基于門限協(xié)整理論的股指期貨跨市場套利研究

PAGEPAGE14基于門限協(xié)整理論的股指期貨跨市場套利研究本文得到國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（編號:本文得到國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（編號:10BJY104）的資助?！菊勘疚脑贐alke,Fomby[2]和Hasen[4]提出的“在不同市場上的同質(zhì)或相似商品的價(jià)格存在長期均衡關(guān)系，當(dāng)價(jià)格偏離均衡時(shí)，由于套利交易的存在，偏離會(huì)迅速回到均衡；在一定的門限值以外，二者服從協(xié)整關(guān)系，而在門限值以內(nèi)，二者沒有協(xié)整關(guān)系”之門限協(xié)整概念的基礎(chǔ)上，建立了雙門限向量誤差修正模型（BT-VECM）；提出了判斷門限協(xié)整行為的Sup-Wald檢驗(yàn)，使用Bootstrap方法模擬了Wald檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布，并用極大似然估計(jì)方法（MLE）和相應(yīng)的格點(diǎn)搜索法同時(shí)估計(jì)出了門限參數(shù)、協(xié)整向量和雙門限向量誤差修正模型的各參數(shù)。本文用門限協(xié)整理論驗(yàn)證了英國富時(shí)指數(shù)期貨（UK100）和德國法蘭克福指數(shù)期貨（GER30）的門限協(xié)整關(guān)系，估計(jì)了模型的各個(gè)參數(shù)，檢驗(yàn)了參數(shù)的顯著性，并給出了在這種門限協(xié)整關(guān)系下進(jìn)行跨市場無風(fēng)險(xiǎn)套利的策略。關(guān)鍵詞：門限協(xié)整，跨市場套利，股指期貨，門限誤差修正模型，Bootstrap1引言假設(shè)兩個(gè)同質(zhì)或相似的商品在兩個(gè)不同的市場進(jìn)行交易，根據(jù)一價(jià)定律，它們應(yīng)該具有相同的價(jià)格，兩個(gè)不同的市場之間存在長期的均衡關(guān)系（協(xié)整關(guān)系），當(dāng)價(jià)格偏離均衡時(shí)，就會(huì)有套利機(jī)會(huì)存在。人們通過同時(shí)買空（賣空）被低估（高估）的商品和賣空（買空）被低估（高估）的商品，來獲取無風(fēng)險(xiǎn)收益。但是由于兩個(gè)市場地理上是分隔的，發(fā)現(xiàn)這種偶然的價(jià)格差異需要時(shí)間，加上交易成本，交易頭寸限制，市場非有效性等因素的存在，這種套利并不總是有利可圖的。人們期望尋找到一個(gè)門限，當(dāng)價(jià)格偏離均衡值超過這個(gè)門限時(shí)，就認(rèn)為套利是可行的。即這種長期協(xié)整關(guān)系并非是線性的，在某些區(qū)域，由于套利收益被交易成本等因素抵消，因此不存在套利交易，兩個(gè)市場的價(jià)格傾向于服從隨機(jī)游走；在這些區(qū)域之外，套利交易頻繁發(fā)生，以至于兩個(gè)市場的價(jià)格迅速收斂于均衡，這時(shí)兩個(gè)市場的價(jià)格稱之為非線性協(xié)整（門限協(xié)整，thresholdintegration）。Balke,Fomby[2]提出了門限協(xié)整的概念，并用一個(gè)門限自回歸模型（TAR，thresholdautoregression）定義這種非線性協(xié)整行為。即假設(shè)在一個(gè)二元系統(tǒng)里兩種商品的價(jià)格分別為和，它們都服從I(1)過程，存在長期均衡（協(xié)整）關(guān)系，其中殘差項(xiàng)用來度量價(jià)格偏離均衡的程度，它滿足一個(gè)非線性的自回歸方程：（1）()（2）這里，為門限值，為白噪聲過程。即當(dāng)殘差在門限區(qū)間（）內(nèi)部時(shí)，服從一個(gè)隨機(jī)游走過程；而當(dāng)在門限區(qū)間（）之外，則傾向于回歸到均衡值0附近。這種TAR模型的另外一種等價(jià)表述形式是門限向量誤差修正模型（T-VECM）。（3）其中，為彼此獨(dú)立的二元白噪聲序列，，為誤差修正項(xiàng)，等價(jià)于TAR模型中的殘差項(xiàng)。TAR模型通過定義兩個(gè)門限，把系統(tǒng)分成三個(gè)體制（regime）。在中間體制()下，價(jià)格偏差服從一個(gè)隨機(jī)游走過程，二者沒有協(xié)整關(guān)系，這時(shí)不存在套利機(jī)會(huì)；在其他兩個(gè)體制下，價(jià)格偏差傾向于向均衡值0收斂，二者具有協(xié)整關(guān)系，這時(shí)市場存在套利交易。顯然對TAR這種非線性情形，傳統(tǒng)的協(xié)整檢驗(yàn)方法并不適用。