分離變量法的應(yīng)用課件

回 顧1、分離變量方法的應(yīng)用—穩(wěn)定熱傳導(dǎo)問題2、有界弦的純受迫振動問題3、非零初始條件的處理4、非齊次邊界條件問題1回 顧1、分離變量方法的應(yīng)用—穩(wěn)定熱傳導(dǎo)問題1非齊次邊界條件的處理：2非齊次邊界條件的處理：2思考題非齊次泛定方程在非齊次邊界條件和非零初始條件下的定解問題應(yīng)該如何求解？3思考題3三維形式的直角坐標(biāo)分離變量以三維空間中的熱傳導(dǎo)問題為例，考慮齊次泛定方程：考慮如下形式的解：代入方程可得：4三維形式的直角坐標(biāo)分離變量以三維空間中的熱傳導(dǎo)問題為例，考慮這樣得到如下兩個(gè)微分方程：第二個(gè)微分方程可以進(jìn)一步分離變量，令：代入方程中整理可得：5這樣得到如下兩個(gè)微分方程：第二個(gè)微分方程可以進(jìn)一步分離變量，分析易得：時(shí)間部分的解為：空間部分（滿足邊界條件要求）的解通常為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的組合。因此，三維熱傳導(dǎo)問題的完整解為：6分析易得：時(shí)間部分的解為：空間部分（滿足邊界條例8.5求解下列定解問題：7例8.5求解下列定解問題：7求解本征值問題可得：8求解本征值問題可得：8相應(yīng)地，這時(shí)，有：同時(shí)可求出T：構(gòu)造特解并疊加得到：9相應(yīng)地，這時(shí)，有：同時(shí)可求出T：構(gòu)造特解并疊加得到：9代入初始條件可得：故定解問題：的解為：10代入初始條件可得：故定解問題：的解為：10在利用分離變量法求解定解問題的時(shí)候，對方程和邊界條件都要進(jìn)行變量分離。一般而言，能否應(yīng)用分離變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關(guān)之外，還和所選擇的坐標(biāo)系有關(guān)系。這個(gè)時(shí)候要根據(jù)邊界情況來選取合適的坐標(biāo)系。在進(jìn)一步討論之前，我們引入正交曲線坐標(biāo)系的概念。11在利用分離變量法求解定解問題的時(shí)候，對方程和1例8.5求解如下定解問題：（P194，例4）12例8.5求解如下定解問題：（P194，例4）12正交曲線坐標(biāo)系由三族互相正交的曲面定義的坐標(biāo)系稱為正交曲線坐標(biāo)系。正交曲線坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)的關(guān)系為：例：柱坐標(biāo)系13正交曲線坐標(biāo)系由三族互相正交的曲面定義的坐標(biāo)系球坐標(biāo)系其他正交曲線坐標(biāo)系還有拋物柱面坐標(biāo)、橢球坐標(biāo)等。14球坐標(biāo)系其他正交曲線坐標(biāo)系還有拋物柱面坐標(biāo)、橢正交曲線坐標(biāo)系中的Laplace算符15正交曲線坐標(biāo)系中的Laplace算符15一般地，我們總可以對齊次泛定方程的時(shí)間和坐標(biāo)變量進(jìn)行分離（和坐標(biāo)系的選取無關(guān)）。現(xiàn)在我們就來考察在不同的正交曲線坐標(biāo)系下對Laplace方程如何進(jìn)行變量分離。16一般地，我們總可以對齊次泛定方程的時(shí)間和16柱坐標(biāo)系的情況17柱坐標(biāo)系的情況1718181919球坐標(biāo)系的情況20球坐標(biāo)系的情況2021