2021-2022學(xué)年貴州省畢節(jié)市高三（上）診斷性數(shù)學(xué)試卷（理科）（一）（附詳解）

2021-2022學(xué)年貴州省畢節(jié)市高三（上）診斷性數(shù)學(xué)試卷

（理科）（一）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4={x|y=ln(l-2%)},B={x\y=V%+2],則4n8=()

A.[-2,1)B.[-2,i]C.[0,1)D.[0,1]

2.若復(fù)數(shù)z滿足(l+i)2z=1-爪是虛數(shù)單位)，則z=()

A.+9B.-：一C.D.：+9

22222222

3.已知向量方=(1,1),b=(1,-2)，c=(x,-l),若不J.位+23)，則x=()

A.1B.2C.-2D.-1

4.某商場為了解銷售活動中某商品銷售量y與活動時間》之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某5

次銷售活動中的商品銷傳量與活動時間，并制作了如表：

活動時間X24568

銷售量y2540607080

由表中數(shù)據(jù)，銷售量y與活動時間x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，算得線性回歸方程為

y=bx+6.25'據(jù)此模型預(yù)測當(dāng)工=7時，；的值為（）

A.72.5B.73.5C.74.5D.75.5

5.等差數(shù)列｛aj的前n項和為右，若粉=翦+1且％=3,貝）

22

A.an=2n+1B.an=n+1C.Sn-2n+nD.Sn-4n—n

6.酒駕是嚴(yán)近危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：

100mL血液中酒精含量達(dá)到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，807ng及以上認(rèn)定

為醉酒駕車，假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

lTng/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時10%的速度減少，他

至少經(jīng)過t小時才能駕駛機(jī)動車，則整數(shù)t的值為（）（均2yo.301,仞3=0.477）

A.14B.15C.16D.17

7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾

何體的體積為（）

8.我國古代的《易經(jīng)》中有兩類最基本的符號：“一”和“一”，其中“一”在二進(jìn)制

中記作“1”，在二進(jìn)制中記作“0”.如符號“三三”對應(yīng)二進(jìn)制數(shù)1100(2)，

321

化為十進(jìn)制數(shù)計算如下：1100(2)=1X2+1X2+0X2+0X2°=12.若從這

兩類符號中各取兩個符號按照上面的方式任意疊放，則得到的二進(jìn)制數(shù)所對應(yīng)的十

進(jìn)制數(shù)小于6的概率為()

A：B.-C.-D.|

9.等比數(shù)列｛%｝中,a6,a4,成公差不為0的等差數(shù)列，%=2,則數(shù)列｛即+n｝的

前9項和59=()

A.-329B.387C.-297D.297

10.已知/0)=巾+7^二五若存在實數(shù)￡1,匕(￡1<6),使得/0)在[￡1,封上的值域為口3,

則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(;,+oo)B.￡+8)C.￡2)D.《,2]

11.已知0,&是雙曲線C：三一旨=l(a>0,b>0)的左、右焦點，點4是C的左頂點，

過點F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,過點P作x軸的垂線，垂足為“，。為坐

標(biāo)原點，且PO平分44PM,則C的離心率為()

A.2B.V2C.3D.V3

12.若直線y=ax+b與曲線y=-x相切，則a+b的最大值為()

A.-1B.e+1C.eD.e-1

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.(2五-專廣的展開式中常數(shù)項為(用數(shù)字作答).

14.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點M(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+

a)-b為奇函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：

第2頁，共21頁

?/(x)=%++-1圖象的對稱中心是(2,1)；

@/(x)=X+*-1圖象的對稱中心是(2,-1)；

③類比可得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是y=

f(x+a)為偶函數(shù)：

④類比可得函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線％=a成軸對稱圖形的充要條件是y=

“X-a)為偶函數(shù).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

15.已知M(xo，y())是拋物線y2=4x上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，若點P(-1,O)滿足麗?

MP<0，則沏的取值范圍是-

16.已知三棱錐P-ABC中，PC_L平面ABC,/.PBC=45°,PC=AC=2,AB=2也，

這個三棱錐的外接球的表面積為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在AABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,比知bcosC+梟=a,a=V3c.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)再從①acosB=I，②a+c=1+V3，(3)asinA-|,這三個條件任選一個作

為已知條件，求△力BC的面積.

