2017秋季初二期中復(fù)習(xí)資料幾何部分

2017秋季初二期中復(fù)習(xí)資料幾何部分

一.選擇題（共7小題）

如圖，在中，是它的角平分線，貝

1.AABCADAB=8cm,AC=6cm,US?BD：SAACD=

A.3：4B.4：3C.16：9D.9：16

2.已知:三角形的兩邊長分別為3和7,則第三邊的中線長x的取值范圍是（）

A.2<x<5B.4<x<10C.3<x<7D.無法確定

3.把一個正方形紙片折疊三次后沿虛線剪斷①②兩部分，則展開①后得到的是

4.如圖，正方形ABCD的邊長為4,將一個足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放于

點(diǎn)A處，該三角形板的兩條直角邊與CD交于點(diǎn)F,與CB延長線交于點(diǎn)E,四邊

5.如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示.若NA=60。，Zl=95°,

則N2的度數(shù)為（）

A.24°B.25°C.30°D.35°

6.如圖所示，在正五邊形的對稱軸直線I上找點(diǎn)P,使得^PCD、4PDE均為等

腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有（）

7.如圖，等腰RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AD^BC于D,NABC的平分線分別交

AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長AM交BC于點(diǎn)N,連接DM.下列

結(jié)論：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④NBMD=45。，其中正確

的結(jié)論個數(shù)是（）

二.填空題（共7小題）

8."已知點(diǎn)P在直線I上，利用尺規(guī)作圖過點(diǎn)P作直線PQL”的作圖方法如下:

①以點(diǎn)P為圓心，以任意長為半徑畫弧，交直線I于A、B兩點(diǎn)；

②分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，以大于L\B的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q；

2

③連接PQ.則直線PQLI.請說明此方法依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是.

><0

——.-------------」

APB

9.如圖，點(diǎn)P為NAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA、0B的對稱點(diǎn)Pi、P2,

連接P1P2交0A于M,交0B于N,若P￡2=6,則△PMN的周長為.

10.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40。，則這個等腰三角形的一個底

角的度數(shù)為.

11.如圖所示，矩形ABCD中，AB=4,BC=4^，點(diǎn)E是折線段A-D-C上的一

個動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動的過

程中，使4PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有個.

AB=AO,ZABO=30°,直線MN經(jīng)過原點(diǎn)。，點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A1在x

軸的正半軸上，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為Bi，則NAOM的度數(shù)為；

點(diǎn)Bi的縱坐標(biāo)為.

13.考察下列命題：（1）全等三角形的對應(yīng)邊上的中線、高線、角平分線對應(yīng)相

等；（2）兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（3）兩邊和第三

邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）兩角和其中一角的角平分線對應(yīng)相

等的兩個三角形全等；（5）兩角和第三角的角平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等;

（6）兩邊和其中一邊上的高線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（7）兩邊和第三邊

上的高線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；其中正確的命題是（填寫序號）.

14.小睿同學(xué)在探究性課題的研究中發(fā)現(xiàn)了正多邊形的一個規(guī)律：下面四個圖分

別是正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE和正n邊形ABCDE...F,點(diǎn)M、

N分別是相鄰兩條邊上的點(diǎn)且滿足BM=CN,連接AM、BN,相交于點(diǎn)P,小睿通

過證明AABM和△BCN全等，分別得到了在正三角形ABC中，NAPN=60。；在正

方形ABCD中，ZAPN=90°,在正五邊形ABCDE中，ZAPN=108°,請沿著小睿的

思路，嘗試計(jì)算在正n邊形ABCDE...F中，ZAPN=。（用含有n的代數(shù)式

三.解答題（共24小題）

15.尺規(guī)畫圖（不用寫作法，要保留作圖痕跡）

如圖1,在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部在A區(qū)內(nèi)，到鐵路與到

公路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處B點(diǎn)400米，如果你是紅方的指揮員，

請你在圖2所示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置點(diǎn)P.

A區(qū)

比例尺1:20000?/

圖1圖2

16.已知：在aABC中，ZABC=100°,NC的平分線交AB邊于點(diǎn)E,在AC邊上

取點(diǎn)D,使得NCBD=20。，連結(jié)DE.求NCED的度數(shù).

17.(1)如圖1,在正方形ABCD中，M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn),

P是BC延長線上一點(diǎn)，N是NDCP的平分線上一點(diǎn).若NAMN=90。,求證:AM=MN.

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明.

證明：在邊AB上截取AE=MC,連ME.正方形ABCD中，ZB=ZBCD=90°,

AB=BC./.ZNMC=180°-ZAMN-ZAMB=180°-ZB-ZAMB=ZMAB=Z

MAE.下面請你完成余下的證明過程

(2)若將(1)中的"正方形ABCD"改為"正三角形ABC"(如圖2),N是NACP

的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)NAMN=60。時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由.

