2021-2022版老教材數(shù)學人教A版必修5學案：第2課時 簡單線性規(guī)劃的應用

第2課時簡單線性規(guī)劃的應用

學1.能從實際問題中抽象出線性規(guī)劃問題,并加以解決.（數(shù)學抽

習象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算）

目2.會求解線性規(guī)劃的最優(yōu)整數(shù)解問題.（數(shù)學抽象、數(shù)學建模、

標邏輯推理、數(shù)學運算）.

關鍵能力-合作學習

類型一線性規(guī)劃的實際應用問題（數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算）

【典例】某家具廠有木料90五合板600m；準備加工成書桌和書櫥

出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要木料0.1m3,五合板2m；生產(chǎn)每個書櫥需

要木料0.2m:,,五合板1m2,出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書

櫥可獲利潤120元.怎樣安排生產(chǎn)可使所獲利潤最大.

【思路導引】可先設出變量,寫出目標函數(shù)和約束條件,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)

劃問題來求解.

【解析】設生產(chǎn)書桌x張，生產(chǎn)書櫥y個，利潤為z元，則目標函數(shù)為

z=80x+120y,根據(jù)題意知，

0.lx+0.2y<90,x+2y<900,

約束條件為2x+y<600,即2x+y<600,畫出可行域為

y￡N,

如圖所示對應的整數(shù)點,

作直線/:80x+120y=0,并平移直線I,

由圖可知，當直線/過點C時，z取得最大值，

”(%+2y=900,,、

解°1得C(100,400),

(2%+y=6rn0n0,

所以z*=80X100+120X400=56000,

即生產(chǎn)100張書桌,400個書櫥，可獲得最大利潤.

?變式探究|

(變結(jié)論)例題中的條件不變,如果只安排生產(chǎn)書桌可獲利潤多少？如果

只安排生產(chǎn)書櫥呢？

【解析】(1)若只生產(chǎn)書桌，則y=0,此時目標函數(shù)z=80x,

由例題解析圖可知Z3=80X300=24000,

即只生產(chǎn)書桌，可獲利潤24000元.

⑵若只生產(chǎn)書櫥,則x=0,此時目標函數(shù)z=120y,

由例題解析圖可知Zg=120X450=54000,

即只生產(chǎn)書櫥，可獲利潤54000元.

?解題策略

線性規(guī)劃的實際問題的數(shù)學模型

⑴列表定條件:需要通過審題理解題意，找出各量之間的關系，最好是

列成表格,找出線性約束條件.

⑵定目標函數(shù):寫出所研究的目標函數(shù).

⑶數(shù)形結(jié)合求最值:解線性規(guī)劃應用題時，先轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃

問題，再按作圖、平移、求值的步驟完成即可.

【補償訓練】

某公司生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品，其中生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品，需要甲染料1噸，乙染

料4噸,丙染料2噸,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品,需要甲染料1噸，乙染料0噸,丙

染料5噸，且該公司一天之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50

噸、160噸和200噸,如果A產(chǎn)品的利潤為300元/噸,B產(chǎn)品的利潤為

200元/噸,設公司計劃一天內(nèi)安排生產(chǎn)A產(chǎn)品x噸,B產(chǎn)品y噸.

⑴用x,y列出滿足條件的數(shù)學關系式,并在如圖所示的坐標系中畫出

相應的平面區(qū)域；

⑵該公司每天需生產(chǎn)A,B產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤,最大利潤是

多少？

【解析】（1）由題意可得，

x+y<50,

4x<160,可行域如圖所示.

2x+5y<200,

y\

⑵設利潤z=300x+200y,

由產(chǎn)廣嗎,可得用4。,月。,

(%+y=50,

結(jié)合圖形可得x=40,y=10時，Zraa=14000.

答:該公司每天需生產(chǎn)A,B產(chǎn)品分別為40噸，10噸可獲得最大利潤，最

大利潤為14000元.

【拓展延伸】

解答線性規(guī)劃應用題的一般步驟

(1)審題一一仔細閱讀，明確有哪些限制條件,起關鍵作用的變量有哪

些.由于線性規(guī)劃應用題中的變量比較多，為了理順題目中量與量之間

的關系，有時可借助表格來理順.