如果在一個(gè)二元系統(tǒng)里的確存在上述TAR模型所描述的非線性協(xié)整（門限協(xié)整）關(guān)系，那么如何檢驗(yàn)這種門限協(xié)整的存在性，如何估計(jì)門限的參數(shù)是該問題的重點(diǎn)。Balke,Fomby[2]提出了采用兩步法驗(yàn)證系統(tǒng)的門限協(xié)整行為。第一步，用傳統(tǒng)的Engle-Grander兩步法[8]（即用ADF和PP檢驗(yàn)法檢驗(yàn)長期均衡回歸方程的殘差是否為單位根過程）和用Johansen方法檢驗(yàn)整個(gè)系統(tǒng)的協(xié)整行為）；第二步，檢驗(yàn)系統(tǒng)內(nèi)部的門限協(xié)整行為，估計(jì)門限參數(shù)。即將（1）（2）式的TAR模型寫成如下形式：（4）為了檢驗(yàn)系統(tǒng)內(nèi)部的門限協(xié)整，并估計(jì)門限參數(shù)，PetruccelliDavies[11]提出了基于殘差遞歸安排自回歸（recursivearrangedautoregression）方法，并提出CUSUM檢驗(yàn)方法。Tsay[12]同樣用殘差遞歸安排自回歸的方法，給出了另外一種檢驗(yàn)非線性協(xié)整的方法。Balke,Fomby[2]在Tsay的基礎(chǔ)上提出了基于遞歸殘差的Sup-Wald檢驗(yàn)方法，并對上述的檢驗(yàn)方法的效果進(jìn)行了比較，結(jié)果得到Sup-Wald檢驗(yàn)方法的效果最好。殘差遞歸安排自回歸方法的基本思想是把殘差序列{，t=0,1,2…}按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蛑匦屡帕行纬梢粋€(gè)新的樣本，這個(gè)樣本打亂了原有樣本的時(shí)間順序，這時(shí)在進(jìn)行自回歸時(shí)的滯后變量并不是時(shí)間意義上的滯后變量，而是新樣本下的滯后變量。在這個(gè)重新安排的樣本下，首先選取一系列可能的門限值，對于每一對門限值，通過最小二乘（OLS）估計(jì)門限自回歸方程（TAR），并計(jì)算樣本的殘差平方和。其次為了檢驗(yàn)門限協(xié)整是否存在，作如下假設(shè)檢驗(yàn)，即零假設(shè)：，即越過門限值時(shí)系統(tǒng)沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)突變（structualchange），不存在門限協(xié)整。備擇假設(shè)：，即存在兩個(gè)結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)，存在門限協(xié)整。再者構(gòu)造Wald統(tǒng)計(jì)量：，其中，服從分布。其中T為樣本大小，為由OLS估計(jì)的在線性模型（）下的殘差平方和。由于是關(guān)于的減函數(shù)，因此定義Sup-Wald統(tǒng)計(jì)量為所有的最大值：，其中為門限的值域。當(dāng)門限越過某些點(diǎn)的時(shí)候，系統(tǒng)發(fā)生了結(jié)構(gòu)性突變，那么這些點(diǎn)很可能就是所需要估計(jì)的門限值。最后得出門限的估計(jì)值是那些使殘差平方和最小以及Wald統(tǒng)計(jì)量最大的值。即在同方差假設(shè)下，殘差平方和最小和Wald統(tǒng)計(jì)量最大這兩者是一致的。為了得知拒絕域的具體大小，需要知道Wald統(tǒng)計(jì)量的分布。但在這種情況下Wald統(tǒng)計(jì)量的分布依賴于門限參數(shù)的選擇。在門限參數(shù)事先給定的情況下，Wald統(tǒng)計(jì)量在大樣本下近似服從分布，而在零假設(shè)下門限參數(shù)并非事先給定的，而是被估計(jì)出來的，由于選擇不同的初始樣本可能會(huì)得到不同的估計(jì)結(jié)果，故使得檢驗(yàn)變得更加復(fù)雜。因此傳統(tǒng)的PetruccelliDavies[11]和Tsay[17]的檢驗(yàn)方法是無效的。為解決這一問題，人們提出了一系列漸進(jìn)理論來模擬在參數(shù)未知情況下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布。Davies[7]提出了似然比（LR）檢驗(yàn)（likelihoodratio）。Andrew,Ploberger[1]分別構(gòu)造了平均統(tǒng)計(jì)量以及對數(shù)統(tǒng)計(jì)量，Hassen[7]提出了漸進(jìn)分布理論（asymptoticdistribution）來模擬檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布。