軸對稱與折疊問題

軸對稱與折疊問題(適合初一學(xué)生)（一）幾何作圖最值模型模型一：直角坐標(biāo)系下的幾何最值1．

兩條線段的和差最值問題：（1）如圖1-1，MN⊥EF，在MN上找一點(diǎn)C，使得AC+BC最小；【解析】如圖1-1-1，連接AB，與MN交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C為所求。證明：在MN上任選其他一點(diǎn)D，連接DA、DB，則在△DAB中，DA+DB＞AB，AB=CA+CB，∴CA+CB＜DA+DB；（2）如圖1-1，MN⊥EF，在EF上找一點(diǎn)C，使得AC+BC最小；【解析】如圖1-1-2，作點(diǎn)B有關(guān)EF的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，與EF交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C為所求。證明：在EF上任選其他一點(diǎn)D，連接DA、DB、DB'，則在△DAB'中，DA+DB'＞AB'，而DA+DB'=DA+DB，AB'=CA+CB'=CA+CB，∴CA+CB＜DA+DB；闡明：假如作A有關(guān)EF的對稱點(diǎn)A'，連接BA'，與EF的交點(diǎn)仍然是點(diǎn)C。（3）如圖1-1，MN⊥EF，在EF上找一點(diǎn)C，使得AC-BC最大；【解析】如圖1-1-3，連接AB，延長AB與EF交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C為所求。證明：在EF上任選其他一點(diǎn)D，連接DA、DB，則在△DAB中，DA-DB＜AB，而AB=CA-CB，∴CA-CB＞DA-DB；（4）如圖1-1，MN⊥EF，在MN上找一點(diǎn)C，使得AC-BC最大；【解析】如圖1-1-4，作點(diǎn)A有關(guān)MN的對稱點(diǎn)A'，連接A'B，延長線與MN交于C點(diǎn)，則點(diǎn)C為所求。證明：在MN上任選其他一點(diǎn)D，連接DA、DB、DA'，則在△DA'B中，DA'-DB＜A'B，而DA'-DB=DA-DB，A'B=CA'-CB=CA-CB，∴CA-CB＞DA-DB；闡明：假如作B有關(guān)MN的對稱點(diǎn)B'，連接AB'，延長線與MN的交點(diǎn)仍然是點(diǎn)C。２，三條線段之和的最值問題：（１）如圖1-2-1-1，MN⊥EF，在EF上找一點(diǎn)C，MN上找一點(diǎn)D，使得｜AC+CD+BD|最?。弧窘馕觥咳鐖D1-2-1-2，分別作A有關(guān)EF的對稱點(diǎn)A’和B有關(guān)MN的對稱點(diǎn)B'，連接A'B'，分別與EF、MN交于C、D兩點(diǎn)，則點(diǎn)C、D為所求。證明：分別在EF、MN任取其他兩點(diǎn)P、Q，連接PQ、PA、PA'、QB、QB'，則在點(diǎn)A'和點(diǎn)B'之間，A'B'最短，而AC+CD+BD=A'C+CD+DB'=A'B'；PA+PQ+QB=A'P+PQ+QB'＞A'Ｂ'，∴AC+CD+BD＜PA+PQ+QB。（２）如圖1-２-2-1，等腰直角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，∠ABC=90°，點(diǎn)Ｅ為ＡＢ邊上一點(diǎn)，將△ＡＢＣ沿ＡＣ翻折至△ＡＤＣ，在ＡＣ上求作一點(diǎn)Ｐ，使得△ＰＢＥ的周長最短?！窘馕觥坑捎冢拢诺拈L度已經(jīng)固定，實(shí)際上是求作點(diǎn)Ｐ，使得PE+PB最小。如圖1-2-2-2，點(diǎn)D是點(diǎn)B有關(guān)AC的對稱點(diǎn)，連接DE，與AC相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求。證明：取AC上其他任一點(diǎn)Q，則QB+QE=QE+QD＞DE=PE+PD=PE+PB，故PE+PB+BE＜QB+QE+BE。（此題與1（2）類似）模型二：含平行線的多線段之和的幾何最值如圖2-1，直線a∥b，A、B為兩定點(diǎn)，M、N分別在直線a、b上，且MN⊥a，請確定M、N的位置，使得AM+MN+NB最小?！窘馕觥咳鐖D2-2，過A作AE⊥a，并截取AE=MN，連接BE，與b交于N，過N作NM⊥a，與a交于M點(diǎn)。則M、N為所求的兩點(diǎn)。證明：如圖2-2，設(shè)MN平移至PQ的位置，則由于AE=PQ，且AE∥PQ，因此四邊形AEQP為平行四邊形，即AP=EQ；同樣，AM=EN，AM+BN=BE，在△BQE中，BQ+QE＞BE，因此BQ+AP＞BN+AM，兩邊同步加上PQ和MN，得：BQ+PQ+AP＞BN+MN+AM。模型三：一種角內(nèi)多線段之和的最值1，如圖3-1，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)部的一點(diǎn)，試分別在OA、OB上各找一點(diǎn)M、N，使△PMN的周長最小?！窘馕觥咳鐖D3-2，分別作P有關(guān)OA、OB的對稱點(diǎn)P1、P2，連接P1P2，與OA、OB分別交于點(diǎn)M、N，則M、N兩點(diǎn)為所求。證明：由于PM=MP1，NP=NP2，因此△PMN的周長為P1P2；分別在OA、OB上任選其他兩點(diǎn)C、D，連接PC、PD、P1C、P2D、CD，則CP=CP1，DP=DP2，因此△PCD的周長為P1C+CD+DP2，而在P1P2兩點(diǎn)之間，P1P2的線段最短，故P1P2＜P1C+CD+DP2，因此C△PMN＜C△PCD。2．假如問題1中添加條件：∠AOB=30°，且OP=10，求C△PMN的最小值。【解析】如圖3-3，首先按照問題1的措施作出三角形PMN，即圖中的△PMN的周長為最小，且C△PMN=P1P2。連接OP1、OP2，則OP=OP1=OP2=10，且∠POM=∠MOP1，∠PON=∠NOP2，因此∠P1OP2=2（∠POM+∠PON）=2∠AOB=60°，于是△OP1P2為等邊三角形，故P1P2=OP1=10，即C△PMN的最小值為10.