18.2021年10月16日，搭載“神州十三號”的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國人民普

遍關(guān)注的大事，因此每天有很多民眾通過手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞.某機(jī)構(gòu)

將每天關(guān)注這件大事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非

天文愛好者”，該機(jī)構(gòu)通過調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽收了100人進(jìn)行分

析，得到下表(單位：人)：

天文愛好者非天文愛好者合計

女2050

男15

合計100

（1）將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)

為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從抽取的女性入群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進(jìn)

行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機(jī)選出3人，求其中至少有1人是“天文

愛好者”的概率.

附：K-（a+b）（cL）（a+）c）（b+?其中n-a+b+C+

Pg>fc0)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如圖1,正方形ABCD中，DM=\MA=1,CN=|/VB=1,將四邊形CDMN沿MN

折起到四邊形PQMN的位置，使得二面角Q-MN-4的大小為60。（如圖2）.

（1）證明：平面MNPQ1平面4BPQ；

（2）若E,F分別為BN的中點，求直線QF與平面BEQ所成角的正弦值.

第4頁，共21頁

20.已知尸是橢圓C：立+y2=l的右焦點，過點F作圓*2+y2=：的傾斜角為銳角的切

22

線I,且I與C交于M,N兩點.

(1)求|MN|；

(2)求過點M,N且與直線x=2相切的圓的圓心坐標(biāo).

21.設(shè)函數(shù)/(久)=x—ae*(aCR).

(1)討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù)；

(2)/'(x)是函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a=*時，函數(shù)/(x)有兩個零點m,n,求證:

八等）＞0.

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C

的極坐標(biāo)方程為p=2\H>sin6-

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程；

(2)設(shè)點A的直角坐標(biāo)為(0,2),M為C上的動點，點P滿足而=遍加，寫出P的軌

跡G的參數(shù)方程，并判斷c與a是否有公共點.

23.已知函數(shù)/(無)=2|x+l|-|x-2|.

(1)求不等式/(x)<1的解集；

(2)對Vx>0,3meg,2],使得/'(X)>2m2-am+1成立，求實數(shù)a的取值范圍.

第6頁，共21頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由1一2x>0得％V4={制％V》，

由％+2>0得%>—2,???B={x\x>—2},

??AC\B={%|-2<xV]}，

故選：A.

先求出集合4B,再利用并集運算的定義求解.

本題主要考查了集合間的基本運算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：z(l+i)2=1-i,

:.2zi=1—3

-2z=i(l-0=l+i,

1i.

AZ=----1,

22

故選：B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算即可得結(jié)果.

本題考查復(fù)數(shù)的運算，考查學(xué)生的運算能力，屬于容易題.

3.【答案】D

【解析】解：由題意可得日+2方=(3,—3).

又因為下_L0+2尤)，

所以有不?0+2")=3%+(-1)X(-3)=0，

解得％=一1,

故選：D.

先由立了的坐標(biāo)求得五+2方的坐標(biāo)，再根據(jù)71(3+2另)，可得"0+2石)=0，代人

坐標(biāo)求解即可.

本題考查向量垂直，數(shù)量積的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

￥AzJ+r-kJ）Z+4+5+6+825+40+60+70+80——

【解析】解：,:x=-------------=5,y=-------------=55,

又,:y=bx+6.25'

???55=bx5+6.25，解得b=9.75，

:.y=9.75x+6.25,

當(dāng)x=7時，y=975x7+6.25=74.5-

故選：C.

根據(jù)已知條件，求出x,y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解線性回

歸方程，再將x=7代入上式，即可求解.

本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：?.?等差數(shù)列｛6｝的前幾項和為&，需=寤+1且％=3，

.§2021_$2020_2020d_2019d_1

**20212020-22-'

???d=2,

???an=3+（九一1）X2=2幾+1.故A正確，B錯誤；

2

Sn=3九+x2=n4-2n,故C,錯誤.

故選：A.

由等差數(shù)列前n項和公式得需-霆=等4-等d=l,從而d=2,由此能求出結(jié)

果.