⑵轉(zhuǎn)化一一設元.寫出約束條件和目標函數(shù),從而將實際問題轉(zhuǎn)化為

數(shù)學上的線性規(guī)劃問題.

⑶求解一一利用線性規(guī)劃求解.

(4)作答一一就應用題提出的問題作出回答.

【拓展訓練】

某人承攬一項業(yè)務,需做文字標牌4個,繪畫標牌5個.現(xiàn)有兩種規(guī)格的

原料，甲種規(guī)格每張3m2,可做文字標牌1個,繪畫標牌2個；乙種規(guī)格

每張2m；可做文字標牌2個,繪畫標牌1個,求這兩種規(guī)格的原料各用

多少張,才能使得總用料面積最小.

【解題指南】可先設出變量,寫出目標函數(shù)和約束條件,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)

劃問題來求解.

【解析】設需要甲種原料x張，乙種原料y張，則可做文字標牌(x+2y)

個，繪畫標牌(2x+y)個，

2%+y>5,

由題意可得+2y之4,

yGN,

所用原料的總面積為z=3x+2y,可行域為如圖陰影部分對應的整數(shù)點.

在一組平行直線z=3x+2y中，經(jīng)過可行域內(nèi)的點且在v軸上截距最小的

直線過直線2x+y=5和直線x+2y=4的交點(2,1),所以最優(yōu)解為

x=2,y=1.

所以使用甲種規(guī)格原料2張，乙種規(guī)格原料1張，可使總的用料面積最

小.

類型二線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解問題(邏輯推理、數(shù)學運算)

【典例】某校今年計劃招聘女教師x人，男教師y人，若x,y滿足

2x-y>5,

x-y<2,

x<6,

I%￡N,y￡N.

⑴在如圖所示的坐標系中作出可行域；

⑵求該學校今年計劃招聘的教師人數(shù)最多多少人?最少多少人?

四步內(nèi)容

2x-y>5

條件：已知線性約束條件＜x-y<2

x<6

理解題意eN,yQN

結(jié)論：（1）作出可行域；（2）計劃招聘的教師人數(shù)最多

多少人?最少多少人？

思路探求作出可行域,求出可行域內(nèi)滿足條件的整點.

（1）作出不等式組對應的平面區(qū)域為如圖陰影部分

書寫表達

對應的整數(shù)點：

(注：圖中直線2x-y=5和x=6為虛線)

(2)設z=x+y,則y=-x+z,平移直線y=-x+z,

由圖象可知當直線y=-x+z經(jīng)過點A時，

直線y=-x+z的截距最大，

此時z最大.但此時z最大值取不到，

由圖象可知當直線經(jīng)過整點E⑸4)時,z=x+y取得

最大值,經(jīng)過點F(4,2)時，z=x+y取得最小值.

代入目標函數(shù)z=x+y,

得2皿=5+4=9,zmin=4+2=6.

故該學校今年計劃招聘的教師人數(shù)最多9人，最少6

人.

當邊界的交點不是可行域內(nèi)的點時，需要另外求區(qū)

題后反思

域內(nèi)的整數(shù)解,一般在交點的附近.

?解題策略

尋找整點最優(yōu)解的三種方法

⑴平移找解法:先打網(wǎng)格,描整點,平移直線/,最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的

整點便是最優(yōu)整點解,這種方法應充分利用整點最優(yōu)解的信息,結(jié)合精

確的作圖才行，當可行域是有限區(qū)域且整點個數(shù)又較少時可逐個將整

點坐標代入目標函數(shù)求值,經(jīng)比較求最優(yōu)解.

⑵小范圍搜尋法:將求出的非整點最優(yōu)解附近的整點都求出來，代入

目標函數(shù),直接求出目標函數(shù)的最大（小）值.

⑶調(diào)整優(yōu)值法:先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值,再調(diào)整最優(yōu)值,最后篩選

出整點最優(yōu)解.