Balke,Fomby[2]還提出用自助法（bootstrap）模擬Wald統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布：將隨機(jī)取出的零假設(shè)模型下的殘差放入新的樣本，并不斷重復(fù)該過程產(chǎn)生一個(gè)bootstrap樣本，在這個(gè)樣本中，計(jì)算零假設(shè)模型下的Sup-Wald統(tǒng)計(jì)量的分布；通過蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)結(jié)果，Balke,Fomby[2]指出了Hasen的漸進(jìn)分布理論和bootstrap數(shù)值檢驗(yàn)方法都比傳統(tǒng)的CUSUM和Tsay[17]檢驗(yàn)方法更加有效。然而Forbes,Kalb,Kofman[6]提出的這種基于殘差遞歸安排自回歸的方法過于繁瑣，對殘差樣本的順序進(jìn)行重排時(shí)選擇升序和降序還會(huì)影響可能的門限值的范圍以及概率。由于套利交易的存在，任何超過門限值的價(jià)格都會(huì)在短時(shí)間內(nèi)回到均衡價(jià)格，所以超過門限外體制的樣本很小，而妨礙門限的識(shí)別。因此人們試圖使用貝葉斯方法(Bayasianapproach)估計(jì)門限套利模型。GewekeTerui[9]建立了一個(gè)二體制自回歸(two-regimeautoregression)模型，計(jì)算出了門限變量的邊緣后驗(yàn)分布的解析解。Koop[12]研究了類似二體制自回歸模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)。ChenLee[5]利用馬爾可夫鏈-蒙特卡洛（MCMC）方法計(jì)算出了邊緣后驗(yàn)分布的數(shù)值解。ForbesKalbKofman[6]提出了門限誤差修正貝葉斯模型（T-ECM），把交易成本等先驗(yàn)信息加入到分析中，利用貝葉斯后驗(yàn)分布函數(shù)同時(shí)估計(jì)出了門限參數(shù)，滯后參數(shù)和ECM模型的回歸方程各參數(shù)，并將該模型應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)期貨和標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)的實(shí)證分析中，得到了一個(gè)1.03指數(shù)單位的無套利區(qū)間。雖然貝葉斯方法能夠估計(jì)出門限參數(shù)，但并沒有給出檢驗(yàn)門限協(xié)整的方法。Hansen,Seo[4]提出了Balke,Fomby[2]的檢驗(yàn)門限協(xié)整的方法只適用于協(xié)整向量已知的情況，而不適用于協(xié)整向量未知的情況。且在大部分情況下，協(xié)整向量是估計(jì)出來的而不是事先給定的。因此Hansen,Seo[4]分析了協(xié)整向量未知的情況，僅在二元價(jià)格系統(tǒng)下建立了包含一個(gè)協(xié)整向量和一個(gè)門限效應(yīng)的門限向量誤差修正模型(T-VECM)。他們通過格點(diǎn)搜索法并結(jié)合極大似然估計(jì)（MLE）法估計(jì)出協(xié)整向量與門限參數(shù)，再通過拉格朗日乘子（LM）法檢驗(yàn)門限協(xié)整。然而Hansen,Seo[4]只給出了單門限系統(tǒng)的檢驗(yàn)方法和估計(jì)方法，并沒有將這種方法拓展到多門限的情形。Martens,Kofman,Vorst[15]用Tsay[17]的檢驗(yàn)方法和門限自回歸（TAR）模型分析了標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)期貨和現(xiàn)貨在1993年5月和11月的門限協(xié)整行為，發(fā)現(xiàn)套利交易的存在使得過大的價(jià)格偏差在短期內(nèi)回調(diào)到無套利區(qū)間。Goodwin,Piggott[10]用門限自回歸（TAR）模型分析不同市場上的大豆期貨以及玉米期貨，發(fā)現(xiàn)在不同市場上的同質(zhì)商品存在門限協(xié)整行為，并通過基于Hasen[7]方法修正的Chow檢驗(yàn)方法和Tsay[17]檢驗(yàn)方法驗(yàn)證了門限協(xié)整并估計(jì)出了門限參數(shù)。Lo,Zivot[14]將多門限自回歸模型拓展到協(xié)整向量已知的情形，并使用了Tsay[17]和Hasen[7]提出的檢驗(yàn)方法。本文擬通過選取英國富時(shí)指數(shù)期貨（UK100）和德國法蘭克福指數(shù)期貨（GER30）為研究對象分析全球股指期貨市場之間的門限協(xié)整行為。目前雖已有較多分析股指期貨市場和現(xiàn)貨市場之間的套利，以及不同市場上同種商品之間的套利的實(shí)證分析研究，但是對于這種相似商品的跨市場套利的研究確不多見。由于英國和德國在經(jīng)濟(jì)、地理等各方面都很相似，兩個(gè)國家的股票市場有很強(qiáng)的相似性，股指期貨市場的交易時(shí)間，交易量等都非常相似，因此可以將這兩種股指期貨看做一種同質(zhì)的商品，在長時(shí)期內(nèi)滿足一個(gè)固定的均衡關(guān)系（即協(xié)整關(guān)系）。