本題考查等差數(shù)列的運算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

6.【答案】C

第8頁，共21頁

【解析】解：由題意得,

100x(1-10%)￡<20,

即t>log090.2,

即￡>器=潞言"15.3,

故整數(shù)t的值為16,

故選：C.

由題意得100x(1-10%/<20,由指數(shù)與對數(shù)的互化知t>logo.90Z從而利用換底

公式求值.

本題考查了指數(shù)運算及對數(shù)運算，同時考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是以俯視圖為底面口

的三棱錐，且P41底面ABC,

如圖所示；AC=6,PA=3,AB=5,BC=5,\

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算該三棱錐的體積為

V=[SAABC九=qx：x6x4x3=12.

故選：C.

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.

本題考查了利用三視圖求幾何體體積的應(yīng)用問題，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：從這兩類符號中各取兩個符號按照上面的方式任意疊放，可組成的二進(jìn)制

數(shù)為1100(2),101。⑵，0011(2)，0101⑵，0110(2)，1001⑵，共6個，

1100(2)=12,

1010⑵=1x23+0x22+1x21+0x20=10,

0011⑵=0X23+0X22+1X21+1X20=3,

0101⑵=0X23+1X22+0X21+1X20=5,

321

0110(2)=0X2+1X2+1X2+0X2°=6,

1001⑵=1X23+0X22+0X21+1X20=9,

所以小于6的數(shù)有2個，

所以P=]=；.

o3

故選：B.

可組成的二進(jìn)制數(shù)為1100⑵，1010(2)，0011⑵，0101⑵，0110⑵，1001(2)，共6個,

再將其分別轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)后，即可得解.

本題考查古典概型，二進(jìn)制與十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔

題.

9.【答案】B

【解析】解：因為。6,成公差不為0的等差數(shù)列，

所以白：1……整理可得『2119n，

???q=-2,

數(shù)列｛斯+71｝的前9項和59=筆*+等2=387.

1.一(-N)2

故選：B.

利用已知求得等比數(shù)列公比，再利用求和公式即可.

本題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、求和，屬于中檔題.

10.【答案】C

第10頁，共21頁

【解析】解：函數(shù)/(%)=根+五=1在定義域［2,+8)上單調(diào)遞增,

/(a)=m4-y/a—2=a

要使f(%)在阿句上的值域為口口，則

/(b)=m+y/b-2=b

即(A/Q_2=a-m

'Wfo—2=b—m

?,?問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Vx一2與y=%-zn在［2,+8)上有兩個交點,

即方程％—m=\x—2在［2,+8)上有兩個根,

令7x-2=tN0,則第=產(chǎn)+2,

則方程/+2-m之0)有兩個根，即方程產(chǎn)一t+2=7n(t20)有兩個根,

令g(t)=/_1+2，t>o,

則函數(shù)y=g(t)與y=m在t>0時有兩個交點，

g(t)的對稱軸為t=5，5(j)=;-j+2=^g(0)=2,

畫出圖像，如圖所示，

由函數(shù)y=g(x)的圖形可得:<m<2,

即實數(shù)m的取值范圍是(：,2］,

故選：C.

先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)定義域和值域列出方程組，

由方程組將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，再利

用數(shù)形結(jié)合法即可求出血的取值范圍.

本題主要考查了函數(shù)的定義域和值域，考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，同時考查了

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔題.

11.【答案】A

【解析】解：如圖所示，

取雙曲線的漸近線y=可得直線F2P的方程為:y=

_《“一，)，

聯(lián)立等骯；c=。，解得Pj的

毀—0

???直線4P的方程為：y=---(x+a),化為：bx-

『(-a)

(a+c)y+ab=0.

???PO平分乙4PM,.?.點0到直線PM,P4的距離相等,

ab

Jb2+(a+c)2，化為：c2—ac—2a2=0,

即，—e—2=0,

ve>1,解得e=2.

故選：A.

如圖所示，取雙曲線的漸近線y=?x,可得直線F2P的方程，聯(lián)立解得P坐標(biāo).根據(jù)P。平

分乙4PM,可得點0到直線PM,P4的距離相等，即可得出離心率.