跟蹤訓練、

某運輸公司有7輛載重量為6噸的A型卡車,4輛載重量為10噸的B

型卡車,有9名駕駛員.在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每

天運送360噸瀝青的任務.已知每輛卡車每天往返次數(shù)為:A型車8次,B

型車6次,每輛卡車每天往返的成本費為:A型車160元,B型車280元.

每天派出A型車與B型車各多少輛時，公司花的成本費最低？

【解析】設公司每天所花成本費為z元，

每天派出A型車x輛，B型車y輛，

rx<7,

y<4,

則z=160x+280y,x,y滿足的約束條件為（％+y<9,

48x+6Oy>360,

y￡N,

作出不等式組的可行域為如圖陰影部分對應的整數(shù)點.

作直線/:160x+280y=0,即/:4x+7y=0.

將/向右上方移至/"立置時，直線人經(jīng)過可行域上的M點，由圖可知此時

z取得最小值.

由方程畸產(chǎn)=36。,解喉工

但y=0.4不是整數(shù)，故取x=7,y=1,此時z取得最小值.所以，當每天派出

A型車7輛、B型車1輛時，公司所花費用最低.

【拓展延伸】

在實際應用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解（比如人數(shù)、車輛數(shù)等）,

而直接根據(jù)約束條件得到的不一定是整數(shù)解，可以運用枚舉法驗證求

最優(yōu)整數(shù)解,或者運用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解.最優(yōu)整數(shù)解有時并非只

有一個,應具體情況具體分析.

調(diào)整優(yōu)值法時,先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值,再借助不定方程知識調(diào)整

最優(yōu)值,最后篩選出最優(yōu)解.

【拓展訓練】

某人有樓房一幢,室內(nèi)面積共180m2,擬分隔成兩類房間作為旅游客房，

大房間每間18可住游客5名，每名游客每天住宿費為40元;小房間

每間15inz,可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元;裝修大房間每

間需1000元,裝修小房間每間需600元.如果他只能籌款8000元用

于裝修,且游客能住滿客房，則他應隔出大房間和小房間各多少間，才

能獲得最大收益？

【解析】設隔出大房間x間，小房間v間，獲得收益為z元，則

18x+15y<180,f6x+5y<60,①，

1OOOx+600y<8000,即卜％+3y<40,②，

、%，y￡N,1%,y￡N,

4

砰、2463耳214x

?\\、\6v+5尸60

\%+3產(chǎn)40

/:4x+3>=0

則目標函數(shù)為z=200x+150y=50(4x+3y),

作出不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，

如圖中陰影部分內(nèi)的整點.

作直線/:4x+3y=0,

當直線/經(jīng)過平移過點A(m，時，4x+3y取得最大值，

由于A點的坐標不是整數(shù)，而x,y￡N,所以點A不是最優(yōu)解.調(diào)整最優(yōu)

解：

由x,y￡N,知4x+3y<37.

37-4x

令4x+3y=37,即y=----,

3

代入約束條件①②,解得三WxW3.

2

25

由于x￡N,得x=3,但此時尸TN.

3

36-4x

再次調(diào)整最優(yōu)解：令4x+3y=36.即y=-------,

3

代入約束條件①②,解得0WxW4(x￡N).

當x=0時，y=12;

當x=1時,y=10-;

3

1

當x=2時，y=9-;

3

當x=3時，y=8;

2

當x=4時，y=6-

3

所以最優(yōu)解為(0,12)和(3,8),這時zma=1800.

答：應隔出小房間12間或大房間3間、小房間8間，可以獲得最大收益.

【補償訓練】

兩類藥片有效成分如表：

\^分

阿司匹小蘇打可卡因每片價

藥品林/mg/mg/mg格/元

A(1片)2510.1

B(1片)1760.2

若要求至少提供12mg阿司匹林,70mg小蘇打,28mg可卡因，兩類藥

的最小總數(shù)是多少?怎樣搭配價格最低？

【解析】設需用A和B兩種藥品分別為x片和y片，藥品總數(shù)為z片,

價格為L元.

