江蘇省揚州市邗江中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

20202021學(xué)年江蘇省揚州市邗江中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（共8小題）.1．若（x2﹣1）+（x2﹣3x+2）i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)x的值為（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．以上都不對2．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形3．已知空間互不重合的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面內(nèi)”是“m，n，l兩兩相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，滿足，，，則，的夾角為（）A． B． C． D．5．已知，則＝（）A．1 B． C．﹣1 D．6．已知正方形ABCD的邊長為1，則＝（）A．5 B． C．25 D．417．已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，點P為BB1的中點，設(shè)平面A1PC1∩AB＝E，平面A1PC1∩BC＝F，則線段EF的長度為（）A． B． C． D．58．在△ABC中，AC＝1，AD⊥BC，垂足為D，且，則當(dāng)∠BAC取最大值時，△ABC的周長為（）A．3 B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列各式中，值為的是（）A．sin72°cos42°﹣cos72°sin42° B．cos2﹣sin2 C． D．2tan15°?cos215°10．已知α，β為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（）A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線 B．若AB與CD是異面直線，則AC與BD也是異面直線 C．若a∥b，b與c是異面直線，則a與c也是異面直線 D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b是異面直線11．設(shè)，是兩個非零向量，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則或 C．若，則 D．若，則存在實數(shù)λ，使得12．已知函數(shù)f（x）＝sinnx+cosnx（n∈N*），則下列說法正確的是（）A．當(dāng)n＝1時，直線是f（x）圖象的一條對稱軸 B．當(dāng)n＝4時，函數(shù)f（x）的最小正周期為 C．當(dāng)n＝4時，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減 D．當(dāng)n＝3時，若，則函數(shù)f（x）的值域為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，m為實數(shù)，且∥，則m＝．14．已知輪船A和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行．若A船的航行速度為15nmile/h，2h后，B船測得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時A，B兩船相距nmile．15．已知，則2sin2α+cos2α＝．16．已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在復(fù)平面第四象限內(nèi)，甲、乙、丙、丁四人對復(fù)數(shù)z的陳述如下（i為虛數(shù)單位）：甲：；乙：；丙：；?。海诩?、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復(fù)數(shù)z＝．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知i為虛數(shù)單位．（1）計算：；（2）若，求復(fù)數(shù)z．18．已知向量，x∈R，設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；（2）若，且，求cos2α的值．19．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱與底面所有直線均垂直，底面△ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為3，D，E分別為棱A1C1和B1C1的中點．（1）試判斷直線AD和BE的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求異面直線AB和CE所成角的余弦值．20．在①；②；③這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求a的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c＝2，______，______？21．如圖，風(fēng)景區(qū)的形狀是如圖所示的扇形ABC區(qū)域，其半徑為2千米，圓心角為60°，點P在弧上．現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道PQ，PR，RQ，要求街道PQ與AB垂直（垂足Q在AB上），街道PR與AB平行，交AC于點R．（1）如果P為弧的中點，求三條商業(yè)街道圍成的△PQR的面積；（2）試求街道RQ長度的最小值．22．已知函數(shù)f（x）＝sinxcosα+cosxsinα，g（x）＝cosβ?cosx﹣sinx?sinβ，α，β是常數(shù)，x∈R，，．（1）若，判斷h（x）＝f（x）+g（x）的奇偶性；若，判別h（x）＝f2（x）+g2（x）的奇偶性；（2）若，F(xiàn)（x）＝f（x）g（x）是偶函數(shù)，求β；（3）請仿照問題（1）（2）提一個問題（3），使得所提問題或是（1）的推廣或是問題（2）的推廣，問題（1）或（2）是問題（3）的特例．（不必證明命題）參考答案一、單項選擇題（共8小題）.1．若（x2﹣1）+（x2﹣3x+2）i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)x的值為（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．以上都不對解：若（x2﹣1）+（x2﹣3x+2）i是純虛數(shù)，則，解得：x＝﹣1，故選：A．2．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解：由正弦定理＝化簡已知的等式得：sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴sin2A＝sin2B，又A和B都為三角形的內(nèi)角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，則△ABC為等腰或直角三角形．故選：D．3．