(3)若將(1)中的“正方形ABCD"改為"正n邊形ABCD...",請你作出猜想：當(dāng)

ZAMN=。時，結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案)

18.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，^ABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，且

ZACB=90°,AC=BC.

(1)如圖1,當(dāng)A(0,-2),C(l,0),點(diǎn)B在第四象限時，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動，點(diǎn)A在y軸正半軸上運(yùn)動，點(diǎn)B在

第四象限時，作BD，y軸于點(diǎn)D,試判斷空型與匹堂■哪一個是定值，并說明

OA0A

定值是多少？請證明你的結(jié)論.

19.如圖，在RLdABC中,ZBAC=90°,AC=2AB,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn).將一塊銳

角為45。的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與A、D重合，

連接BE、EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想.

20.有一塊木板，如圖，請你把它切成三塊，然后拼成一個正方形的桌面.請?jiān)?/p>

圖中畫出剪切線，并把拼成的正方形在圖中畫出（保留剪切的痕跡，不寫畫法）

21.你能將等邊三角形分成兩個、三個、四個、六個、八個全等的三角形嗎？請

在圖中畫出分割線，不寫畫法.

AA

22.如圖，在AABC中，以AB、AC為直角邊，分別向外作等腰RtAABE和等腰

RtAACF,連接EF,過點(diǎn)A作ADLBC,垂足為D,反向延長DA交EF于點(diǎn)M.

（1）用圓規(guī)比較EM與FM的大小.

（2）證明（1）中的結(jié)論.

23.如圖，有一RtAABC,ZC=90°,AC=10cm,BC=5cm,一條線段PQ=AB,P

點(diǎn)在AC上，Q點(diǎn)在過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動.當(dāng)aABC和△APQ全

等時，點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為.

24.學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即"SAS"、"ASA"、"AAS"、"SSS”）和直角三

角形全等的判定方法（即"HL"）后，我們繼續(xù)對"兩個三角形滿足兩邊和其中一

邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為：在aABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,ZB=

NE,然后，對NB進(jìn)行分類，可分為"NB是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探

究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)NB是直角時，^ABC之4DEF.

(1)如圖①，在aABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE=90°,根據(jù),

可以知道RtAABC^RtADEF.

第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時，ZSABC絲Z\DEF.

(2)如圖②，在Z^ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是鈍

角，求證：AABC^^DEF.

第三種情況：當(dāng)NB是銳角時，^ABC和4DEF不一定全等.

(3)在AABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,NB=/E,且NB、NE都是銳角，請你

用尺規(guī)在圖③中作出ADEF,使4DEF和AABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕

跡)

(4)NB還要滿足什么條件，就可以使△ABC^^DEF?請直接寫出結(jié)論：在4

ABC和ADEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，若,

則AABC之ADEF.

25.已知：如圖所示，直線MA〃NB,NMAB與NNBA的平分線交于點(diǎn)C,過點(diǎn)

C作一條直線I與兩條直線MA,NB分別相交于點(diǎn)D,E.

（1）如圖1所示，當(dāng)直線I與直線MA垂直時，補(bǔ)全圖形并猜想線段AD,BE,

AB之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不用證明）；

（2）如圖2所示，當(dāng)直線I與直線MA不垂直且交點(diǎn)D,E都在AB的同側(cè)時，

補(bǔ)全圖形并探究（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請

說明理由；

（3）當(dāng)直線I與直線MA不垂直且交點(diǎn)D,E在AB的異側(cè)時，補(bǔ)全圖形并探究

（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段

AD,BE,AB之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請直接寫出它們之間的數(shù)

量關(guān)系.

26.如圖甲，在^ABC中，NACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD,

以AD為一邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE,ZADE=ZAED=45°,Z

DAE=90°,AD=AE.解答下列問題：

（1）如果AB=AC,ZBAC=90°,ZABC=ZACB=45".

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CE、BD之間的位置關(guān)

系為，數(shù)量關(guān)系為.（不用證明）

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什“？

（2）如果ABWAC,NBACW90。，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動.

試探究：當(dāng)AABC滿足一個什么條件時，CE1BD（點(diǎn)C、E重合除外）？畫出相

應(yīng)的圖形.

E

27.等腰RtZ\ABC中，ZBAC=90°,點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是x軸、y軸兩個動點(diǎn)，直角

邊AC交x軸于點(diǎn)D,斜邊BC交y軸于點(diǎn)E；

(1)如圖(1),若A(0,1),B(2,0),求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖(2),當(dāng)?shù)妊黂tAABC運(yùn)動到使點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時，連接DE,求證:

ZADB=ZCDE

(3)如圖(3),在等腰RtAABC不斷運(yùn)動的過程中，若滿足BD始終是NABC

的平分線，試探究：線段OA、OD、BD三者之間是否存在某一固定的數(shù)量關(guān)系,

CD,其中CD交直線AP于點(diǎn)E.