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力,

屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：由題得/'(X)=/-1,設(shè)切點為(tj(t)),

則/⑴=/-3=

則切線方程為y-(ef-t)=(ef-l)(x-t)>

即y=(e，-l)x+e，(l—t),又因為y=ax+b,

所以a=et—1,b=ec(l—t),則a+b=-1+2e，-te'

令g(t)=-1+2et-tel,則g'(t)=(1-t)ef,

則有t>l,g'(t)<0；t<1,g'(t)>0,

所以t=l時，g(x)取最大值，

所以a+b的最大值為g(l)=-l+2e-e=e—1.

故選：D.

根據(jù)題意求出曲線的切線方程，得出a、b的值，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求a+b的最大值.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程和函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是求出切線方程，是中檔

題.

13.【答案】-40

【解析】解：二項式(2立一+)5的展開式的通項公式為7；+1=讖(2?)5-(一2)「=

15-5r

Cl?(-l)r-25-rx~-

令胃=。，求得r=3,可得展開式中常數(shù)項為-歐2=_40,

第12頁，共21頁

故答案為：-40.

先求出二項式展開式的通項公式，再令x的某指數(shù)等于0,求得r的值，即可求得展開式

中的常數(shù)項的值.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于

基礎(chǔ)題.

14.【答案】①③

【解析】解：函數(shù)y=x+：是奇函數(shù)，對稱中心為(0,0),將y=x+：圖象向右平移2個

單位，再向上平移1個單位可得/(X)=x-2+W+l=x+*—l的圖象，

所以/(x)=x++-l圖象的對稱中心是(2,1),故①正確，②錯誤，

若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖形，圖象向左平移|a|個單位長度可得

y=/(x+a)關(guān)于x=0即y軸對稱，

所以y=/(x+a)為偶函數(shù)，故③正確，④錯誤，

所以所有正確結(jié)論的序號是①③，

故答案為：①③.

根據(jù)y=尤+：是奇函數(shù)，對稱中心為(0,0),由圖象的平移變換可得f(x)=久+*-1的

對稱中心，可判斷①②，將y=/(x)的圖象向左平移|a|個單位長度可得y=f(x+a),

可判斷③④，進(jìn)而可得正確答案.

本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性，考查了函數(shù)圖象的變換，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】［0,祈一2)

【解析】解：“是拋物線y2=4x的焦點，二F(l,0).

???<0.

???(1-x0,-y0)?(-1-x0,-y0)=就-1+九<0，

又據(jù)=4&，

:.XQ+4x0-1<0,

解得一2-通<和<V5-2,

又X。>0,

0<XQ<>/5-2,

工°的取值范圍是［0,有一2),

故答案為：［0,“一2).

利用數(shù)量積運算性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、不等式的解法即可得出.

本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、不等式的解法，考查了推理能力與計

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】207r

【解析】解：根據(jù)題意，如圖：PC1平面4BC,

APBC=45°,PC=2,則CB=2,

又由4c=2,AB=2V3，

故△力BC為等腰三角形，且cos〃lCB=

AC2+BC2-AB2_1

2ACBC-2'

貝iJ/ACB=120°,

取的中點E,連接CE并延長到點。，使EO=CE,

易得CE=3BC=1,則有DC==DB=2,故

。為A/IBC的外心,

過點。作0O〃CP,使。與P在平面48C的同側(cè)，且OD=］PC=1,

則有OP=0C=OB=0A=V1T4=V5，

則。為三棱錐P-4BC的外接球的球心，且其外接球半徑R=0P=V5,

故其外接球的表面積S=4nR2=20兀；

故答案為：207r.

根據(jù)題意，求解△力BC可得△力BC為等腰三角形，且ZACB=120°,分析其外接圓圓心，

進(jìn)而可得三棱錐P-4BC的外接球的球心，求出其半徑，由球的表面積公式計算可得答

案.