如果這種協(xié)整關(guān)系確實(shí)存在，兩種商品的價(jià)格偏差在長時(shí)期內(nèi)有回到均衡值0附近的趨勢，那么就存在套利機(jī)會(huì)。在價(jià)格偏差較大時(shí)賣出被高估的股指期貨，買入被低估的股指期貨，在價(jià)格偏差回復(fù)均衡時(shí)進(jìn)行反向操作，就可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。本文期望找到一種門限協(xié)整關(guān)系，找到兩個(gè)門限值，當(dāng)價(jià)格偏差高于或低于時(shí)，價(jià)格偏差會(huì)迅速回到均衡值附近，當(dāng)價(jià)格偏差位于，價(jià)格沒有上述行為，無套利區(qū)間就是，這個(gè)區(qū)間反映了跨市場套利成本。本文的結(jié)構(gòu)安排是：在第二節(jié)中，將建立雙門限向量誤差修正模型（BT-VECM），提出Sup-Wald檢驗(yàn)以判斷期貨價(jià)格之間的門限協(xié)整行為，使用Bootstrap方法得出Wald檢驗(yàn)的漸進(jìn)分布；利用極大似然估計(jì)（MLE）方法和相應(yīng)的格點(diǎn)搜索（gridsearching）方法同時(shí)估計(jì)出門限參數(shù)和協(xié)整向量以及雙門限向量誤差修正模型的各參數(shù)；在第三節(jié)中，將應(yīng)用門限協(xié)整方法驗(yàn)證英國富時(shí)指數(shù)期貨（UK100）和德國法蘭克福指數(shù)期貨（GER30）的門限協(xié)整關(guān)系，估計(jì)模型的各個(gè)參數(shù)，檢驗(yàn)參數(shù)的顯著性，并分析門限協(xié)整對跨市場套利的意義。2門限協(xié)整相關(guān)理論研究2.1門限協(xié)整檢驗(yàn)Martens,Kofman,Vorst[15]、Goodwin,Piggott[10]、Lo,Zivot[14]檢驗(yàn)門限協(xié)整時(shí)都是用Tsay[17]的基于遞歸殘差門限自回歸模型（TAR）的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。但這種基于殘差遞歸安排自回歸的方法還是有很多不足之處。而Hansen,Seo[4]提出的基于門限向量誤差修正模型（T-VECM）的LM檢驗(yàn)也只能運(yùn)用于單門限的情況。本文將在Hansen,Seo[4]的門限向量誤差修正模型的基礎(chǔ)上，提出Sup-Wald檢驗(yàn)方法。首先估計(jì)協(xié)整向量。對，進(jìn)行OLS回歸：，這里，殘差；協(xié)整向量的估計(jì)值。根據(jù)Engle-Grandger[8]的理論，若服從I(0)過程，那么，也服從I(1)過程，則可以建立ECM模型。其次，建立雙門限向量誤差修正模型（BT-VECM）：（5）將該模型表示成矩陣形式：(6)其中，，，為協(xié)整向量，為誤差修正項(xiàng)，是二元白噪聲序列，為門限參數(shù)，系數(shù)矩陣是矩陣。兩個(gè)門限把系統(tǒng)分成三個(gè)體制。再次，檢驗(yàn)非線性協(xié)整即門限協(xié)整。作如下假設(shè)檢驗(yàn)，即零假設(shè)：，即系統(tǒng)是線性協(xié)整的；備則假設(shè)：，即系統(tǒng)是三體制門限協(xié)整的。在零假設(shè)下，模型（6）退化為線性誤差修正模型：(7)構(gòu)造Wald統(tǒng)計(jì)量：，這里T為樣本大小，為門限值是時(shí)的門限ECM模型殘差方差的OLS估計(jì)值，其中，線性ECM模型殘差方差的OLS估計(jì)值是，為此可得到sup-Wald統(tǒng)計(jì)量為，最后，使用Bootstrap方法模擬的漸進(jìn)分布，以得到的拒絕域和臨界值。零假設(shè)下的ECM模型為：(8)這里，為事先得到的誤差修正項(xiàng)，的OLS估計(jì)值為，為OLS估計(jì)下{}的分布序列，從中隨機(jī)取出一個(gè)值，代入遞歸方程（8）得：(9)方程（9）給出了序列{}的遞歸關(guān)系式，遞歸的初始值可以由原樣本得到，由此可以計(jì)算出{}的分布序列，即為{}的Bootstrap分布，用{}計(jì)算出的Sup-Wald統(tǒng)計(jì)量為。重復(fù)該過程10000次，就可以得到的Bootstrap分布{}。在此可計(jì)算出在Bootstrap下的P值：P-Value=P{}，即在樣本信息已知的條件下超過的條件概率，該概率近似等于10000個(gè)中超過的頻率。2.2門限參數(shù)及協(xié)整向量的估計(jì)Tsay[17]和Fomby[2]估計(jì)門限參數(shù)的方法是對線性協(xié)整下的殘差進(jìn)行門限自回歸（TAR），通過殘差遞歸安排自回歸結(jié)合F檢驗(yàn)，Wald檢驗(yàn)等方法檢驗(yàn)門限協(xié)整并估計(jì)門限參數(shù)。