(1)依題意補(bǔ)全圖1;

(2)若NPAB=30°,求NACE的度數(shù);

(3)如圖2,若6(T<NPABV120。，判斷由線段AB,CE,ED可以構(gòu)成一個含有

多少度角的三角形，并證明.

29.如圖1,已知A（0,a）,B（b,0）,且a、b滿足a?-4a+20=8b-b?.

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2,連接AB,若D（0,-6）,DE_LAB于點(diǎn)E,B、C關(guān)于y軸對稱，

M是線段DE上的一點(diǎn)，且DM=AB,連接AM,試判斷線段AC與AM之間的位

置和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3,在（2）的條件下，若N是線段DM上的一個動點(diǎn)，P是MA延長

線上的一點(diǎn)，且DN=AP,連接PN交y軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)N作NHJ_y軸于點(diǎn)H,當(dāng)

N點(diǎn)在線段DM上運(yùn)動時，△MQH的面積是否為定值？若是，請求出這個值；

若不是，請說明理由.

30.生活中，有人喜歡把傳送的便條折成形狀V,折疊過程是這樣的（陰影

部分表示紙條的反面）：如果由信紙折成的長方形紙條（圖①）長為26cm,寬為

xcm,分別回答下列問題：

（1）為了保證能折成圖④的形狀（即紙條兩端均超出點(diǎn)P）,試求x的取值范圍；

（2）如果不但要折成圖④的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超出點(diǎn)P的長

度相等，即最終圖形是軸對稱圖形，試求在開始折疊時起點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離（用

x表示）.

31.(1)如圖(1),已知：在aABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點(diǎn)A,

BDL直線m,CEL直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖(2),將(1)中的條件改為：在aABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都

在直線m上，并且有NBDA=NAEC=/BAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問

結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)拓展與應(yīng)用：如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)(D、

A、E三點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)F為NBAC平分線上的一點(diǎn)，且4ABF和4ACF均為等

邊三角形，連接BD、CE,若NBDA=/AEC=NBAC,試判斷aDEF的形狀.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在對角線BD上，點(diǎn)F在BC邊上時，連接DF,取DF的中

點(diǎn)M,連接ME,MC,則ME與MC的數(shù)量關(guān)系是,ZEMC=。；

(2)如圖2,將圖1中的4BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E在CB的延長線上，(1)中

的其他條件不變.

①(1)中ME與MC的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？請證明你的結(jié)論；

②求NEMC的度數(shù).

33.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABC的頂點(diǎn)B是y軸正半軸上一個

定點(diǎn)，D是B。的中點(diǎn).點(diǎn)C在x軸上，A在第一象限，且滿足AB=AO,N是x

軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，ZBCN=ZBAO=a.

(1)當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上移動時，求/BCA；(結(jié)果用含a的式子表示)

(2)當(dāng)某一時刻A(20,17)時，求OC+BC的值；

(3)當(dāng)點(diǎn)C沿x軸負(fù)方向移動且與點(diǎn)。重合時，a=。，此時以A0為斜

邊在坐標(biāo)平面內(nèi)作一個RtAAOE(E不與D重合)，則NAED的度數(shù)的所有可能

值有.(直接寫出結(jié)果)

34.在AABC中，AD是AABC的角平分線.

(1)如圖1,過C作CE〃AD交BA延長線于點(diǎn)E,求證：AE=AC.

(2)如圖2,M為BC的中點(diǎn)，過M作MN〃AD交AC于點(diǎn)N,若AB=4,AC=7,

求NC的長.

35.(1)尺規(guī)作圖:如圖a,已知NM0N,作NM0N的平分線0P,并在0P上

任取一點(diǎn)Q,分別在。M、ON上各取一點(diǎn)S、T,作△OSQ和△OTQ,使得△OSQ

且△OTQ.(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

①如圖b,在^ABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD、CE分別是NBAC、ZBCA

的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖c,在^ABC中，如果NACB不是直角，而①中的其它條件不變，請問,

你在①中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

圖a圖占圖c

36.如圖，已知正方形ABCD中，邊長為10厘米，點(diǎn)E在AB邊上，BE=6厘米.

(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q

在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動.

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，4BPE與ACCiP是否

全等，請說明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，

能夠使4BPE與△CQP全等？

(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時

出發(fā)，都逆時針沿正方形ABCD四邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在

正方形ABCD邊上的何處相遇？

37.點(diǎn)P與點(diǎn)Q位于線段MN的兩側(cè)，

(1)如圖甲，若△PMN和△QMN中，PI平分外角NSPN,并與線段MN的延長

線交于點(diǎn)I,連接QI，若△PMN之△QMN,求證：QI平分外角NTQN；

(2)如圖乙，若△PMN和△QMN中，PM+PN=QM+QN,且外角NSPN和NTQN

的角平分線PI、QI相交于點(diǎn)I,連接Ml,求證：Ml平分NPMQ.

s

s

38.已知："BC中，ZABC=2ZACB,NABC的平分線BD與NACB的平分線CD

相交于點(diǎn)D,且CD=AB,求證：ZA=60°.

