2),=(0,0,2),=(-2,2,0),=(-2,2,0),設(shè)平面B1EF的法向量為m=(x1,y1,z1),則有,可取m=(2,2,-1),同理可得平面A1BD的一個(gè)法向量為n1=(1,-1,-1),平面A1AC的一個(gè)法向量為n2=(1,1,0),平面A1C1D的一個(gè)法向量為n3=(1,1,-1),則m·n1=2-2+1=1≠0,所以平面B1EF與平面A1BD不垂直,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閙與n2不平行,所以平面B1EF與平面A1AC不平行,故C錯(cuò)誤;因?yàn)閙與n3不平行,所以平面B1EF與平面A1C1D不平行,故D錯(cuò)誤.2.(2022·北京高考·T17)(本小題14分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分別為A1B1,AC的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面BCC1B1;(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.條件①:AB⊥MN;條件②:BM=MN.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【命題意圖】通過(guò)三棱柱,考查線面平行的判斷,考查直線與平面所成的角.【解析】(1)取BC中點(diǎn)D,連接B1D,DN,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,因?yàn)镸,N,D分別為A1B1,AC,BC的中點(diǎn),所以B1M∥AB,B1M=12AB,DN∥AB,DN=12即B1M∥DN且B1M=DN,所以四邊形B1MND為平行四邊形,因此B1D∥MN.又MN?平面BCC1B1,B1D?平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1.(2)選①:因?yàn)閭?cè)面BCC1B1為正方形,所以CB⊥BB1,又因?yàn)槠矫鍮CC1B1⊥平面ABB1A1,且平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1,所以CB⊥平面ABB1A1,而AB?平面ABB1A1,所以CB⊥AB,而B(niǎo)1D∩CB=D,所以AB⊥平面BCC1B1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA,BC,BB1兩兩垂直,故分別以BC,BA,BB1所在直線為x軸,y軸,z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳B=BC=BB1=2,所以B(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),所以=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,-2,0),設(shè)平面BMN的法向量為n=(x,y,z),由·n=0,·n=0,得x+y=0,y+2z=0,令x=2,得n=(2,-則sinθ=|cos<n,>|==23,所以直線AB與平面BMN所成角的正弦值為23.選②:取AB中點(diǎn)H,連接HM,HN.因?yàn)镸,N,H分別為A1B1,AC,AB的中點(diǎn),所以B1B∥MH,CB∥NH,而CB⊥BB1,故NH⊥MH,又因?yàn)锳B=BC=2,所以NH=BH=1,在△MHB和△MHN中,BM=MN,NH=BH,公共邊為MH,所以△MHB≌△MHN,因此∠MHN=∠MHB=90°,即MH⊥AB,故BB1⊥AB.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BA,BC,BB1兩兩垂直,故分別以BC,BA,BB1所在直線為x軸,y軸,z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳B=BC=BB1=2,所以B(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),所以=(1,1,0),=(0,1,2)