這些方法都是在假定協(xié)整向量已知的情形下進(jìn)行的，此時(shí),為線性協(xié)整下的協(xié)整向量估計(jì)值。Hansen,Seo[4]提出這種基于殘差回歸的估計(jì)方法是有偏的，由于協(xié)整是需要估計(jì)的，故用零假設(shè)模型（線性協(xié)整模型）下的協(xié)整向量估計(jì)值代替非線性模型下的估計(jì)值是缺乏根據(jù)的。因此，本文在門限誤差修正模型的基礎(chǔ)上，通過極大似然估計(jì)同時(shí)估計(jì)出協(xié)整向量和門限參數(shù)。由于門限效應(yīng)只在0<P()<1時(shí)才發(fā)生，因此可施加約束條件為：，而在實(shí)證分析中，一般令=0.05。模型（4）的似然函數(shù)為：(10）其中（11）這里，的極大似然估計(jì)值是使取得最大的值。為計(jì)算方便，先固定，再計(jì)算的極大似然估計(jì)。這時(shí)退化為OLS估計(jì)（12）（13）,（14）方程（12）和（13）可以看成對在體制和體制下樣本的OLS估計(jì)。于是可以生成似然函數(shù)為：（15）故的極大似然估計(jì)值是在約束條件下使取得最小的值。為了得到，可先建立可能的取值區(qū)間和，然后在該區(qū)間上通過格點(diǎn)搜索得到的極大似然估計(jì)值。其具體步驟如下：步驟1先用OLS估計(jì)線性模型（假設(shè)存在線性協(xié)整關(guān)系），協(xié)整向量的估計(jì)值為，假設(shè)服從漸進(jìn)正態(tài)分布，在95%的置信區(qū)間內(nèi)取的上下臨界值；誤差修正項(xiàng)為，取出的兩個(gè)適當(dāng)?shù)闹底鳛榈纳舷屡R界值。步驟2再對，內(nèi)的每一對，計(jì)算，，的值。步驟3最后找出=，使得最小。3股指期貨跨市場套利的實(shí)證分析3.1數(shù)據(jù)預(yù)處理選取英國富時(shí)100股票指數(shù)期貨（UK100）和德國法蘭克福DAX股票指數(shù)期貨（GER30）在2011年4月20日2011年5月30日期間的5分鐘交易高頻價(jià)格數(shù)據(jù)共3572個(gè)，并對價(jià)格取對數(shù)，令，。表1平穩(wěn)性檢驗(yàn)lnUKlnGER結(jié)果ADF檢驗(yàn)水平值0.30590.7560非平穩(wěn)一階差分0.00010.0001平穩(wěn)PP檢驗(yàn)水平值0.32870.7664非平穩(wěn)一階差分0.00010.0001平穩(wěn)表1給出了和的平穩(wěn)性檢驗(yàn)的P值。由ADF和PP平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果得知，lnGER和lnUK都服從一階單整的I(1)過程。表2格蘭杰因果檢驗(yàn)滯后階數(shù)零假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果50.00250.0035100.01970.0555150.02360.1824200.04010.1361表2為格蘭杰因果檢驗(yàn)，零假設(shè)分別為：lnGER不是lnUK的格蘭杰原因；lnUK不是lnGER的格蘭杰原因。格蘭杰因果檢驗(yàn)時(shí)選取不同的滯后階數(shù)，當(dāng)滯后階數(shù)為5時(shí)，lnGER和lnUK互為格蘭杰原因，當(dāng)滯后階數(shù)為10、15、20時(shí)，lnGER為lnUK的格蘭杰原因，反之則不成立，說明隨著滯后階數(shù)的增大，lnUK的滯后項(xiàng)對lnGER的影響越來越不顯著。表3協(xié)整檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量P值檢驗(yàn)結(jié)果OLS回歸殘差的ADF檢驗(yàn)-2.5537650.0103協(xié)整Johansen檢驗(yàn)極大特征值檢驗(yàn)7.0265730.4860沒有協(xié)整跡檢驗(yàn)8.2029730.4440沒有協(xié)整表3為傳統(tǒng)的協(xié)整檢驗(yàn)結(jié)果。先用EG兩步法通過對lnGER和lnUK進(jìn)行OLS回歸，對殘差進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，得出殘差序列是平穩(wěn)的，說明lnGER和lnUK有協(xié)整關(guān)系。再對殘差進(jìn)行Johansen檢驗(yàn)，得出極大特征值檢驗(yàn)和跡檢驗(yàn)都接受了沒有協(xié)整的零假設(shè)。Balke,Fomby[2]就指出在存在非線性協(xié)整情況下，EG兩步法檢驗(yàn)比Johansen檢驗(yàn)更加準(zhǔn)確，這是因?yàn)镴ohansen檢驗(yàn)是基于高斯線性向量自回歸（VAR）的，故在非線性協(xié)整下，Johansen檢驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)偏差，它只能反映系統(tǒng)總體的平均協(xié)整水平，而不能檢驗(yàn)出可能存在的非線性協(xié)整關(guān)系。