2017秋季初二期中復(fù)習(xí)資料幾何部分

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

1.（2016秋?撫寧縣期末）如圖，在^ABC中，AD是它的角平分線，AB=8cm,

A.3：4B.4：3C.16：9D.9：16

【解答】解：:AD是AABC的角平分線，

.?.設(shè)4ABD的邊AB上的高與4ACD的AC上的高分別為hi，h2,

??hi=h2，

.'.△ABD與4ACD的面積之比=AB：AC=8：6=4：3,

故選：B.

2.（2016秋?西城區(qū)校級期中）已知：三角形的兩邊長分別為3和7,則第三邊

的中線長x的取值范圍是（）

A.2<x<5B.4<x<10C.3<x<7D.無法確定

【解答】解：7-3<2x<7+3,即2VxV5.

故選A.

3.（2016秋?西城區(qū)校級期中）把一個正方形紙片折疊三次后沿虛線剪斷①②兩

部分，則展開①后得到的是（）

A.O,Oc.O.<^

【解答】解：如圖，展開后圖形為正D方形.

故選：C.

4.（2016秋?富順縣期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4,將一個足夠大的直

角三角板的直角頂點(diǎn)放于點(diǎn)A處，該三角形板的兩條直角邊與CD交于點(diǎn)F,與

CB延長線交于點(diǎn)E,四邊形AECF的面積是（）

A.16B.12C.8D.4

【解答】解：?.?四邊形ABCD為正方形，

/.ZD=ZABC=90o,AD=AB,

，NABE=ND=90°,

,.,ZEAF=90°,

AZDAF+ZBAF=90°,ZBAE+ZBAF=90",

/.ZDAF=ZBAE,

在aAEB和aAFD中

rZBAE=ZDAF

"AB=AD

ZABE=ZD

/.△AEB^AAFD(ASA),

,,SAAEB=SAAFD>

...它們都力口上四邊形ABCF的面積，

可得到四邊形AECF的面積=正方形的面積=16.

故選:A.

5.（2015?海淀區(qū)校級自主招生）如圖，把a(bǔ)ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖

所示.若NA=60。，Zl=95°,則N2的度數(shù)為（）

A.24°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：???NA=60。,

ZAEF+ZAFE=180°-60°=120°,

，ZFEB+ZEFC=360°-120°=240°,

由折疊可得：NB'EF+NEFC'=NFEB+NEFC=240°,

N1+N2=240。-120°=120°,

VZ1=95°,

/.Z2=120°-95°=25°,

故選：B.

6.（2015秋?北京校級期中）如圖所示，在正五邊形的對稱軸直線I上找點(diǎn)P,

使得^PCD、ZSPDE均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有（）

【解答】解：:P點(diǎn)在直線L上，

此時PC=PD,

即APCD是等腰三角形，

分為三種情況：①作DE的垂直平分線，交直線I于一點(diǎn)P,此時PE=PD；

②以D為圓心，以DE為半徑，交直線I于兩點(diǎn)，此時DP=DE；

③以E為圓心，以DE為半徑，交直線I于兩點(diǎn)，此時EP=DE；

共1+2+2=5點(diǎn).

故選B.

7.（2013秋?武昌區(qū)期末）如圖，等腰RtaABC中，ZBAC=90°,ADJ_BC于D,

ZABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長AM交BC

于點(diǎn)N,連接DM.下列結(jié)論：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；

④NBMD=45。，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解:VZBAC=90°,AC=AB,AD±BC,

/.ZABC=ZC=45°,AD=BD=CD,ZADN=ZADB=90°,

，NBAD=45°=NCAD,

VBE平分NABC,

/ABE=NCBE」NABC=22.5°,

2

/.ZBFD=ZAEB=90°-22.5°=67.5°,

Z.ZAFE=ZBFD=ZAEB=67.5°,

；.AF=AE,

,.?M為EF的中點(diǎn),

AAMIBE,

，ZAMF=ZAME=90°,

/.ZDAN=90°-67.5°=22.5°=NMBN,

在4FBD和4NAD中

'/FBD=/DAN

<BD=AD

,ZBDF=ZADN

/.△FBD^ANAD,

，DF=DN,...①正確；

在4AFB和aaCNA中

"ZBAF=ZC=45°

<AB=AC

.NABF=NCAN=22.5°

.,.△AFB^ACAN,

，AF=CN,

VAF=AE,

；.AE=CN,.?.②正確；

,/ZADB=ZAMB=90°,

；.A、B、D、M四點(diǎn)共圓，

/.ZABM=ZADM=22.5O,

/DMN=NDAN+NADM=22.5°+22.5°=45°,.,.④正確;

VZDNA=ZC+ZCAN=45O+22.5O=67.5°,

.,.ZMDN=180°-45°-67.5°=67.5°=ZDNM,

，DM=MN,.?.△DMN是等腰三角形，.?.③正確；

即正確的有4個，

故選D.