<2%+y>12,

5x+7y>70,

由題意，得約束條件（x+6y>28,

%>0,y>0,

<x,y^N.

線性目標函數(shù)為：藥品總數(shù)z二x+y.

價格L=0.1x+0.2y.

由不等式組作可行域如圖，取陰影部分的整點,

作直線/°:x+y=0,平移直線/。到/位置，/經(jīng)過點A時z有最小值.由

2x+y-12=0,

、5%+7y-70=0.

解得點A坐標為(當，

而點A不是整數(shù)點，故不能作為最優(yōu)解.

94

此時，過點A的直線為k.x+y二一,可行域內(nèi)與直線人距離最近的整點有

9

(1,10),(2,9),(3,8),使即藥品總數(shù)為11片，而相應價格為

LFO.1X1+0.2X10=2.1,l_2=0.1X2+0.2X9=2.0,

l_3=0.1X3+0.2X8=1.9,其中的L最小,

所以Lmin=1.9(元)，所以藥品最小總數(shù)為11片，其中3片A種藥、8片B

種藥搭配的價格最低.

類型三線性規(guī)劃的綜合應用(數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模)

角度-L…與向量相醫(yī)一的問題

”0，

【典例】已知向量a=(l,3),b=(x,y),且變量X,y滿足｛V4％，

(%+y-3<0,

則z=a?b的最大值為.

【思路導引】利用向量運算確定目標函數(shù)后求最值.

y>o,

【解析】由變量x,y滿足/V4工，作出可行域如圖,

x+y-3<0,

a=y,

聯(lián)立

x+y-3=0,

33

解得A

2'2

因為向量a=(1,3),b=(x,y),

所以z=a?b=x+3y,

1z

化為y=—y+&,由圖可知,

17

當直線y二一一x+一過A時,

33

直線在V軸上的截距最大,z有最大值為6.

答案:6

?變式探究

本例中若a=(2,1),試求z=a?b的最小值.

【解析】z=a-b=2x+y,即y=-2x+z,

則當直線/:y=-2x+z平移到點(0,0)時，z取得最小值zmi=2X0+0=0.

角度2…與方程的根有關的問題…

【典例】一元二次方程x2+ax+b=0的一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(1,2)

內(nèi)，則a+2b-3的值域為.

【思路導引】根據(jù)一元二次方程根的分布,利用對應的函數(shù)在區(qū)間端點

處取值正負確定限制條件,再利用線性規(guī)劃求值域.

【解析】根據(jù)題意，令f(x)=x?+ax+b,

由方程x2+ax+b=0的一個根在(0,1)內(nèi),

另一個根在(1,2)內(nèi)，

(f(0)=/?>0,

則有｛/(I)=1+Q+b<0,畫出對應的可行域,

(f(2)=4+2a+b>0,

如圖所示，

\

、\c(-3,2)卜

、

爾、、彳

11I。_____11?

-2\\-1\、O0

\

\\、、

\■、、、

6+1=0

\\-。+

\

\4+2。+6=0

△ABC的區(qū)域(不含邊界).

其中，A(7,0)、B(—2,0)、C(-3,2),令z=a+2b-3,

當a=-2,b=0時，z=(-2)-3=-5,取得最小值，

當a=-3,b=2時，z=(-3)+2X2-3=-2,取得最大值；故a+2b-3的值域為

(-5,-2).

答案：(-5,-2)

?變式探究

已知一元二次方程x2+ax+b=0的一個根在［-2,-1］內(nèi)，另一個根在［1,2］

內(nèi)，求a+b的取值范圍.

【解析】設f(x)=x?+ax+b,因為一元二次方程W+ax+bR的一個根在

［-2,T］內(nèi)，另一個根在［1,2］內(nèi),

了(-1)<0,\-a+b<0,

所以《2)Z0,即<4-2a+b>0,

/(I)<0,l+cz+b<0,

</(2)>0,U+2a+b>0,

作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：

則以a,b為坐標軸的點(a,b)的存在區(qū)域為四邊形ABCD及其內(nèi)部，設

z=a+b,

即b=-a+z,

平移直線b=-a+z,

由圖象知當直線b=-a+z經(jīng)過點B(0,-4)時，直線b=-a+z的截距最小，

此時z最小，z=0-4=-4,當直線b=-a+z與直線CD:a+b+1=0重合時，

直線b=-a+z的截距最大，此時z=-1,

即-4WzW7,即a+b的取值范圍是[-4,-1].