3.2門限協(xié)整檢驗(yàn)本文將使用Wald檢驗(yàn)lnGER和lnUK存在門限協(xié)整關(guān)系。在協(xié)整檢驗(yàn)之前，對lnGER和lnUK進(jìn)行OLS回歸，結(jié)果如下：（16）其中，括號里為標(biāo)準(zhǔn)差?；貧w殘差序列為{},協(xié)整向量(1，-0.39431)。OLS回歸的殘差序列分布如圖1所示。圖1OLS回歸的殘差序列在（16）中通過對殘差序列{}進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)，得到{}是均值為0的平穩(wěn)過程，由如圖1所示的殘差分布可以看出，大部分都落在區(qū)間(-0.10,0.10)上，根據(jù)Andrew[1]的建議，若門限值取得過大，將會(huì)使樣本過小，導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果發(fā)生偏差，故應(yīng)去掉接近區(qū)間(-0.10,0.10)邊界15%的樣本點(diǎn)。由于UK100指數(shù)期貨和GER30指數(shù)期貨存在交易成本，以一個(gè)月的價(jià)格均值計(jì)算，ger30平均價(jià)格為7400點(diǎn)，每點(diǎn)價(jià)值1.2美元，uk100平均價(jià)格為5850點(diǎn)，每點(diǎn)價(jià)值1.6美元，兩種合約的買賣價(jià)差均為3個(gè)點(diǎn)，將套利的交易成本換算為對數(shù)價(jià)格，大約為0.001，因此可將門限的可能取值區(qū)間定義為將（0.001,0.0085）分為75個(gè)區(qū)間，令。先估計(jì)零假設(shè)下的線性誤差修正模型：（17）再對每一對門限值，估計(jì)門限誤差修正模型：（18）（19）在線性模型下，根據(jù)AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則以及反復(fù)的試驗(yàn)，確定最佳滯后階數(shù)為2階。線殘差方差的估計(jì)值。對每一對，估計(jì)門限模型下的殘差方差，并計(jì)算。最后令。本文選取一些有代表性的門限參數(shù)，將結(jié)果列表如下：表4不同門限參數(shù)對應(yīng)的Wald統(tǒng)計(jì)量門限參數(shù)0.0060.0050.0040.00350.0030.002/2.138862.138862.138862.138862.138862.13886/2.922732810752.511202.396422.536392.45801-958.003-853.861-529.506-383.907-559.842-463.791-383.907表4給出不同門限參數(shù)對應(yīng)的Wald統(tǒng)計(jì)量的結(jié)果，由—分布可以看出，隨著門限值不斷增大，先緩慢減小，到達(dá)=0.0035附近時(shí)顯著增大，然后又繼續(xù)減小，當(dāng)=0.0035時(shí)，門限模型的殘差方差估計(jì)值取得最小值2.39642，取最大值-383.907，即==-383.907。本文通過bootstrap實(shí)驗(yàn)進(jìn)行10000次復(fù)制模擬，得到10000個(gè)零假設(shè)下的bootstrap樣本，對每個(gè)樣本計(jì)算線性模型的殘差方差估計(jì)值，得到的bootstrap分布{}。將{}按照從大到小的順序排序，計(jì)算1%、5%、10%分位數(shù)下的值，這即為統(tǒng)計(jì)量分別在1%，5%，10%顯著水平下的拒絕域臨界值。表5Sup-Wald檢驗(yàn)結(jié)果顯著性水平拒絕域臨界值統(tǒng)計(jì)量P-value檢驗(yàn)結(jié)果1%-284.386-383.9070.042385%顯著水平下拒絕原假設(shè)，存在門限協(xié)整5%-395.20910%-450.493表5給出Sup-Wald檢驗(yàn)結(jié)果，由計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量的P值為0.04238，在5%顯著水平下拒絕原假設(shè)。因此綜合以上分析，本文認(rèn)為存在門限協(xié)整。3.3門限參數(shù)及協(xié)整向量估計(jì)在用極大似然方法估計(jì)門限參數(shù)和協(xié)整向量之前，本文先給出和的可能取值區(qū)間。的取值區(qū)間為，在本文上一步的OLS估計(jì)中已經(jīng)計(jì)算出零假設(shè)下的的估計(jì)值為0.3943和標(biāo)準(zhǔn)差為0.0047，為常數(shù)項(xiàng)，令=0，這并不影響我們的估計(jì)結(jié)果（可以并入ECM模型的常數(shù)項(xiàng)中）。