二.填空題（共7小題）

8.（2015秋?房山區(qū)期末）"已知點(diǎn)P在直線I上，利用尺規(guī)作圖過點(diǎn)P作直線PQ

_U"的作圖方法如下：

①以點(diǎn)P為圓心，以任意長為半徑畫弧，交直線I于A、B兩點(diǎn)；

②分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，以大于LAB的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q；

2

③連接PQ.則直線PQ±I.請說明此方法依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是一三線合一或到線

段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，兩點(diǎn)確定一條直線.

【解答】解：三線合一或到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，兩點(diǎn)

確定一條直線.注：此題答案不唯一.

故答案為三線合一或到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，兩點(diǎn)確定

一條直線.

9.（2015秋?廊坊期末）如圖，點(diǎn)P為NAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA、

OB的對稱點(diǎn)匕、P2,連接P1P2交。A于M,交OB于N,若吩2=6,則△PMN

【解答】解：..?點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)Pi、P2，

/.PM=PiM,PN=P2N,

/.△PMN的周長=PM+MN+PN=PIM+MN+P2N=PIP2，

VP1P2=6,

/.△PMN的周長=6.

故答案為：6.

10.（2016?齊齊哈爾模擬）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40。，則這

個等腰三角形的一個底角的度數(shù)為65?；?5°.

【解答】解：當(dāng)這個三角形是銳角三角形時：高與另一腰的夾角為40,則頂角

是50。，因而底角是65。；

如圖所示：當(dāng)這個三角形是鈍角三角形時：NABD=40。，BD±CD,

故NBAD=50°,

所以NB=NC=25。

因此這個等腰三角形的一個底角的度數(shù)為25。或65°.

故填25?；?5°.

11.（2012?思明區(qū)校級一模）如圖所示，矩形ABCD中，AB=4,BC=4^,點(diǎn)E

是折線段A-D-C上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的

對稱點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動的過程中，使4PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有4個.

【解答】解：分為三種情況：①以BC為底時，有兩個，是BC的垂直平分線與

以B為圓心BA為半徑的圓的交點(diǎn)；

②以BP為底，C為頂點(diǎn)時，有兩個，是以B為圓心BA為半徑的圓與以C為圓心

BC為半徑的圓的交點(diǎn)；

③以CP為底，B為頂點(diǎn)時，沒有，?.?是以B為圓心BA為半徑的圓與以B為圓心

BC為半徑的圓沒有交點(diǎn)；

綜上滿足要求的P有4個，

故答案為：4.

12.(2015秋?北京校級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1,

點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，AB=AO,ZABO=30°,直線MN經(jīng)過原點(diǎn)。，點(diǎn)A關(guān)于

直線MN的對稱點(diǎn)Ai在x軸的正半軸上，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為Bi，則

ZAOM的度數(shù)為75。；點(diǎn)Bi的縱坐標(biāo)為一1.

【解答】解：?..AB=AO,

/.ZAOB=ZABO=30o.

???點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)Ai在x軸的正半軸上，

二直線MN垂直平分AAi，

?.,直線MN經(jīng)過原點(diǎn)0,

.*.AO=OAi，

.?.NAOM』NAOAI=L(180°-ZAOB)=Lx(180°-30°)=75°.

222

如圖，過A作AC_Lx軸于C,過比作BiDLx軸于D.

???點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1,

AOC=1,

VAB=AO,

BO=2OC=2=OBi，

VZBiDO=90°,ZDOBi=ZAOB=30°,

BiD=—OBi=l,

2

?.?點(diǎn)Bi在第四象限，

，點(diǎn)Bi的縱坐標(biāo)為-1,

故答案為：75。；-1.

13.（2015秋?北京校級期中）考察下列命題：（1）全等三角形的對應(yīng)邊上的中

線、高線、角平分線對應(yīng)相等；（2）兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三

角形全等；（3）兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）兩角和

其中一角的角平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（5）兩角和第三角的角平分線

對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（6）兩邊和其中一邊上的高線對應(yīng)相等的兩個三角

形全等；（7）兩邊和第三邊上的高線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；其中正確的命

題是1,2,3,4,5（填寫序號）.

【解答】解：（1）全等三角形的對應(yīng)邊上的中線、高線、角平分線對應(yīng)相等，正

確；

（2）兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；

（3）兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；

（4）兩角和其中一角的角平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；

（5）兩角和第三角的角平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確；

（6）兩邊和其中一邊上的高線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，錯誤；

（7）兩邊和第三邊上的高線對應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確;

故答案為：1,2,3,4,5.