本題考查多面體外接球的表面積與體積，關(guān)鍵是確定球的球心，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題可知，bcosC+■yc=a，

由正弦定理得：sinBcosC+—sinC=sinA<

2

第14頁，共21頁

又因為在△ABC中,si幾4=sin(B+C),

所以sinBcosC4-ysinC=sin(F+C)=sinBcosC+cosBsinC,

^\—sinC=cosBsinC?又sinC>0,所以cosB=—?

22

而0VB<冗,所以B=7.

因為Q=V5c,由正弦定理得sin4=y/3sinC,

則sin(B+C)=sin(-+C)=V3sinC,

6

所以3cosc+—sinC=yJ3sinC,即cosC=\[3sinC?

22

所以汝就：=晅=立，

cosC3

而0<C<7T,

n

所以。6

(2)由⑴得By，C=3則4=拳

若選①，acosB=|,

則QCOSF=XQ=2，解得：a-V3?

622

ah,V3b

由正弦定理-三=-勺，可得詞=丁,

stnAsinB-2

解得：b=l,

所以△48c的面積為：S=-absinC=-xV3x1x=—；

2224

若選②，Q+c=1+V5，

由正弦定理心=捻，可得看=*所以a=8c,

stnAsinC—2

所以Q+C=V5C+C=1+次，解得：C=l,故Q=百，

所以△ABC的面積為：S=-acsinB=-xV3x1x-=—；

2224

若選③，asinA=|,

則QS比2=出口=?，解得：a=百，

322

chy/3b

由正弦定理號=一之，可得言=丁，解得b=l,

sinAsinB-27n

所以△4BC的面積為：S=-absinC=-xV3x1x=—.

2224

【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡可得出B=也由正弦

定理、兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系可求出更，從而可得出角C的大

3

小；

⑵由(1)得B屋，C屋，則4=尊若選①：可得出a=b，再根據(jù)正弦定理求出b,

最后根據(jù)三角形的面積公式S=gabsinC即可求出△力BC的面積；

若選②:先根據(jù)正弦定理求得a=Be,結(jié)合條件即可求出a,c,最后根據(jù)S=[acsinB

即可求出AABC的面積；

若選③：可得出a=K，再根據(jù)正弦定理求出b,最后根據(jù)三角形的面積公式S=

gabs譏C即可求出44BC的面積.

本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式以及三角函數(shù)恒等變換在解三角形中的綜

合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)2x2列聯(lián)表如下:

天文愛好者非天文愛好者合計

女203050

男351550

合計5545100

...K2==9.091>7,879,

50x50x55x45

能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與

性別有關(guān).

(2)從抽取的女性入群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進(jìn)行分層

抽樣抽取5人，

然后再從這5人中隨機(jī)選出3人，

則5人中“天文愛好者”為5*黑第=2人，“非天文愛好者”為5x嘉^=3人

故其中至少有1人是“天文愛好者”的概率「=筆”

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，以及古典概型的概率公式，即可求解.

第16頁，共21頁

本題主要考查獨立性檢驗公式的應(yīng)用，以及分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】(1)證明：因為QM1.MN,AM1MN,

所以乙4MQ為二面角Q-MN-4的平面角，即乙4MQ=60°.

所以4Q=VI2+22-2x1x2Xcos600=4,

即力Q2+QA/2=4用2,所以4Q1QM.

又因為QM_LPQ,PQdAQ=Q,所以QM_L平面ABPQ.

又因為QMu平面MNPQ,所以平面MNPQ1平面4BPQ.

(2)解：由⑴知QM1平面4BPQ,則QM1AB,

結(jié)合4M1AB可得4B1平面力MQ,

5LAB//MN//PQ,則PQ1平面4MQ,

以Q為原點，QA,QM,QP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

4(6,0,0),M(0,1,0),E弓［,0),B(遮,0,3)，＜2(0,0,0),尸弓,右3)，

所以而=(當(dāng)彳,3)，QB=(V3,0,3)?證=(44,0)，

設(shè)平面BEQ的法向量祐=(x,y,z),

QB-n=V3x+3z=0

_V31n'令x=V5，則y=-3,z=-1,

QE?n=—x+-y=0

即記=(禽,-3,-1).

設(shè)直線QF與平面BEQ所成角為仇

lg-n|_ll-l-3l3V130

則sin。=麻響一際?歷麗

130?

