空間向量及其線性運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案原卷版

空間向量及其線性運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)類比平面向量引入了空間向量及相關(guān)概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，、；類比平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算和運(yùn)算律，引入空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算和運(yùn)算律，類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題.理解空間向量及相關(guān)概念，掌握空間向量的表示，掌握空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律等內(nèi)容，并能借助圖形理解空間向量線性運(yùn)算及其運(yùn)算律的意義.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向量滿足線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘），懂得運(yùn)算律。難點(diǎn)：空間向量的線性在簡單空間幾何體中的計(jì)算和應(yīng)用。課前預(yù)習(xí)自主梳理要點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念1.空間向量的定義在空間，像位移、力、速度、加速度這樣既有又有的量，叫作空間向量.2.空間向量的表示空間任意兩個向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條來表示.3.空間向量的線性運(yùn)算(1)空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的意義，如圖.eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝；eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝；eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa(λ∈R).(2)空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：運(yùn)算律(其中λ，μ∈R)(1)交換律：a＋b＝；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝，λ(μa)＝；(3)分配律：(λ＋μ)a＝，λ(a＋b)＝．向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.要點(diǎn)二特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定的向量叫做零向量，記為0單位向量的向量叫做單位向量相反向量與向量a長度而方向的向量，叫做a的相反向量，記為－a共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量，即對于任意向量a，都有0a相等向量方向且模的向量稱為相等向量．在空間，且的有向線段表示同一向量或相等向量要點(diǎn)三共線向量及共線向量定理1．空間向量共線的充要條件：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使．2．方向向量：如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝，我們把與向量a的非零向量稱為直線l的.思考：由數(shù)乘λa＝0，能否得出λ＝0?3．向量和直線平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l，那么稱向量a平行于直線l.4．向量和平面平行：如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平面α.5．共面向量：同一個平面的向量，叫做共面向量．6．空間向量共面的充要條件：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使．思考：若向量p，a，b滿足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面嗎？提示共面．當(dāng)a與b共線時(shí)，顯然向量p，a，b共面；當(dāng)a與b不共線時(shí)，由向量共面的充要條件，可知向量p，a，b共面．自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)零向量沒有方向.()(2)兩個有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量.()(3)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算中,只決定向量的大小,不決定向量的方向.()(4)若,則.()(5)若兩個向量的起點(diǎn)重合,則這兩個向量的方向相同.()2.已知空間四邊形,連接,則()A. B. C. D.0 3.下列說法錯誤的是（

）A．空間的任意三個向量都不共面B．空間的任意兩個向量都共面C．三個向量共面，即它們所在的直線共面D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究（一）新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境引入課題引導(dǎo)語章前圖展示的是一個做滑翔傘運(yùn)動的場景．可以想象，在滑翔過程中，飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等．顯然，這些力不在同一個平面內(nèi)，聯(lián)想用平面向量解決物理問題的方法，你能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運(yùn)動呢？問題1能否類比平面向量，給空間向量下個定義？與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量(spacevector)，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模(modulus)．問題2可以表示平面向量,也可以表示空間向量嗎?平面向量與空間向量有哪些異同點(diǎn)?它們模長的幾何意義相同嗎?環(huán)節(jié)二觀察分析感知概念閱讀課本填寫以下概念的內(nèi)容零向量及其記法：單位向量：相反向量及其記法：共線向量（平行向量）：我們規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)．因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點(diǎn)重合．因?yàn)閮蓷l相交直線確定一個平面，所以起點(diǎn)重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．環(huán)節(jié)三抽象概括形成概念問題3類比平面向量的線性運(yùn)算，空間向量的加法、減法如何定義？如圖，已知空間向量，，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，作向量，，我們就可以把它們平移到同一個平面內(nèi)．?dāng)?shù)學(xué)中，引進(jìn)一種量后，一個很自然的問題就是要研究它們的運(yùn)算．由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，這樣任意兩個空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念問題4想一想，向量線性運(yùn)算的結(jié)果，與向量起點(diǎn)的選擇有關(guān)系嗎？與平面向量一樣，空間向量的線性運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律(其中)：交換律：結(jié)合律：分配律：探究1如圖，在平行六面體中，分別標(biāo)出，表示的向量．從中你能體會向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系?可以發(fā)現(xiàn)，，一般地，對于三個不共面的向量，，，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，，，為鄰邊作平行六面體，則，，的和等于以為起點(diǎn)的平行六面體對角線所表示的向量．另外，利用向量加法的交換律和結(jié)合律，還可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．探究2對任意兩個空間向量與，如果，與有什么位置關(guān)系？反過來，與有什么位置關(guān)系時(shí)，?類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個空間向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．如圖，是直線上一點(diǎn)，在直線上取非零向量，則對于直線上任意一點(diǎn)，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)，使得．我們把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量(directionvector)．這樣，直線上任意一點(diǎn)都可以由直線上的一點(diǎn)和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定．如圖，如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線．如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱向量平行于平面．平行于同一個平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的．問題6，什么情況下三個空間向量共面呢？探究3對平面內(nèi)任意兩個不共線向量，，由平面向量基本定理可知，這個平面內(nèi)的任意一個向量可以寫成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對．對兩個不共線的空間向量，，如果，那么向量與向量，有什么位置關(guān)系？反過來，向量與向量，有什么位置關(guān)系時(shí)，？可以發(fā)現(xiàn)，如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用鞏固內(nèi)化例1如圖，已知平行四邊形，過平面外一點(diǎn)，作射線，，，，在四條射線上分別取點(diǎn)，，，，使．求證：，，，四點(diǎn)共面．選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運(yùn)算得出幾何元素的關(guān)系，是解決立體幾何問題的常用方法．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié)反思提升本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.由于空間向量是平面向量的推廣，因此空間向量及其相關(guān)概念、空間向量的表示法等與平面向量都是一致的.類比平面向量引入了空間向量及相關(guān)概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，并類比平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算和運(yùn)算律，引入空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算和運(yùn)算律，類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題理解空間