14.小睿同學(xué)在探究性課題的研究中發(fā)現(xiàn)了正多邊形的一個規(guī)律：下面四個圖分

別是正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE和正n邊形ABCDE...F,點(diǎn)M、

N分別是相鄰兩條邊上的點(diǎn)且滿足BM=CN,連接AM、BN,相交于點(diǎn)P,小睿通

過證明△ABM和△BCN全等，分別得到了在正三角形ABC中，ZAPN=60°；在正

方形ABCD中，ZAPN=90°,在正五邊形ABCDE中，ZAPN=108°,請沿著小容的

思路，嘗試計(jì)算在正n邊形ABCDE...F中，ZAPN=_（n-2）180°（用含有n

n

的代數(shù)式表示）

n

理由：在△ABM和△BCN中，

'AB=BC

<NABM=/BCN，

BM=CN

.,.△ABM絲△BCN.

/.ZBAM=ZCBN.

Z.ZAPN=ZBAM+ZABN=ZCBN+ZABN=ZABC=Anz22iyO^..

n

故答案為（n-2）180°.

n

三.解答題（共24小題）

15.（2016秋?西城區(qū)校級期中）尺規(guī)畫圖（不用寫作法，要保留作圖痕跡）

如圖1,在一次軍事演習(xí)中，紅方偵察員發(fā)現(xiàn)藍(lán)方指揮部在A區(qū)內(nèi)，到鐵路與到

公路的距離相等，且離鐵路與公路交叉處B點(diǎn)400米，如果你是紅方的指揮員，

請你在圖2所示的作戰(zhàn)圖上標(biāo)出藍(lán)方指揮部的位置點(diǎn)P.

A區(qū)

比例尺1:20000

圖1圖2

P點(diǎn)即為所求.

16.（2016秋?西城區(qū)校級期中）已知：在AABC中，ZABC=100°,NC的平分線

交AB邊于點(diǎn)E,在AC邊上取點(diǎn)D,使得NCBD=20。，連結(jié)DE.求NCED的度數(shù).

【解答】解：分別作EFLCB的延長線于F,EHLAC于H,EG_LBD于G.

???CE是角平分線，

，EF=EH.

ZABC=100°,ZDBC=20°,

/.ZABD=80o,

XVZEBF=80°,

ZABD=ZEBF,

，EF=EG,

，EH=EG,

在RtAEDH與RtAEDG中，

(EH=EG,

lED=ED，

ARtAEDH^RtAEDG(HL),

，NEDH=/EDG,

/.ZCED=ZEDH-ZECD

」(ZBDH-ZBCA)

2

」X20°

2

=10°.

17.（2016秋?西城區(qū)校級期中）（1）如圖1,在正方形ABCD中，M是BC邊（不

含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長線上一點(diǎn)，N是NDCP的平分線上一點(diǎn).若

ZAMN=90°,求證：AM=MN.

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明.

證明：在邊AB上截取AE=MC,連ME.正方形ABCD中，ZB=ZBCD=90°,

AB=BC./.ZNMC=180°-ZAMN-ZAMB=180°-ZB-ZAMB=ZMAB=Z

MAE.下面請你完成余下的證明過程

（2）若將（1）中的"正方形ABCD"改為"正三角形ABC"（如圖2）,N是NACP

的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)NAMN=60。時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由.

（3）若將（1）中的“正方形ABCD"改為"正n邊形ABCD…”，請你作出猜想：當(dāng)

NAMN=」（n-2A180j_。時,結(jié)論AM=MN仍然成立.（直接寫出答案）

【解答】（1）證明：在邊AB上截取AE=MC,連接ME.

?.?正方形ABCD中，ZB=ZBCD=90°,AB=BC.

AZNMC=180°-ZAMN-ZAMB=180°-ZB-ZAMB=ZMAB=ZMAE,

BE=AB-AE=BC-MC=BM,

/.ZBEM=45°,/.ZAEM=135°.

?.?N是NDCP的平分線上一點(diǎn)，

AZNCP=45°,.，.ZMCN=135°.

在△AEM與aMCN中，

'/MAE=/NK

<AE=MC，

,ZAEM=ZMCN

.,.△AEM^AMCN(ASA),

，AM=MN.

(2)解：結(jié)論AM=MN還成立.

證明：在邊AB上截取AE=MC,連接ME.

在正aABC中，ZB=ZBCA=60°,AB=BC.

.,.ZNMC=1800-ZAMN-ZAMB=180°-ZB-NAMB=NMAE,

BE=AB-AE=BC-MC=BM,

，NBEM=60。，AZAEM=120°.

?.?N是NACP的平分線上一點(diǎn)，

/.ZACN=60°,.，.ZMCN=120°.

在△AEM與aMCN中，

'/MAE二NNK

■AE=MC，

,ZAEM=ZMCN

.,.△AEM^AMCN(ASA),

，AM=MN.