已知空間互不重合的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面內(nèi)”是“m，n，l兩兩相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解：根據(jù)題意，若m，n，l在同一平面內(nèi)，m、n、l三條直線可以互相平行，則“m，n，l在同一平面內(nèi)”不是“m，n，l兩兩相交”的充分條件；反之，若m，n，l兩兩相交，m，n，l可以不在同一平面內(nèi)，則“m，n，l在同一平面內(nèi)”不是“m，n，l兩兩相交”的必要條件；故“m，n，l在同一平面內(nèi)”是“m，n，l兩兩相交”的既不充分也不必要條件．故選：D．4．已知向量，滿足，，，則，的夾角為（）A． B． C． D．解：，，，設(shè)，的夾角為θ，則cosθ＝＝＝，因為θ∈[0，π]，所以θ＝．故選：B．5．已知，則＝（）A．1 B． C．﹣1 D．解：根據(jù)題意，，即sinθ+cosθ﹣sinθ＝sinθ+cosθ＝1，變形可得：sin（θ+）＝1，故選：A．6．已知正方形ABCD的邊長為1，則＝（）A．5 B． C．25 D．41解：如圖，，，，∴＝＝，∴．故選：B．7．已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，點P為BB1的中點，設(shè)平面A1PC1∩AB＝E，平面A1PC1∩BC＝F，則線段EF的長度為（）A． B． C． D．5解：因為平面A1PC1∩AB＝E，平面A1PC1∩BC＝F，所以A1P與AB的交點即為點E，延長線A1P與AB的延長線交于點E，因為AA1∥BP，且P為BB1的中點，所以AB＝AE＝4，同理可得C1P與CB的延長線交于點F，所以BC＝BF＝2，如圖所示，連接EF，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∠ABC＝FBE＝90°，則EF＝＝＝2，故選：C．8．在△ABC中，AC＝1，AD⊥BC，垂足為D，且，則當(dāng)∠BAC取最大值時，△ABC的周長為（）A．3 B． C． D．解：根據(jù)題意，設(shè)|CD|＝a，若，則D在線段BC之外，且|BD|＝3|CD|＝3a，如圖：又由AC＝1，則|AD|2＝1﹣a2，則|AB|2＝|BD|2+|AD|2＝1+8a2，則|AB|＝，則cos∠BAC＝＝＝＝×（+），又由+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)8a2+1＝3，即a＝時等號成立，此時cos∠BAC取得最小值，∠BAC取得最大值，此時|BC|＝2a＝1，|AB|＝＝，△ABC的周長為2+；故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列各式中，值為的是（）A．sin72°cos42°﹣cos72°sin42° B．cos2﹣sin2 C． D．2tan15°?cos215°解：∵sin72°cos42°﹣cos72°sin42°＝sin（72°﹣42°）＝sin30°＝，故A滿足條件；∵＝?＝＝＝，故B不滿足條件；∵＝?＝?tan45°＝，故C滿足條件；∵2tan15°?cos215°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝，故D滿足條件，故選：ACD．10．已知α，β為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（）A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線 B．若AB與CD是異面直線，則AC與BD也是異面直線 C．若a∥b，b與c是異面直線，則a與c也是異面直線 D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b是異面直線解：對于A，若a?α，b?β，則a與b可能平行、可能相交、也可能異面，故A錯誤；對于B，若AB與CD是異面直線，則AC與BD也是異面直線，否則，若AC與BD共面，則AB與CD共面，與已知矛盾，故B正確；對于C，若a∥b，b與c是異面直線，則a與c相交或異面，故C錯誤；對于D，若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，由異面直線的定義可得，a與b是異面直線，故D正確．故選：BD．11．設(shè)，是兩個非零向量，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則或 C．若，則 D．若，則存在實數(shù)λ，使得解：A．∵，∴，，∴，∴，∴A正確；B．∵，∴，∴，得不出或，∴B錯誤；C.，不共線時，仍可滿足，卻得不出，∴C錯誤；D．∵，∴，∴，∴的夾角為π，即共線，∴存在實數(shù)λ，使得，∴D正確．故選：AD．12．已知函數(shù)f（x）＝sinnx+cosnx（n∈N*），則下列說法正確的是（）A．當(dāng)n＝1時，直線是f（x）圖象的一條對稱軸 B．當(dāng)n＝4時，函數(shù)f（x）的最小正周期為 C．當(dāng)n＝4時，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減 D．當(dāng)n＝3時，若，則函數(shù)f（x）的值域為解：函數(shù)f（x）＝sinnx+cosnx（n∈N*），對于A：當(dāng)n＝1時，函數(shù)f（x）＝sinx+cosx＝，當(dāng)x＝時，f（）＝，故A正確；對于B：當(dāng)n＝4時，函數(shù)f（x）＝sin4x+cos4x＝（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x＝1﹣＝＝，所以函數(shù)的最小正周期為，故B正確；對于C：由于函數(shù)f（x）＝，且滿足，所以4x∈[0，π]，故函數(shù)f（x）在該區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D：函數(shù)f（x）＝sin3x+cos3x＝（sinx+cosx）（1﹣sinxcosx），設(shè)sinx+cosx＝＝t，由于，所以t，f（t）＝，故≤0，所以函數(shù)f（t）在上單調(diào)遞減，故，f（t）max＝f（1）＝1，故函數(shù)f（x）的值域為[，故D錯誤；故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知向量，m為實數(shù)，且∥，則m＝4．解：，且，∴m﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝4．故答案為：4．14．已知輪船A和輪船B同時離開C島，A船沿北偏東30°的方向航行，B船沿正北方向航行．若A船的航行速度為15nmile/h，2h后，B船測得A船位于B船的北偏東45°的方向上，則此時A，B兩船相距nmile．解：由題意，△ABC中，AC＝15×2＝30nmile，∠C＝30°，∠ABC＝135°，由正弦定理可得，∴AB＝＝15nmile．故答案為：15．15．已知，則2sin2α+cos2α＝．解：根據(jù)題意，，則有＝2，解可得tanα＝，則2sin2α+cos2α＝＝＝，故答案為：．16．已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在復(fù)平面第四象限內(nèi)，甲、乙、丙、丁四人對復(fù)數(shù)z的陳述如下（i為虛數(shù)單位）：甲：；乙：；丙：；?。海诩?