2021版新高考數(shù)學(xué)一輪核心素養(yǎng)測(cè)評(píng) 三十七 數(shù)列建模問(wèn)題 含解析

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核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)三十七

數(shù)列建模問(wèn)題

（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.70周年國(guó)慶閱兵活動(dòng)向全世界展示了我軍成武文明之師的前

好形象，展示了科技強(qiáng)軍的偉大成就以及維護(hù)世界和平的緊走

決心，在閱兵活動(dòng)的訓(xùn)練工作中，不僅使用了北斗導(dǎo)航、電子沙

盤(pán)、仿真系統(tǒng)、激光測(cè)距機(jī)、運(yùn)速表和高清攝像頭等新技術(shù)裝

備，還通過(guò)管理中心對(duì)每天產(chǎn)生的大數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲(chǔ)、分析，有

效保證了閱兵活動(dòng)的順利進(jìn)行，假如訓(xùn)練過(guò)程中第一天產(chǎn)生的

數(shù)據(jù)量為a,其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是南一天的q（q>l）僖，那

么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為（）

A.叫n—iBoaqn

Ca(l-qn-1)

°i-ql-q

【解析】選D.訓(xùn)練過(guò)程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a,其后每天

產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的qCq>1）僖，那么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總

數(shù)據(jù)量為：

n

S=a+aq+aq2+---+aqn-la(l-q)

n1-q

2o古代教學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，目

自僖,五目織五尺，問(wèn)國(guó)織幾何？”意思是：“一女子善于織布，

每天織的布都是前一天的2宿，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這

女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的

總尺數(shù)不少于30,該女子所需的天數(shù)至少為()

A.10B.9C.8D.7

【解析】選C.設(shè)該女子第一天織布x尺，

則當(dāng)了二5用得x=9

所以前n天織布的尺數(shù)為32k1),

由(C2n-1；>30,得2>187,解得n的最小值為8。

3o我國(guó)古代教學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長(zhǎng)方形面積求一邊

的算法，其方法的前兩步為：

第一步：構(gòu)造教列1,：2,三,…,L.①

23471

第二步：將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以;，得到一個(gè)新數(shù)列ai,a2,@3,…,an。

貝"aia2+a2a3+a3a4+-?+an-ian=()

Ao日B.Z

44

Cn(n-l)D"(n+1)

【解析】選Co由題意知所彳導(dǎo)新列為1X—,-X-,-X—,???X—,

22232n2

=

所以a1a2+a2a3+a3a4+???+an_ian-t+^—+-^—H---F--\—]

41x22x33x4(n-1)xn

二嗎（1二）+1」）+1'）+…+（上3）］工（1」）二3。

4V2/\23/\34/n-1n4Vn/4

4o（多選）植樹(shù)節(jié)禁班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人

植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米.開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在第一

樹(shù)坑金邊.現(xiàn)將樹(shù)坑從1到20依次編號(hào)，為使各核同學(xué)從各自樹(shù)

坑前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗所走的路程總和最小，樹(shù)苗可以放置的兩個(gè)最佳

坑住的編號(hào)為（）

A.9Bo10Co11Do12

【斛析】選BC.設(shè)在x個(gè)坑處最佳，則x€N+且l<x<20,則所有

同學(xué)路程為:

y=l+2+---+（x-l）+l+2+---+（20-x）

（%1）x^_（20-x）（2l-x）

22

=X2-21X+210,

又因?yàn)閤€N+,所以當(dāng)x=10或x=ll時(shí)y最小.

二、填空題（每小題5分，共20分）

5.如圖所示,正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形

腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹(shù)形圖形，稱為“勾

股樹(shù)”。若禁勾股樹(shù)含有1023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊

長(zhǎng)為它，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______.

2

【斛折】由題意，得正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以;為首項(xiàng)，以Y為公比的

等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1023個(gè)正方形，則有1+2+…+2N=1

——9

023,所以n=10,所以最小正方形的邊長(zhǎng)為二點(diǎn)。

答案《

32

6.一種專門(mén)占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病素開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1MB,然后

每3抄自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2僖那會(huì)開(kāi)機(jī)

抄，該病素占據(jù)內(nèi)存8GB。(1GB=210MB)

【解析】由題意可知,病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等

nn1013

比數(shù)列廠an],且ai=2,q=2,所以an=2,51J2=8x2=2,所以n=13.

即病奉共復(fù)制了13次，所以所需時(shí)間為13x3=39(秒).

答案：39

7.從盛滿2升純酒精的冬器里倒出1升純酒精，然后填滿水，再

倒出1升混合漆液后又用水埴滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒

次后才能使純酒精體積與總添液的體積之比低于

10%o

【斛折】設(shè)倒n次后純酒精與總漆液的體積比為an,

則an=G),由題意知?！?0%,所以n>4。

答案：4

8o定義“規(guī)范01數(shù)列”{a"如下:⑶}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為

0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k<2m,ai,a2,…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的

個(gè)數(shù)。若m=4,則不同的“規(guī)范01教列”的個(gè)數(shù)為.

世紀(jì)金榜導(dǎo)歪事

【解析】由題意可得ai=0,@8=1,a2,a3,…,@7中有3個(gè)0,3個(gè)1,

且滿足對(duì)任意

k<8,都有ai,a2,…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，利用列率

法可得不同的“規(guī)范01教列”有00001111,00010111,00011

011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00

110101,0100011L01001011,01001101,01010011,01010

10L共14個(gè).

答案：14

三、解答題（每小題10分，共20分）

9。菜企業(yè)的資金每~年都比上一年分紅后的資金增加一僖，并且

每年年底固定給股東們分紅500萬(wàn)元。該企業(yè)2018年年底分紅

后的資金為1000萬(wàn)元.|世紀(jì)金榜導(dǎo)率百

門(mén)）求該企業(yè)2022年年底分紅后的資金.

（2）求該企業(yè)從哪一年開(kāi)始年底分紅后的咨金超過(guò)32500萬(wàn)元.

【斛折】設(shè)an為（2018+n）年年底分紅后的咨金，

其中nCN*,則ai=2Xl000-500=1500,

a2=2X1500-500=2500,???,an=2an_i-500Cn>2）。所以an-500=2（an

_i—500J（n>2）,

即數(shù)列｛an—500J是首項(xiàng)為ai—500=1000,公比為2的等比數(shù)

列.所以an-500=l000X2-1,

nl

所以an=l000X2+500.

4-1

(l)a4=l000X2+500=8500,所以該企業(yè)2022年年底分紅后

的資金為8500萬(wàn)元。

(2J由an〉32500,2n-1>32Jfn>6,所以該企業(yè)從2025年開(kāi)

始年底分紅后的資金超過(guò)32500萬(wàn)元.

10o科學(xué)研究證實(shí)，二氧化碳等溫室氣體的排放(簡(jiǎn)稱碳排放)

對(duì)全球氣候和生志環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響，環(huán)境部門(mén)對(duì)A市每年的

碳排放總量規(guī)定不能超過(guò)550萬(wàn)噸，否則將采取緊急F艮挑措施.

已知A市2018年的碳排放總量為400萬(wàn)噸，通過(guò)技術(shù)女選和倡

導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量

減少10%.同時(shí)，因經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加碳

排放量m萬(wàn)噸(m〉0)o世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

(1)求A市2020年的碳挑放總量(用含m的式子表示)。

(2)若A市永運(yùn)不需要采取緊急限挑措施，求m的取值范囹。

【解析】設(shè)2019年的碳排放總量為ai,20