(3)解：若將(1)中的"正方形ABCD"改為"正n邊形ABCD...X,則當(dāng)N

AMN=[(n-2)780]。時,結(jié)論AM=MN仍然成立.

n

故答案為[姆-2)”80].

n

18.(2012秋?瀘縣期中)已知：在平面直角坐標(biāo)系中，^ABC的頂點(diǎn)A、C分別

在y軸、x軸上，且NACB=90°,AC=BC.

(1)如圖1,當(dāng)A(0,-2),C(1,0),點(diǎn)B在第四象限時，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(3,-1),；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動，點(diǎn)A在y軸正半軸上運(yùn)動，點(diǎn)B在

第四象限時，作BD，y軸于點(diǎn)D,試判斷空也與匹避■哪一個是定值，并說明

0A0A

定值是多少？請證明你的結(jié)論.

【解答】(1)解:過B作BE，x軸于E,

則NBEC=NACB=/AOC=90°,

AZl+Z2=90°,Z1+ZOAC=90°,

.?.N2=NOAC,

在△AOC和4CEB中

'NA0C=NCEB

Z0AC=Z2，

,AC=BC

.,.△AOC^ACEB(AAS),

.".OA=CE,OC=BE,

VA(0,-2),C(1,0),

AOA=CE=2,OC=BE=1,

.,.OE=l+2=3,

.,.Zl=90°=Z2,

，/3+N4=90°,

VZACB=90°,

N5+N3=90°,

.,.Z5=Z4,

在ACEB和△AOC中,

'N1=N2

N4=N5

,CB=AC

AACEB^AAOC,

.*.AO=CE,

?.?BE_Lx軸于E,

，BE〃y軸，

,.?BD_Ly軸于點(diǎn)D,EO_Ly軸于點(diǎn)0,

，BD〃0E,

...四邊形OEBD是矩形，

EO=BD,

/.0C-BD=OC-EO=CE=AO,

19.（2011?內(nèi)江）如圖，在RtZSABC中，ZBAC=90°,AC=2AB,點(diǎn)D是AC的中

點(diǎn).將一塊銳角為45。的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與

A、D重合，連接BE、EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的

【解答】數(shù)量關(guān)系為：BE=EC,位置關(guān)系是：BE1EC.

證明：???△AED是直角三角形，NAED=90。，且有一個銳角是45。,

/.ZEAD=ZEDA=45O,

；.AE=DE,

VZBAC=90°,

/.ZEAB=ZEAD+ZBAC=45°+90°=135°,

ZEDC=ZADC-ZEDA=180°-45°=135°,

，NEAB=NEDC,

???D是AC的中點(diǎn)，

.*.AD=CD=XAC,

2

VAC=2AB,

，AB=AD=DC,

V^AEAB和AEDC中

'AE=DE

<NEAB=NEDC，

AB=DC

/.△EAB^AEDC(SAS),

；.EB=EC,且NAEB=NDEC,

/.ZBEC=ZDEC+ZBED=ZAEB+ZBED=90°,

ABE±EC.

20.（2016秋?西城區(qū)校級期中）有一塊木板，如圖I,請你把它切成三塊，然后

拼成一個正方形的桌面.請?jiān)趫D中畫出剪切線，并把拼成的正方形在圖中畫出（保

留剪切的痕跡，不寫畫法）

【解答】解:

2

21.（2016秋?西城區(qū)校級期中）你能將等邊三角形分成兩個、三個、四個、

個、八個全等的三角形嗎？請?jiān)趫D中畫出分割線，不寫畫法.

【解答】解:如圖1,

把等邊三角形分成兩個全等的圖形;

如圖2,

把等邊三角形分成三個全等的圖形;

如圖3,

把等邊三角形分成四個全等的圖形;

如圖4,

把等邊三角形分成六個全等的圖形;

如圖5,

把等邊三角形分成八個全等的圖形.

圖5

22.(2016秋?西城區(qū)校級期中)如圖，在△ABC中，以AB、AC為直角邊，分別

向外作等腰Rt^ABE和等腰RtaACF,連接EF,過點(diǎn)A作ADLBC,垂足為D,

反向延長DA交EF于點(diǎn)M.

(1)用圓規(guī)比較EM與FM的大小.

(2)證明(1)中的結(jié)論.

【解答】解：(1)利用圓規(guī)驗(yàn)證即可；

(2)證明：作EHLAM,交AM于點(diǎn)H,FK1AM,交AM延長線于點(diǎn)K,

，NAEH+NEAH=90°,

VZEAB=90°,

AZEAH+ZBAD=90°,

ZAEH=ZBAD,

在AAEH和4BAD中，

'NAHE=/ADB=90°

<ZAEH=ZBAD,

,AE=AB

/.△AEH^ABAD(AAS),

，EH=AD,

同理得到△AFKg△ACD,

，F(xiàn)K=AD,

，F(xiàn)K=EH,

在△FKM和△EHM中，

'/FKM=/EHM=90°

<ZFMK=ZEMH，

JK=EH

.?.△FKM之△EHM(AAS),

.\FM=EM.