、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個人的陳述正確，則復(fù)數(shù)z＝1+i．解：設(shè)z＝a+bi，則＝a﹣bi，甲：由＝2a，即a＝1；乙：由＝2bi，即b＝﹣；丙：由＝a2+b2；?。河傻茫剑剑詀2+b2＝2，若b＝﹣，則a2+3＝2顯然不成立，故丙丁不能同時成立，乙丁不能同時成立，且甲乙丙可以知二推一，所以甲丁正確，此時a＝1，b＝1，z＝1+i．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知i為虛數(shù)單位．（1）計算：；（2）若，求復(fù)數(shù)z．解：（1）．（2）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則由，得a2+b2+2ai＝1﹣i，則a2+b2＝1且2a＝﹣1，解得：a＝﹣，b＝±，則或．18．已知向量，x∈R，設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；（2）若，且，求cos2α的值．解：（1）因為向量，則函數(shù)＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若，則，所以當(dāng)，即x＝0時，；當(dāng)，即時，f（x）max＝1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由，得，因為，則，又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣則，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱與底面所有直線均垂直，底面△ABC是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為3，D，E分別為棱A1C1和B1C1的中點．（1）試判斷直線AD和BE的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求異面直線AB和CE所成角的余弦值．解：（1）連接DE．在△A1B1C1中，D，E分別為棱A1C1和B1C1的中點，所以DE∥A1B1，且DE＝A1B1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB∥A1B1，且AB＝A1B1，所以DE∥AB，且DE＝AB，所以四邊形ABED為梯形，所以直線AD和BE為相交直線．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）因為DE∥AB，所以∠DEC（或其補角）為異面直線AB和CE所成角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因為△ABC是邊長為4的正三角形，則DE＝AB＝2，在△CC1E中，CC1⊥C1E，CC1＝3，C1E＝2，則，同理，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在△CDE中，，，DE＝2，解得，所以異面直線AB和CE所成角的余弦值為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．在①；②；③這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求a的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c＝2，______，______？解：若選①，②，由①，可知；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由②，可得2cos2B＝1﹣cosB，即2cos2B+cosB﹣1＝0，解得cosB＝﹣1，或，又因為B∈（0，π），所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又，C∈（0，π），余弦函數(shù)y＝cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此時B+C＞π，不能構(gòu)成三角形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若選①，③，由①，可知；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由③，得，又由正弦定理可知，，展開得，即，又C∈（0，π），則sinC≠0，故，A∈（0，π），所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由①得，C∈（0，π），余弦函數(shù)y＝cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，所以，此時A+C＜π，能構(gòu)成三角形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此時，又c＝2，由正弦定理，得，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若選②，③，由②得；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由③得；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此時此時A+B＜π，能構(gòu)成三角形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，則，由正弦定理，得，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．如圖，風(fēng)景區(qū)的形狀是如圖所示的扇形ABC區(qū)域，其半徑為2千米，圓心角為60°，點P在弧上．現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道PQ，PR，RQ，要求街道PQ與AB垂直（垂足Q在AB上），街道PR與AB平行，交AC于點R．（1）如果P為弧的中點，求三條商業(yè)街道圍成的△PQR的面積；（2）試求街道RQ長度的最小值．解：連接AP，過R作RD⊥AB，垂足為D．（1）當(dāng)P為弧BC的中點時，∠PAQ＝30°，在△APQ中，AP＝2，PQ⊥AQ，故，在△ARD中，RD＝PQ＝1，∠RAD＝60°，所以，則，所以，在直角三角形PRQ中，△PQR的面積．（2）設(shè)，則PQ＝2sinθ，AQ＝2cosθ，RD＝PQ＝2sinθ，又，則，所以，在直角三角形PRQ中，＝，其中因為，所以，又，所以當(dāng)時，RQ2有最小值為，即．綜上，街道RQ長度的最小值為千米．22．已知函數(shù)f（x）＝sinxcosα+cosxsinα，g（x）＝cosβ?cosx﹣sinx?sinβ，α，β是常數(shù)，x∈R，，．（1）若，判斷h（x）＝f（x）+g（x）的奇偶性；若，判別h（x）＝f2（x）+g2（x）的奇偶性；（2）若，F(xiàn)（x）＝f（x）g（x）是偶函數(shù)，求β；（3）請仿照問題（1）（2）提一個問題（3），使得所提問題或是（1）的推廣或是問題（2）的推廣，問題（1）或（2）是問題（3）的特例．（不必證明命題）解：由題意可知f（x）＝sinx?cosα+cosα?sinx＝sin（x+α），g（x）＝cosβ?cosx﹣sinx?sin