有限元-第五講課件

平面問題有限單元法二.有限元分析的主要步驟三.平面問題直邊單元位移函數(shù)的兩種構(gòu)造方法一.什么是平面問題？平面問題的基本未知量是什么？四.曲邊單元的構(gòu)造方法五.四種平面單元平面問題有限單元法二.有限元分析的主要步驟三.平面問題直邊單1平面問題有限單元法一.什么是平面問題？平面問題的基本未知量是什么？實(shí)際工程結(jié)構(gòu)問題嚴(yán)格來講都屬于空間問題，但對一些特殊的幾何形狀和荷載，可將空間問題簡化為平面問題。兩類平面問題：平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。平面問題的基本未知量：平面問題有限單元法一.什么是平面問題？平面問題的基本未知量是2平面問題有限單元法二.有限元分析的主要步驟有限元法主要優(yōu)點(diǎn)之一：理論推導(dǎo)過程及計(jì)算步驟的高度規(guī)范和統(tǒng)一位移元主要步驟：1.離散連續(xù)介質(zhì)，形成有限元網(wǎng)格，并完成單元及結(jié)點(diǎn)編號2.單元分析，得到以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量的單元平衡方程3.整體分析，得到總體平衡方程4.邊界條件處理，消除總剛度矩陣的奇異性5.解線性代數(shù)方程組，得到結(jié)點(diǎn)位移6.單元計(jì)算，由結(jié)點(diǎn)位移得到應(yīng)力、應(yīng)變7.其它要求。平面問題有限單元法二.有限元分析的主要步驟有限元法主要優(yōu)點(diǎn)之3平面問題有限單元法三.平面問題直邊單元位移函數(shù)的兩種構(gòu)造方法1、收斂準(zhǔn)則：完備性、協(xié)調(diào)性要求2、形函數(shù)的特點(diǎn)C0問題、C1問題協(xié)調(diào)元、非協(xié)調(diào)元、廣義協(xié)調(diào)元1)在結(jié)點(diǎn)i處Ni=1，其他結(jié)點(diǎn)Ni=0；2)包含完全的一次多項(xiàng)式；3)由其定義的未知量在單元之間連續(xù)；4)平面問題有限單元法三.平面問題直邊單元位移函數(shù)的兩種構(gòu)造方法4平面問題有限單元法三.平面問題直邊單元位移函數(shù)的兩種構(gòu)造方法3、廣義坐標(biāo)法構(gòu)造位移插值函數(shù)需求逆矩陣,存在矩陣不可逆及表達(dá)式難以規(guī)范化等問題，不適于構(gòu)造高階單元2）由單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求解1）用廣義坐標(biāo)作為待定參數(shù)，給出單元位移模式3）將代入得到單元結(jié)點(diǎn)位移表示的位移和相應(yīng)的插值函數(shù)。平面問題有限單元法三.平面問題直邊單元位移函數(shù)的兩種構(gòu)造方法5平面問題有限單元法三.平面問題直邊單元位移函數(shù)的兩種構(gòu)造方法4、試湊法構(gòu)造位移插值函數(shù)在自然坐標(biāo)下，根據(jù)形函數(shù)的特點(diǎn)直接列出每個(gè)結(jié)點(diǎn)形函數(shù)的表達(dá)式。具體步驟：1）對于結(jié)點(diǎn)i找出過其余結(jié)點(diǎn)的若干直線；2）適當(dāng)選用上述直線，將直線方程的左部以帶參數(shù)連乘式作為形函數(shù)Ni，這樣可使在“它點(diǎn)為零”的條件自動(dòng)滿足。3）將i點(diǎn)坐標(biāo)帶入上面假定的Ni，用“本點(diǎn)為1”的性質(zhì)確定待定參數(shù)。4）待求出所有結(jié)點(diǎn)的Ni后，需驗(yàn)證平面問題有限單元法三.平面問題直邊單元位移函數(shù)的兩種構(gòu)造方法6平面問題有限單元法四.曲邊單元的構(gòu)造方法利用自然坐標(biāo)下的已知單元構(gòu)造曲邊單元等參元：單元的幾何形狀和位移場都采用相同的形函數(shù)亞參元：單元幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)低于位移插值函數(shù)超參元：單元幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)高于位移插值函數(shù)如何描述單元幾何形狀？如何描述單元內(nèi)任一點(diǎn)的物理量？要解決兩個(gè)問題：平面問題有限單元法四.曲邊單元的構(gòu)造方法利用自然坐標(biāo)下的已知7平面問題有限單元法四.曲邊單元的構(gòu)造方法注意構(gòu)造等參單元時(shí)求導(dǎo)及積分過程的坐標(biāo)變換數(shù)值積分法：Gauss法,積分階數(shù)的選取。平面問題有限單元法四.曲邊單元的構(gòu)造方法注意構(gòu)造等參單元時(shí)求8平面問題有限單元法五.四種平面單元1、常應(yīng)變單元2、二次三角形單元3、雙線性矩形單元4、任意四邊形單元平面問題有限單元法五.四種平面單元1、常應(yīng)變單元2、二次三角9第四章空間問題有限單元法實(shí)際工程中，對于那些形體復(fù)雜，三個(gè)方向尺寸同量級的結(jié)構(gòu)，必須按空間（三維）問題求解?？臻g問題的有限單元法中的位移仍然只有平動(dòng)位移，所以仍屬于C0連續(xù)問題，因此構(gòu)造單元并不難。將平面問題有限元法“稍加變動(dòng)”并“加以推廣”便可用于空間問題。第四章空間問題有限單元法實(shí)際工程中，對于那些形體復(fù)雜，三10第四章空間問題有限單元法由平面問題轉(zhuǎn)為空間問題，給有限元分析帶來兩個(gè)主要難題：1、空間離散化不太直觀，人工離散很容易出錯(cuò)。2、未知量的數(shù)量劇增，對計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)和計(jì)算時(shí)間要求較高。第四章空間問題有限單元法由平面問題轉(zhuǎn)為空間問題，給有限元11第四章空間問題有限單元法解決問題：1、編程建模2、采用高精度單元由于通用軟件有很好的前后處理功能，因此空間問題基本上都靠軟件來解決。第四章空間問題有限單元法解決問題：1、編程建模2、采用高12一、空間問題常用單元第四章空間問題有限單元法二、常應(yīng)變四面體單元一、空間問題常用單元第四章空間問題有限單元法二、常應(yīng)變四13一、空間問題常用單元第四章空間問題有限單元法2.按位移函數(shù)階次分1.按形狀分：四面體單元（三棱錐）五面體單元（三棱柱）六面體單元（立方體）線性單元：四結(jié)點(diǎn)四面體，六結(jié)點(diǎn)五面體、八結(jié)點(diǎn)六面體等二階單元：十結(jié)點(diǎn)四面體，二十結(jié)點(diǎn)六面體等三階單元：二十結(jié)點(diǎn)四面體，三十二結(jié)點(diǎn)六面體等一、空間問題常用單元第四章空間問題有限單元法2.按位移14一、空間問題常用單元第四章空間問題有限單元法4.構(gòu)造曲面單元3.形函數(shù)構(gòu)造方法：1）廣義坐標(biāo)法：僅用在常應(yīng)變單元等參元：利用規(guī)則單元作母元，通過等參變換構(gòu)造曲面單元2）試湊法：在自然坐標(biāo)下直接寫出形函數(shù)四面體單元的自然坐標(biāo)是體積坐標(biāo)一、空間問題常用單元第四章空間問題有限單元法4.構(gòu)造曲15二、常應(yīng)變四面體單元1.基本變量第四章空間問題有限單元法單元內(nèi)任一點(diǎn)位移:

單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變:

單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力:

二、常應(yīng)變四面體單元1.基本變量第四章空間問題有限單元16二、常應(yīng)變四面體單元1.基本變量第四章空間問題有限單元法單元結(jié)點(diǎn)位移:結(jié)點(diǎn)位移:二、常應(yīng)變四面體單元1.基本變量第四章空間問題有限單元172.單元位移插值函數(shù)：設(shè)單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移為坐標(biāo)的線性函數(shù):即為廣義坐標(biāo)二、常應(yīng)變四面體單元第四章空間問題有限單元法2.單元位移插值函數(shù)：設(shè)單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移為坐標(biāo)的線性函數(shù)18將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入u(x,y,z)，得結(jié)點(diǎn)x方向位移:（四個(gè)方程、四個(gè)未知量）2.單元位移插值函數(shù)：二、常應(yīng)變四面體單元第四章空間問題有限單元法將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入u(x,y,z)，得結(jié)點(diǎn)x方向位移:（四個(gè)方程19解方程組得后，可將u的表達(dá)整理成：式中:解方程組得后，可將u的表達(dá)整理成：式中:20按1、2、3、4的順序變換下標(biāo)，可得其它系數(shù)令:則:同樣的過程可得到:形函數(shù)按1、2、3、4的順序變換下標(biāo)，可得其它系數(shù)令:則:同樣的過21則單元位移模式可寫成：（由結(jié)點(diǎn)位移表示的單元內(nèi)位移）或：形函數(shù)矩陣則單元位移模式可寫成：（由結(jié)點(diǎn)位移表示的單元內(nèi)位移）或：形函223.單元幾何方程：第四章空間問題有限單元法二、常應(yīng)變四面體單元由結(jié)點(diǎn)位移求單元內(nèi)應(yīng)變將位移表達(dá)式代入，得：其中：3.單元幾何方程：第四章空間問題有限單元法二、常應(yīng)變四23第四章空間問題有限單元法[B]中各元素為常數(shù)，則{