假設(shè)，95%置信區(qū)間下的臨界值分別為0.3851和0.4035。的取值區(qū)間為。再在區(qū)間和上通過格點(diǎn)搜索并結(jié)合極大似然估計(jì)，找出和的估計(jì)值分別為。最后為了檢驗(yàn)估計(jì)參數(shù)的顯著性，本文再次進(jìn)行Wald檢驗(yàn)。在新的協(xié)整向量下，誤差修正項(xiàng)變?yōu)?，門限參數(shù)為。將和代入雙門限ECM模型中重新估計(jì)，經(jīng)計(jì)算得到=-353.609。使用Bootstrap方法模擬的漸進(jìn)分布，得到的P值為0.03274，因此拒絕原假設(shè)，門限參數(shù)的估計(jì)值是顯著的。值得注意的是，此時(shí)并不一定是使得Wald統(tǒng)計(jì)量取最大的值，從前在進(jìn)行門限協(xié)整檢驗(yàn)時(shí)取Wald的最大值即Sup-Wald統(tǒng)計(jì)量是因?yàn)槲粗藭r(shí)值已經(jīng)估計(jì)出來了，故并不需要計(jì)算Sup-Wald統(tǒng)計(jì)量。因此從始至終，本文都是用Wald檢驗(yàn)來檢驗(yàn)門限協(xié)整和門限參數(shù)的顯著性，但并不用它來估計(jì)門限參數(shù)。3.4門限VECM模型與套利策略通過計(jì)算可得到門限參數(shù)和協(xié)整向量的估計(jì)值，本人探討的門限向量誤差修正模型系數(shù)的估計(jì)結(jié)果如表6所示，為此本文可建立門限VECM模型，并討論股指期貨的跨市場套利策略。表6門限向量誤差修正模型系數(shù)估計(jì)結(jié)果0.146407(0.0002)0.985239(0.0000)-0.164355(0.0000)1.271410(0.0000)0.099092(0.0109)0.156530(0.0989)-0.017715(0.4773)0.238816(0.0000)-0.124939(0.0051)-0.136770(0.0000)0.115796(0.0000)-0.185089(0.0000)-0.130170(0.0033)-0.075312(0.1138)-0.005129(0.7594)-0.014218(0.5696)a-0.030100(0.0017)0.017638(0.0195)-0.005846(0.0768)0.001712(0.3702)表6中括號內(nèi)為相應(yīng)的t統(tǒng)計(jì)量的P值。在體制下，誤差修正項(xiàng)的系數(shù)是顯著的；在體制下，誤差修正項(xiàng)的系數(shù)不顯著。這表明在門限內(nèi)部的體制下，協(xié)整關(guān)系不明顯，市場不存在套利機(jī)會(huì)。而在門限外部的體制下，價(jià)格短期內(nèi)有回到均衡的明顯趨勢，這是由于價(jià)格偏差過大時(shí)，市場套利交易頻繁，價(jià)格會(huì)在短時(shí)間內(nèi)回復(fù)到均衡。在同一體制下，當(dāng)作為被解釋變量時(shí)，滯后二期的系數(shù)不顯著，而作為被解釋變量時(shí)，滯后二期的系數(shù)顯著。本文傾向于認(rèn)為在股指期貨市場上，德國法蘭克福指數(shù)期貨（GER30）有引導(dǎo)英國富時(shí)指數(shù)期貨(UK100)的趨勢，對于新到來的市場信息，德國市場的投資者比英國市場的投資者更加迅速地把信息反映到市場價(jià)格中。因此可制定一種套利策略如下：根據(jù)GER30和UK100的長期均衡關(guān)系，用GER30的對數(shù)價(jià)格表示出UK100的對數(shù)價(jià)格的期望值，當(dāng)UK100的對數(shù)價(jià)格偏離該期望值大過=0.0035時(shí)（假設(shè)該偏離為正），買空被低估的GER30，賣空被高估的UK100，當(dāng)價(jià)格重新回歸均衡時(shí)，就可以得到無風(fēng)險(xiǎn)收益。將=0.0035轉(zhuǎn)換為UK100的實(shí)際價(jià)格，無套利區(qū)間大約為（-0.002%,0.002%），若以UK100價(jià)格等于5800為例，大約為12個(gè)指數(shù)單位，即無套利區(qū)間為（5788,5812），則當(dāng)價(jià)格超過該區(qū)間時(shí)，就意味著套利機(jī)會(huì)存在。4結(jié)論本文在Balke,Fomby[2]和Hasen[4]提出的門限協(xié)整概念的基礎(chǔ)上建立了雙基于門限向量誤差修正模型（BT-VECM）；提出了判斷門限協(xié)整行為的Sup-Wald檢驗(yàn)；使用Bootstrap方法模擬了Wald檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布；并用Hasen[4]提出的極大似然估計(jì)方法（MLE）和相應(yīng)的格點(diǎn)搜索法同時(shí)估計(jì)出了門限參數(shù)、協(xié)整向量和雙門限向量誤差修正模型的各參數(shù)。