北師大版九年級數(shù)學上冊 （認識一元二次方程）一元二次方程教學課件

2.1認識一元二次方程

學習目標新課引入新知學習課堂小結12341.經歷由具體問題抽象出一元二次方程的概念的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效數(shù)學模型.2.理解一元二次方程及其相關概念.3.經歷估計一元二次方程解的過程,增進對方程解的認識,進一步培養(yǎng)估算意識和能力，發(fā)展數(shù)感.學習目標重點難點重點問題二觀察下面等式:102+112+122

=132

+142.你還能找到五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎?如果將這五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)設為x.那么怎樣用含x

的代數(shù)式表示其余四個數(shù)？根據(jù)題意，你能列出怎樣的方程？分析：如果設五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為x，那么后面四個數(shù)依次可表示為：

,

,

,

.

x+1x+2x+3x+4x+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2問題三如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？你能計算出滑動前梯子底端距墻的距離嗎？如果設梯子底端滑動xm，那么你能列出怎樣的方程?分析：由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻

m.如果設梯子底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻

m.6x+6(x+6)2+72=102.由上面三個問題，我們可以得到三個方程：新知學習(8-2x)(5-2x)=18，x+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72=102.這三個方程有什么共同特點？上面的方程都是只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成

ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程(quadraticequationwithoneunknown).我們把ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項、一次項和常數(shù)項，

a，b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù).針對訓練1.根據(jù)題意列出一元二次方程：已知直角三角形的三邊長為連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長.2.把方程(3x+2)2=4(x-3)2

化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.x2+(x+1)2=(x+2)2解：9x2+12x+4=4(x2-6x+9)9x2+12x+4=4x2-24x+365x2+36x-32=0二次項系數(shù)：5一次項系數(shù)：36常數(shù)項：-32還有其他方法嗎？你能設法估計問題一中四周未鋪地毯部分的寬度x(m)嗎？我們知道，x

滿足方程(8-2x)(5-2x)=18.(1)x

可能小于0嗎？可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？說說你的理由.(2)你能確定x

的大致范圍嗎？思考x

小于0時，(8-2x)>8，(5-2x)>5，(8-2x)(5-2x)>40.故不可能.x

大于4時，(8-2x)小于0，不符合實際，x

大于2.5時，(5-2x)小于0，不符合實際.0<x<2.5.(3)填寫下表：(4)你知道所求寬度x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴交流.x0.511.52.5(8-2x)(5-2x)

2818100x=1問題三中，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102，也就是x2+12x-15=0.(1)小明認為底端也滑動了1m，他的說法正確嗎？為什么？(2)底端滑動的距離可能是2m嗎？可能是3m嗎？為什么？不正確，1+12-15=-2.距離是2m不可能，4+24-15=13.距離是3m不滿足方程，不是方程的解小亮把他的求解過程整理如下:x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513所以1<x<1.5，進一步計算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以1.1<x<1.2

.針對訓練五個連續(xù)整數(shù)，前三個數(shù)的平方和等于后面兩個數(shù)的平方和.你能求出五個整數(shù)分別是多少嗎？解：設第一個數(shù)為

x，則可列出方程

x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡可得x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，即x2-8x-20=0.列表：x-4-2024681012x2-8x-20280-20-32-36-32-20028解出x=-2或10，這五個數(shù)分別是-2,-1,0,1,2或者10,11,12,13,14.課堂小結一元二次方程概念是整式方程；只含一個未知數(shù)；最高次數(shù)是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

解一元二次方程（“兩邊夾”方法）確定其解的大致范圍列表、計算進行兩邊“夾逼”……求得近似解估計一元二次方程的解，應先確定方程解的大致范圍，然后在這一范圍內有規(guī)律地取一些未知數(shù)的值，如果把一個值代入方程使得左邊的計算結果小于右邊的計算結果，把另一個值代入方程使得左邊的計算結果大于右邊的計算結果，那么方程的解就在這兩個值之間．第二章一元二次方程2.1認識一元二次方程

情景導入一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？解：設苗圃的寬為xm，則長為(x＋2)m.根據(jù)題意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否為一元一次方程？解：如果設所求的寬為x

m

,那么地毯中央長方形圖案的長為

m,寬為

m,根據(jù)題意,可得方程：(8-2x)(5-2x)(8-2x)（5-2x）=18.化簡：2x2-

13x+11=0①該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？xx(8–2x)xx(5–2x)探究2：觀察下面等式：102+112+122=132+142你還能找到其他的五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎？解：如果設五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為x，那么后面四個數(shù)依次可表示為：

,

,

,

.

根據(jù)題意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡得，x2-8x

-20＝0.②該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？解：由勾股定理可知,滑動前梯子底端距墻

m.如果設梯子底端滑動xm,那么滑動后梯子底端距墻

m,根據(jù)題意，可得方程：探究3：如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米？6(x+6)72+(x+6)2

=102.化簡得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？活動總結觀察上述方程①、②、③，它們有什么共同特點呢？2x2－13x＋11＝0

①x2－8x－20＝0②x2＋12x－15＝0③特點：1.只含有一個未知數(shù)；

2.未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

3.整式方程．歸納總結

方程的等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念ax2＋bx＋c＝0(a、b、c為常數(shù)，a≠0)一元二次方程的一般形式ax2是二次項，

a是二次項的系數(shù)，bx是一次項，

b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．應用舉例例1

下列方程哪些是一元二次方程？為什么？7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－

－1＝0;(4)＝0；(5)x2＋2x－3＝1＋x2.【方法指導】根據(jù)一元二次方程的概念進行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含兩個未知數(shù)；(3)不是整式方程；(5)不含ax2這一項．

關于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，當k_______時，是一元二次方程；當k_______時，是一元一次方程．【方法指導】當k2－1≠0，即k≠±1時，方程是一元二次方程．當k2－1＝0時，且2(k－1)≠0時，即k＝－1時是一元一次方程．例2≠±1＝－1例3a為何值時，下列方程為一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)將方程式轉化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當a=-1時，原方程是一元二次方程.

用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數(shù)等于0的字母的值．點撥將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù).解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數(shù)是3；一次項是-8x,系數(shù)是-8；常數(shù)項是-10.例41．把方程－5x2＋6x＋3＝0的二次項系數(shù)化為1，方程可變?yōu)?/p>

(

)A．x2＋

x＋

＝0

B．x2－6x－3＝0C．x2－

x－

＝0

D．x2－

x＋

＝02．一元二次方程(x＋1)2－x＝3(x2－2)化成一般形式是________________隨堂練習2x2－x－7＝0