23.（2016秋?西城區(qū)校級期中）如圖，有一RtAABC,ZC=90°,AC=10cm,BC=5cm,

一條線段PQ=AB,P點(diǎn)在AC上,Q點(diǎn)在過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動.當(dāng)

△ABC和△APQ全等時，點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為10cm或5cm.

【解答】解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：

①當(dāng)P運(yùn)動到AP=BC時，

,.?ZC=ZQAP=90°,

在RtAABC與RtAQPA中，

[PQ=AB'

ARtAABC^RtAQPA（HL）,

即AQ=AC=10cm；

②當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時，AP=AC,

在RtAABC與Rt/XQPA中，

（AP=AC,

[PQ=AB'

ARtAQAP^RtABCA（HL）,

即AQ=BC=5cm,

綜上所述，當(dāng)AABC和aAPCi全等時，點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離為10cm或5cm.

故答案為10cm或5cm.

24.（2016秋?西城區(qū)校級期中）學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即"SAS"、"ASA"、

"AAS"、"SSS"）和直角三角形全等的判定方法（即"HL"）后，我們繼續(xù)對“兩個三

角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等"的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和aDEF中,AC=DF,BC=EF,ZB=

ZE,然后，對NB進(jìn)行分類，可分為"NB是直角、鈍角、銳角"三種情況進(jìn)行探

究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)NB是直角時，△ABC名Z\DEF.

(1)如圖①，在^ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90°,根據(jù)HL,

可以知道RtAABC^RtADEF.

第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時，^ABC之ADEF.

(2)如圖②，在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是鈍

角，求證：Z^ABC絲Z^DEF.

第三種情況：當(dāng)NB是銳角時，^ABC和4DEF不一定全等.

(3)itAABC^ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，請你

用尺規(guī)在圖③中作出aDEF,使4DEF和^ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕

跡)

(4)NB還要滿足什么條件，就可以使△ABC0Z\DEF?請直接寫出結(jié)論：在^

ABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，若NB與

NA，則△ABCgADEF.

【解答】(1)解:HL；

故答案為HL；

(2)證明：如圖,

過點(diǎn)C作CG1AB交AB的延長線于G,過點(diǎn)F作FH1DE交DE的延長線于H,

VZABC=ZDEF,且NABC、NDEF都是鈍角，

/.180°-ZABC=180°-ZDEF,

即NCBG=NFEH,

fZCBG=ZFEH

在aCBG和AFEH中，＜NG=/H=90°

,BC=EF

/.△CBG^AFEH(AAS),

...CG=FH,

在RtAACG和RtADFH中，JAC-DF

lCG=FH

ARtAACG^RtADFH(HL),

/.ZA=ZD,

'/A=ND

在△ABC和ADEF中，＜ZABC=ZDEF

AC=DF

/.△ABC^ADEF(AAS)；

(3)解：如圖，ADEF和△ABC不全等;

(4)解：若NB2NA,則△ABC/Z\DEF.

故答案為：ZB^ZA.

25.（2016秋?西城區(qū)校級期中）已知：如圖所示，直線MA〃NB,NMAB與N

NBA的平分線交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作一條直線I與兩條直線MA,NB分別相交于點(diǎn)

D,E.

（1）如圖1所示，當(dāng)直線I與直線MA垂直時，補(bǔ)全圖形并猜想線段AD,BE,

AB之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不用證明）；

（2）如圖2所示，當(dāng)直線I與直線MA不垂直且交點(diǎn)D,E都在AB的同側(cè)時，

補(bǔ)全圖形并探究（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請

說明理由；

（3）當(dāng)直線I與直線MA不垂直且交點(diǎn)D,E在AB的異側(cè)時，補(bǔ)全圖形并探究

（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段

AD,BE,AB之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請直接寫出它們之間的數(shù)

量關(guān)系.

【解答】解：（1）結(jié)論：AD+BE=AB.補(bǔ)全圖形（如圖1）

理由:VCD1AM,CH_LAB,

/.ZADC=ZCHA=90°,

在4ACD和△ACH中,

'N1=N2

<NADC=NAHC，

AC=AC

/.△ACD^AACH(AAS),

，AD=AH,

同理可證△BCH絲ABCE,

，BH=BE,

，AD+BE=AH+BH=AB.

(2)(1)中所得結(jié)論是否仍然成立.

證明：如圖2中，在線段AB上截取AF=AD,連接FC.

VAC,BC分別平分NMAB,/NBA,

，N1=N2,Z3=Z4.

在Z\ADC和△AFC中，

，AD=AF

<Z1=Z2,

AC=AC(公共邊)

.,.△ADC^AAFC(SAS).

/.ZADC=ZAFC,

VMA/7NB