本文用門限協(xié)整理論驗(yàn)證了英國富時(shí)指數(shù)期貨（UK100）和德國法蘭克福指數(shù)期貨（GER30）的門限協(xié)整關(guān)系；估計(jì)了模型的各個(gè)參數(shù)，檢驗(yàn)了參數(shù)的顯著性；并給出了在這種門限協(xié)整關(guān)系下進(jìn)行跨市場無風(fēng)險(xiǎn)套利的策略。本文的創(chuàng)新之處在于：本文基于門限向量誤差修正模型（T-VECM）的Sup-Wald檢驗(yàn)克服了傳統(tǒng)的基于TAR模型檢驗(yàn)的缺點(diǎn)；由于利用極大似然估計(jì)方法（MLE）可以同時(shí)估計(jì)出門限參數(shù)和協(xié)整向量，從而本文可避免傳統(tǒng)方法中用零假設(shè)下的協(xié)整向量代替門限模型下的協(xié)整向量估計(jì)值的武斷做法；本文跳出了傳統(tǒng)的期現(xiàn)套利的思維，而提出了股指期貨跨市場套利的思想，股指期貨跨市場套利的優(yōu)點(diǎn)在于，再不用像期現(xiàn)套利那樣需要構(gòu)造現(xiàn)貨的資產(chǎn)組合，其套利交易簡單可行。本文尚有待進(jìn)一步論證之處是：雖然Balke,Fomby[2]驗(yàn)證了Sup-Wald檢驗(yàn)在TAR模型中的檢驗(yàn)效果較好，但是對于本文研究的情況，該Sup-Wald檢驗(yàn)應(yīng)用于T-VECM模型的效果的優(yōu)劣還有待驗(yàn)證，也沒有在理論上給出Wald統(tǒng)計(jì)量的分布，而且本文只是將Bootstrap方法當(dāng)成一種模擬的辦法使用，僅得到一種近似的推斷；其次本文假設(shè)的殘差是二元高斯過程，不存在條件異方差性，故對于回歸殘差存在ARCH效應(yīng)的情形，模型可能需要進(jìn)一步更改；再者本文假設(shè)的門限變量是關(guān)于均值0對稱的，中間體制以外的兩個(gè)體制下的分布是相同的，如果放棄該假設(shè)，那么對于門限參數(shù)和模型參數(shù)出現(xiàn)非對稱的情況，該模型可能不再適用；最后本文給出的套利策略只是一種初步的設(shè)想，具體的實(shí)施涉及到交易成本，頭寸大小等各方面的限制，套利的效果還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。參考文獻(xiàn)[1]Andrew,D.W.K.andPloberger,W.1994.Optimaltestswhenanuisanceparameterispresentonlyunderthealternative.Econometrica,62:1383-1414[2]Balke,N.S.,andFomby,T.B.(1997),ThresholdCointegration,InternationalEconomicReview,38,627-645.[3]Brenner,R.J.,andKroner,K.F.(1995),Arbitrage,Cointegration,andTestingtheUnbiasednessHypothesisinFinancialMarkets,JournalofFinancialandQuantitativeAnalysis,30,23-42.[4]BruceE.Hansen,ByeongseonSeo,Testingfortwo-regimethresholdcointegrationinvectorerror-correctionmodels,JournalofEconometrics110(2002)293–318[5]Chen,C.W.S.,andLee,J.C.(1995).BayesianInferenceofThresholdAutoregressiveModels[J].JournalofTimeSeriesAnalysis,16,483-492.[6]CatherineS.Forbes,GuyonneR.J.Kalb,PaulKofman(1999),BayesianArbitrageThresholdAnalysis,JournalofBusiness&EconomicStatistics,Vol.17,No.3,pp.364-372[7]Davies,R.B.(1987),Hypothesistestingwhenanuisanceparameterispresentonlyunderthealternative,Biometrika74,33–43.[8]Engle,R.F.andC.Granger(1987),Cointegrationanderrorcorrectionrepresentation,estimation,andtesting,Econometrica,55,251-276.[9]Geweke,J.,andTerui,N.(1993).BayesianThresholdAutoregressiveModelsforNonlinearTimeSeries[J].Journal