。解題策略

1.與向量有關的問題

向量一般作為工具,利用向量的運算可得目標函數(shù)或限制條件,再利用

線性規(guī)劃知識解題.

2.與方程的根有關的問題

若已知一元二次方程根的分布,可利用對應的二次函數(shù)求約束條件,方

程的根即函數(shù)的零點，根據(jù)零點的位置,轉(zhuǎn)化為區(qū)間端點處函數(shù)的正負,

即為約束條件.

題組訓練、

(X-1>0,

1.設X,y滿足約束條件(%-2y<0,向量a=(2x,1),b=(l,m-y),則滿

(2%+y<4,

足aJ_b的實數(shù)m的最小值為()

121233

A.—B.-C.-D.—

5522

【解析】選B.由向量a=(2x,1),b=(1,m-y),a_Lb,得m=y-2x,根據(jù)約束

條件畫出可行域，

因為m=y-2x,所以y=2x+m,將m的最小值轉(zhuǎn)化為直線y=2x+m在y軸上

的截距，

當直線y=2x+m經(jīng)過點A時,m最小，

Z

由x-2y=0,解得A仁3),所以滿的實數(shù)m的最小值

\2x+y=4,155；

為：-2X31=-U.

555

2.已知a,B是方程x2+ax+2b=0的兩根,且

h-3

aG[0,1],B￡[l,2],a,b￡R,求一的最大值和最小值.

a-1

fa=-a-p,

【解析】因為+夕=一°,所以|

(a?0=2b,J=a,B

1―2°

因為0WaW1,1WBW2,所以1Wa+BW3,0WaBW2,

所以-3W。4T，

VO<b<1.

建立平面直角坐標系aOb,則上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影

部分所示.

令k=——,可以看成動點P(a,b)與定點A(1,3)的連線的斜率.

a-l

31

因為kAF?kAC=?

所以三

2a-l2

故二的最大值是,最小值是士

a-l22

課堂檢測?素養(yǎng)達標學

1.(教材二次開發(fā):例題改編)某旅行社租用A,B兩種型號的客車安排

900名客人旅行,A,B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,租金分別

為1600元/輛和

2400元/輛,旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車

7輛，則租金最少為()

A.31200元B.36000元

C.36800元D.38400元

【解析】選C.設租用A型車x輛，B型車y輛，目標函數(shù)為z二

36%+6Oy>900,

%+y<21,

y-x<7,

(%,y￡N,

作出可行域,如圖中陰影部分所示,

可知目標函數(shù)過點（5,12）時，有最小值zmin=36800（元）.

2.鐵礦石A和B的含鐵率a,冶煉每萬噸鐵礦石的C0?的排放量b及每

萬噸鐵礦石的價格c如表:

ab/萬噸c/百萬元

A50%13

B70%0.56

某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9萬噸鐵,若要求CO?的排放量不超過2萬噸,

則購買鐵礦石的最少費用為百萬元.

【解析】設購買A,B兩種鐵礦石分別為x萬噸、y萬噸，購買鐵礦石的

fl?7、qc

-xH—y>1.9,

210，

1

費用為Z百萬元，則z=3x+6y.由題意，約束條件為4％+-y<2,

x>0,

<y>0.

作出可行域,如圖所示，由圖可知，目標函數(shù)z=3x+6y在點A(1,2)處取

得最小值Zmm=3X1+6X2=15.

答案：15

(x-y-1<0,

3.已知點A(3,-1),點P(x,y)滿足線性約束條件｛%20,0為

(2%+y-5<0,

坐標原點，則而在蘇方向上的投影的取值范圍為.

【解析】因為A(3,—1),P(x,y),

所以Op在。人方向上的投影為IO0ICOS<OP,OA>=|OAI-(3x-y).