（二）折疊中隱含的已知條件近些年來，有關(guān)折疊問題題目在中考中屢見不鮮，處理折疊問題的關(guān)鍵是對軸對稱圖形的基本知識，例如折痕就是對稱軸、軸對稱圖形的全等、軸對稱的對應(yīng)線段相等、原圖形上的任一點(diǎn)和其對稱點(diǎn)連接起來的線段被對稱軸垂直平分等。折疊問題在中考中越來越受到重視，重要是考驗(yàn)學(xué)生的空間想象力。充足運(yùn)用折疊問題中的已知條件和隱含條件是解題的關(guān)鍵。【例1】

如圖1-1，已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE=2CE，將矩形沿著過E點(diǎn)的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在BC邊下方的點(diǎn)C’、D’處，且點(diǎn)C’、D’、B在同一條直線上，折痕與AD交于點(diǎn)F，D’F與BE交于點(diǎn)G。設(shè)AB=t，那么△EFG的周長為多少？（用含t的代數(shù)式表達(dá)）【解析】如圖1-2，過G作GH∥C’D’，與C’E交于H點(diǎn)；過F作FI⊥BC于I。則GH=FI=t，不難證明RT△GHE≌ＲＴ△ＦＧＩ，故ＧＥ＝ＦＧ；又∵ＢＥ＝２ＣＥ，ＣＥ＝Ｃ’Ｅ，∴ＢＥ＝２Ｃ’Ｅ，而∠ＢＣ’Ｅ＝９０°，∴∠ＥＢＣ’＝３０°，又∠ＢＤ’Ｇ＝９０°，∴∠ＦＧＩ＝∠ＢＧＤ’＝６０°，故△ＦＧＥ為等邊三角形；在△ＧＨＥ【例2】如圖2-1，在一張矩形紙片ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝４厘米，點(diǎn)Ｅ、Ｆ分別是ＣＤ和ＡＢ的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片折疊，使點(diǎn)Ｂ落在ＥＦ上的點(diǎn)Ｇ處，折痕為ＡＨ，若ＨＧ的延長線恰好通過點(diǎn)Ｄ，則ＣＤ的長度為多少？【解析】易知Ｇ為ＤＨ的中點(diǎn)，又ＡG⊥ＤＨ，故ＡＤ＝ＡＨ。在△ＡＤＧ和△ＤＨＣ中，ＡＧ＝ＡＢ＝ＤＣ，∠Ｃ＝∠ＡＧＤ＝９０°，∠ＡＤＧ＝∠ＤＨＣ（同步和∠ＣＤＨ互余），∴△ＡＤＧ≌△ＤＨＣ，即ＡＤ＝ＤＨ，故【例３】如圖３－１，把矩形紙片ＯＡＢＣ放入平面直角坐標(biāo)系中，使ＯＡ、ＯＣ分別落在ｘ軸、ｙ軸上，連接ＡＣ，將矩形紙片ＯＡＢＣ沿ＡＣ折疊，使點(diǎn)Ｂ落在點(diǎn)Ｄ的位置。已知點(diǎn)Ｂ（１，２），則點(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)是多少？【解析】由已知得：ＯＡ＝ＣＢ＝ＣＤ＝１，ＡＢ＝ＡＤ＝ＯＣ＝２，設(shè)Ｄ（ｘ，ｙ），練習(xí)：１，如圖ｄ－１，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＤ＝８，折疊紙片使ＡＢ邊與對角線ＡＣ重疊，點(diǎn)Ｂ落在Ｆ處，折痕為ＡＥ，且ＥＦ＝３.