【解析】（1）首先根據(jù)題意得到44MQ為二面角Q-MN—4的平面角，從而得到QM_1平

面ABPQ,再根據(jù)面面垂直的判定證明即可.

（2）以Q為原點，Q4QM,QP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量

法求解線面角的正弦值即可.

本題主要考查面面垂直的證明，線面角的相關(guān)計算，空間向量的應(yīng)用等知識，屬于中等

題.

2

20.【答案】解：(1)由橢圓C：:+y2=i,可得半焦距c=FT=1，

???右焦點F(L0),

設(shè)切線1的斜率為k>0,貝”的方程為：y=-1),

=―,k>0,解得

VH+i2k=l.

???I的方程為：y=x—1.

y=x—1

22

{》x+.y22=/i化為：3x-4x=0,

解得久=0或土

由％=0,代入y=x—1,解得y=—1；

由％=%代入y=%-l,解得y=/

不妨設(shè)M(0,—l),N?,》.

...|MN|=J(0-i)2+(-1-1)2=凈

(2)由N(H),可得線段MN的中點Q(|,—9，

設(shè)過點M,N且與直線％=2相切的圓的圓心坐標(biāo)為(a,b).

則=X1=-1,依+(〈+=|2-al,

——CLV

3

由￡1后74且2+2V6.3+2^6-2+2-\/6.3—2V6

聯(lián)H解得：a=------，b=----;a=------，b=----

3333

???圓心坐標(biāo)為(一、W四)，(昔與上學(xué)).

2

【解析】（1）由橢圓C：￡+y2=1,可得右焦點，設(shè)切線I的斜率為k>0,可得［的方程，

根據(jù)圓的切線性質(zhì)，可得斜率左〃的方程與橢圓方程聯(lián)立解得M,N坐標(biāo).利用兩點間的

距離公式可得即可得出|MN|.

第18頁，共21頁

(2)由M(O,-1),可得線段MN的中點Q(|,—設(shè)過點“，N且與直線x=2相

切的圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),根據(jù)相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)即可得出

圓心坐標(biāo).

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)

系、點到直線的距離公式、兩點間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔

題.

21.【答案】⑴解：由/*(%)=x-aex=O,可得a=泉令g(x)=卷,其中％GR,“(%)=

1-X

當(dāng)xV1時，gf(x)>0,此時函數(shù)g(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)%>1時，gf(x)<0,此時函數(shù)g(%)單調(diào)遞減,

且當(dāng)久V0時，g(%)V0,當(dāng)K>0時，g(%)>0,作出函數(shù)g(%)與y=a的圖象如下圖所

由圖可知，當(dāng)a工0或a=：時，直線y=Q與Jy=g(x)

-------------.-

函數(shù)g(x)的圖象只有一個交點；—彳與―1------------------x

當(dāng)0VQV，時，直線y=a與函數(shù)g(x)的圖-----------------------------

象有兩個交點，/

當(dāng)a>3寸,直線y=a與函數(shù)g(x)的圖象無/

交點；

綜上所述：當(dāng)a<?；騛=:時，函數(shù)f(%)的零點個數(shù)為1；

當(dāng)0<a<，時，函數(shù)f(%)的零點個數(shù)為2；

當(dāng)時，函數(shù)/(%)的零點個數(shù)為0；

(2)證明：當(dāng)。=專時，則/(%)=%-e”-2,則((%)=1-e"2,

當(dāng)％V2時,f(x)>0,此時函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>2時，/'(%)<0,此時函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，

由(1)可知，函數(shù)/(%)的兩個零點均為正數(shù)，不妨設(shè)?71<九，且有0<771V2〈幾，要證

m+n-

2

1(等)=1-e-->o,即證m+n<4,

構(gòu)造函數(shù)九(%)=/(%)—f(4-%),

則九'(%)=/'(%)+((4一%)=2-靖一2_e2T<2-2yl斷2?e2r=。，當(dāng)且僅當(dāng)％=

2時取等號，

所以，函數(shù)九(%)在(-8,+8)上單調(diào)遞減，所以h(?n)>九(2)=0,

即f(n)=f(m)>/(4-m),

因為4