}也為常量—常應(yīng)變單元第四章空間問題有限單元法[B]中各元素為常數(shù)，則{}也244.單元物理方程：第四章空間問題有限單元法二、常應(yīng)變四面體單元由結(jié)點(diǎn)位移求單元內(nèi)應(yīng)力—應(yīng)力矩陣令:4.單元物理方程：第四章空間問題有限單元法二、常應(yīng)變四25第四章空間問題有限單元法其中：第四章空間問題有限單元法其中：26第四章空間問題有限單元法其中：第四章空間問題有限單元法其中：275.單元基本方程：第四章空間問題有限單元法二、常應(yīng)變四面體單元利用變分原理建立單元平衡方程：其中：單元?jiǎng)偠染仃嚨刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載5.單元基本方程：第四章空間問題有限單元法二、常應(yīng)變四28第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程二、矩形薄板單元三、三角形薄板單元四、用矩形薄板單元進(jìn)行薄殼分析五、用三角形薄板單元進(jìn)行薄殼分析六、用薄板單元進(jìn)行薄殼分析的步驟第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程二29第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程1.薄板彎曲的概念：1）薄板薄膜厚板第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程130第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程1.薄板彎曲的概念：薄板所受任意荷載，均可分解成：2）薄板彎曲受彎板的中面將變形成為一個(gè)曲面，垂直于中面的位移稱為撓度w。當(dāng)板的撓度w遠(yuǎn)小于板厚h時(shí)，可引進(jìn)一些假設(shè)簡化分析過程，這類問題稱為板的小撓度彎曲問題作用于中面的面內(nèi)載荷－彈性力學(xué)平面問題垂直于中面的橫向荷載－板的彎曲問題第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程131第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程2.薄板彎曲問題的基本假定－克?；舴蚣俣ǎ?）中面法線變形后既不伸長也不縮短；2）板中面法線變形前是直線，變形后仍保持直線，且與變形后的中面保持垂直；3）中面各點(diǎn)沒有平行于中面的位移。假定（1）與梁彎曲問題的互不擠壓假定相似

z=0即：w=w(x,y)所以：第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程232第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程2.薄板彎曲問題基本假定：假定（2）與梁彎曲問題的平面假定相似，即剪切應(yīng)變：

zx=

zy=0即：有：利用：w=w(x,y)第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程233第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程2.薄板彎曲問題基本假定：所以：再使用假定（3），得：f1(x,y)=0，f2(x,y)=0第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程234第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程3.薄板彎曲問題的應(yīng)變：

x=Xxz

y＝Xyz

xy＝2Xxyz

z=yz=

zx＝0六個(gè)應(yīng)變分量中，根據(jù)假定，已知：其余三個(gè)分量：第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程335第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程3.薄板彎曲問題的應(yīng)變：曲率：扭率：薄板的形變分量第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程336第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程4.薄板彎曲問題的應(yīng)力：(x、y、xy）通過平面問題的物理方程由應(yīng)變求出(z、zx、zy）則必須由三個(gè)平衡微分方程求解給出需注意：應(yīng)力分量（

z、zx、zy）盡管相對面內(nèi)應(yīng)力分量（x、y、xy）很小，它們對應(yīng)的應(yīng)變分量z、zx、zy可略去不計(jì)，但它們本身由于是平衡所必須的而不能忽略不計(jì)。第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程437第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程4.薄板彎曲問題的應(yīng)力：應(yīng)力分量（

x、y、xy）：特點(diǎn)：均沿厚度呈線性分布，在中面處為零，在板的上、下板面達(dá)到最大。第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程438第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程4.薄板彎曲問題的應(yīng)力：應(yīng)力分量（

z、

zx、zy）：考慮薄板上、下板面的邊界條件解得橫向剪應(yīng)力，為第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程439第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程4.薄板彎曲問題的應(yīng)力：特點(diǎn)：橫向剪應(yīng)力

zx、zy沿板厚度方向呈拋物線分布，在板的上、下板面為零，在板中面最大。第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程440第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程4.薄板彎曲問題的應(yīng)力：將z方向所有力作用等效移置到板面上，板上、下表面的邊界條件變成利用z方向的平衡條件求

z

利用邊界條件可解得：第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程441第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程4.薄板彎曲問題的應(yīng)力：特點(diǎn)：