則ＡＢ＝？【提醒】ＣＦ＝４，設(shè)ＡＢ＝ｘ，則ＡＣ＝４+ｘ，再用勾股定理可解。２，如圖ｄ－２，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝１２，ＢＣ＝６，點(diǎn)Ｅ、Ｆ分別在ＡＢ、ＣＤ上，將矩形ＡＢＣＤ沿ＥＦ折疊，使點(diǎn)Ａ、Ｄ分別落在矩形ＡＢＣＤ外部的點(diǎn)Ａ’和Ｄ’處，ＦＤ’與ＢＥ交于點(diǎn)Ｇ，則四邊形ＢＣＦＧ和四邊形ＥＧＤ'Ａ'的周長之和為多少？【提醒】將兩個四邊形的邊按照合理的組合，轉(zhuǎn)變成已知的線段長度。

（三）“將軍飲馬”模型及其推廣某一天，一位將軍向古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家海倫請教一種問題：如圖1-1，從A地出發(fā)，到筆直的河岸去飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？這就是著名的“將軍飲馬”問題。眾所周知，如圖1-2，運(yùn)用對稱變換知，將軍的飲馬點(diǎn)應(yīng)選在O點(diǎn)，此時OA+OB最短。“將軍飲馬”模型推廣：【例1】假如將軍在飲馬后還要在河邊走一段路，這段路的長度是固定的，那么飲馬地點(diǎn)應(yīng)當(dāng)怎么選呢？（如圖1-3）【分析】由于CD的距離固定，即求AC+BD最短，與圖1-2相比，OA+OB為折線，而AC+BD沒有公共點(diǎn)的線段，因此通過平移進(jìn)行連接，轉(zhuǎn)化為前面討論過的問題。如圖1-4，將點(diǎn)B向左平移相稱于CD長度的距離，至B'，連接B'A'，與直線l交于點(diǎn)C，連接BD，輕易證明，此時AC+CD+DB最短。【例2】如圖１-５在銳角三角形ABC中，ＡＤ為∠ＢＡＣ的角平分線，點(diǎn)Ｍ、Ｎ分別是ＡＤ、ＡＢ上的動點(diǎn)，試在圖上標(biāo)上Ｍ、Ｎ，使ＭＮ＋ＭＢ最小?！痉治觥康谝徊剑燃俣c(diǎn)Ｎ不動，把問題化簡為“將軍飲馬”的模型，那么點(diǎn)Ｎ有關(guān)ＡＤ的對稱點(diǎn)Ｎ'應(yīng)當(dāng)落在ＡＣ邊上（如圖１－６），連接ＢＮ'，與AD的交點(diǎn)M就是使MN+MB最短。且最短距離為BN'；第二步，已知BN'的最短距離為點(diǎn)B到AC的距離，如圖1-7，作BE⊥AC于E，則當(dāng)N'和E重疊時BN'最短，作E有關(guān)AD的對稱點(diǎn)N，則點(diǎn)N落在AB上，連接BE與AD交于點(diǎn)M，連接MN，則MN+MB=BE，因此圖1-7中所作的M、N點(diǎn)符合規(guī)定。【例2】

如圖1-8，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最短時，∠MAN的度數(shù)是多少？【解析】如圖1-9，