判別式的八種應(yīng)用

#判別式的八種應(yīng)用一、求方程組的解及解的取值范圍例1若2+2+y2—6y+10=0,,y為實(shí)數(shù).求，y原初中代數(shù)第四冊(cè)第207頁(yè)32題解：將方程看成是關(guān)于的一元二次方程，由于，y為實(shí)數(shù).A=22-4y2—6y+10=14y—32,0.即y—32W0,于是y=3,進(jìn)而得=—1.例2已知a,b,c為實(shí)數(shù)，滿足a+b+c=0,abc=8,求c的取值范圍.第一屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題解：*/a+b+c=0,abc=8,Qa,b,u都不為零，且a+h=-c.ab=—,a,b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.c9 8、A=.c-4,-＞0,(1)當(dāng)二＞口時(shí)2科:⑵當(dāng)者0時(shí)，?戶-4+于＞口恒成立.C,■的取值范圍是。＜口或C＞2酒.例3已知實(shí)數(shù)，y,滿足=6—y,2=y—9,求，y的值.證明：..,y=6,y=29貝Ly是一元二次方程a2—6a+2+9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有A=36—42+9=—42—0,即2^0.因?yàn)閷?shí)數(shù)，.?.=0,從而A=0,故上述關(guān)于a的方程有相等實(shí)根，即=y=3.二、判斷三角形形狀例4若三角形的三邊@,b,c滿足aa—b+bb—c+cc—a=0.試判斷三角形形狀.證明：將原式變形為b2—a+cb+az+c3—ac=0,由于a,b,c為實(shí)數(shù)，關(guān)于b的一元二次方程有實(shí)根，.\A=a+c2—4a2+c2—acZ0.整理得一3a—c2三0,即己—。2^0,故a=c,把@=。代入原式，得b=c,從而有a=b=c,所以三角形為等邊三角形.三、求某些字母的值.例5為何值時(shí)，+1+3+5+7+是一完全平方式.解：原式=2+8+72+8+7+8+=2+8+72+82+8+7+令2+8+72+82+8+7+=。，因原式是完全平方式，則其根的判別式，A=82—4=0,即=16.例6如果2—y2+m+5y—6能分解成兩個(gè)一次因式的積，試求m的值.解：令2+m—y2—5y+6=0,則關(guān)于的方程的根的判別式A=4y2—20y+m2+24.欲使原式能分解成兩個(gè)一次因式乘積，必須“八”是一完全平方式，從而有4y2—20y+m2+24=0的根的判別式4=40'0-4'x4（m2+專4）=0..*.m2=l,即m=±L例7a為有理數(shù)，問：b為何值時(shí)，方程2—4@+4+3比-2a+4b=0的根是有理數(shù).解：方程整理為2+41—a+3a2—2a+4b=0.它的判別式A=4比一6a—4b+4,由于4a2—6a—4b+4是有理數(shù)a的二次三項(xiàng)式.即4a2—6a—4b+4=0的根的判別式A：=（-^2-4（j-4b+4）=q.解之得b=-1,故當(dāng)b=-/時(shí)，方程的根為有理數(shù).四、證明不等式例8若解上嘟是正實(shí)數(shù)，求證」+"也/回也.:證明二原不等式等價(jià)于g+b+okm3令y=a2+b2+c22—2a+b+c+3,易知y=a-12+b—12+c—12，0.因?yàn)閍2+b2+c2>0,且對(duì)任意的值y，0,故有A=4a+b+c2—4XBaz+bz+czWO,所以a+b+czW3a2+bz+c2.LBPa+b+V3(a2+b:+口*)5.五、求函數(shù)的最大值最小值篡。一?與篡十1例g來函數(shù)y=\ 7的最大值和最小值.X一工十1解：令2-1=0,它的判別式A=3V0,可見為一切實(shí)數(shù)時(shí)，有2-1>0,?.?原式變形為1—y?+y—5+1—y=0,要使為實(shí)數(shù)，則有A=y—52—41—y2,0.解之得7 禺十1將F=二二代2丁二-二甲可熟=-1,當(dāng)廠-3時(shí)，煞=1,■ x?一\十]7■■函數(shù)丫鼠值二號(hào)?最小值二w六、證明實(shí)數(shù)存在性問題例10若ab=2c+d,a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，求證方程2+a+c=0和2+b+d=0至少有一■個(gè)方程有實(shí)根.證明：假設(shè)方程2+a+c=0和2+b+d=0都沒有實(shí)根.則A[=f-4亡<。&=ba-4d<^Qf-即(1〉；廣代人己知條件計(jì)=28十式1中，ab='2c+2d,■；"-&2+ ，La Ci從而有a2+b2〈2ab,即a—b2<0,與a—b2，0矛盾，因此假設(shè)不成立，原題得證.

七、在解三角形中的應(yīng)用例n在AABC中，AC=1,AB=2,求NB的范圍.解：設(shè)BC=,由余弦定理得.1=2+22—2,2cosB,即2—4cosB,+3=0 .,.z.... ...3;事為實(shí)數(shù)，△=16堿fB-123。*即，土/B3或上@s-■1.■ ■又A3〉A(chǔ)C.為銳角，故-<B<30".八、在平面幾何中的應(yīng)用例12如圖1,已知：ZUBC中，D為BC邊上任意一點(diǎn),DE〃BC,DE與AC交于E,口DEFG的邊FG在BC直線上，設(shè)DE=w,BC=心求證:口DEFG的面積S不大于△ABC的面積S△的一半.1989年沈陽(yáng)市中考試題EE證明：作EH//AB交BC于曰則