z沿板厚度方向呈三次方變化最大值發(fā)生在板面為q，最小值在板底為0。第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程442第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程5.薄板彎曲的平衡微分方程：上式中，利用板下面的邊界條件，得：D是板的彎曲剛度，板厚的三次方成正比，與彈模成正比，與梁的彎曲剛度類似第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程543第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程6.薄板橫截面上的內(nèi)力：第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程644第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程6.薄板橫截面上的內(nèi)力：正負(fù)規(guī)定：在z為正，若應(yīng)力分量為正，則由此合成的內(nèi)力為正內(nèi)力是作用在每單位寬度上的力，例如：彎矩和扭矩的量綱應(yīng)是［力］，而不是通常的［力］［長度］。第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程645第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程6.薄板橫截面上的內(nèi)力：正應(yīng)力

x、y分別與Mx、My成正比，故稱為彎應(yīng)力；剪應(yīng)力xy與扭矩Mxy成正比，故稱為扭應(yīng)力；剪應(yīng)力zx、zy與橫向剪力Qx、Qy成正比，故稱為橫向剪應(yīng)力；正應(yīng)力z與荷載q成正比，故稱為擠壓應(yīng)力。在薄板彎曲問題中，彎應(yīng)力和扭應(yīng)力是主要應(yīng)力，橫向剪應(yīng)力較小，是次要應(yīng)力，擠壓應(yīng)力更小，是更次要應(yīng)力。第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程646第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程6.薄板橫截面上的內(nèi)力：第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程647第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程7.薄板的勢能：由基本假定，故板的應(yīng)變能為：

z=yz=

zx＝0外力勢能為：總勢能：第五章板殼問題有限單元法一、薄板彎曲基本假定和基本方程748第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元1.基本變量：單元內(nèi)任一點(diǎn)位移:

單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)變:

其中:

單元內(nèi)任一點(diǎn)應(yīng)力:

第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元1.基本變量：49第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元1.基本變量：單元結(jié)點(diǎn)位移:結(jié)點(diǎn)位移:第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元1.基本變量：50第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元2.單元位移插值函數(shù)：由于薄板的位移、應(yīng)變、應(yīng)力、內(nèi)力等都可用撓度w來表示，所以位移插值函數(shù)的選擇，即為撓度模式的選擇4個(gè)結(jié)點(diǎn)，12個(gè)自由度，故在自然坐標(biāo)下設(shè)：第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元2.單元位移插51第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元2.單元位移插值函數(shù)：所以有：將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及位移代入上面三式:第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元2.單元位移插52第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元2.單元位移插值函數(shù)：形函數(shù)矩陣形函數(shù)第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元2.單元位移插53第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元3.位移的協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)：總勢能為3次完全多項(xiàng)式，故滿足完備性要求其最高階導(dǎo)數(shù)p=2，完備性要求位移模式為2次完全多項(xiàng)式矩形薄板單位的位移：第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元3.位移的協(xié)調(diào)54第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元3.位移的協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)：能量泛涵中位移函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)p=2，協(xié)調(diào)性要求位移模式在相鄰單元的交界面上有0-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)—C1問題以右圖為例，考察兩相鄰單元在34邊位移是否協(xié)調(diào)：由于34邊上為常數(shù)，所以w為

的三次方程，含4個(gè)未知量，可通過結(jié)點(diǎn)位移分量：求解未知量，從而唯一確定位移w,保證了兩單元之間撓度和轉(zhuǎn)角的連續(xù)第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元3.位移的協(xié)調(diào)55第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元3.位移的協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)：對于轉(zhuǎn)角：34邊上為常數(shù)，仍為

的三次方程，含4個(gè)未知量，而此時(shí)僅有：兩個(gè)求解條件，所以無法完全確定三次方程，也就無法保證在34邊上兩單元有相同的第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元3.位移的協(xié)調(diào)56第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元3.位移的協(xié)調(diào)性檢驗(yàn)：以上分析表明，矩形板單元的撓度和切向轉(zhuǎn)角可滿足協(xié)調(diào)性要求，而法向轉(zhuǎn)角則不能滿足協(xié)調(diào)性要求，這種單元也稱為非協(xié)調(diào)元，對于非協(xié)調(diào)元，只有能通過分片試驗(yàn)，也可收斂于精確解。第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元3.位移的協(xié)調(diào)57第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元4.單元幾何方程：將已經(jīng)得到單元幾何方程為：將帶入上式：第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元4.單元幾何方58第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元4.單元幾何方程：第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元4.單元幾何方59第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元5.單元物理方程：—應(yīng)力矩陣令:第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元5.單元物理方60第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元6.單元分析：利用變分原理，得平衡方程：已經(jīng)得到單元?jiǎng)菽埽簩⑶懊娴姆治鼋Y(jié)果帶入上式：第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元6.單元分析：61第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元6.單元分析：其中：單元?jiǎng)偠染仃嚨刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載當(dāng)荷載均勻分布時(shí)：第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元6.單元分析：62第五章板殼問題有限單元法二、矩形薄板單元7.位移邊界條件：常