第08講直線與橢圓雙曲線拋物線精講

第08講直線與橢圓、雙曲線、拋物線目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 1第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 9高頻考點(diǎn)一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系 9高頻考點(diǎn)二：根據(jù)直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系求參數(shù) 13高頻考點(diǎn)三：相切問(wèn)題 16高頻考點(diǎn)四：由中點(diǎn)弦確定直線方程 20高頻考點(diǎn)五：由中點(diǎn)弦確定曲線方程（離心率） 25高頻考點(diǎn)六：弦長(zhǎng)問(wèn)題 30高頻考點(diǎn)七：三角形面積（周長(zhǎng)）問(wèn)題 37高頻考點(diǎn)八：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問(wèn)題 47第四部分：數(shù)學(xué)文化題 52第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背知識(shí)點(diǎn)一：直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；③直線和橢圓相離直線和橢圓無(wú)公共點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)二：直線與雙曲線的位置關(guān)系代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時(shí)，，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn)）；，，或k不存在時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；（2）時(shí)，存在時(shí)，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若，時(shí)，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時(shí)，，直線與雙曲線相離，沒(méi)有交點(diǎn)；時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；相切不存在，時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；知識(shí)點(diǎn)三：直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當(dāng)時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線與拋物線相離,沒(méi)有公共點(diǎn).(2)若,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.知識(shí)點(diǎn)四：直線與圓錐曲線的相交的弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點(diǎn)，則：弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：；第二部分：高考真題回歸1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.2．（2023·全國(guó)（甲卷文理）·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)?，解得：．?）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．3．（2023·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱性不妨設(shè)，，則.，易知?jiǎng)t令,令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，

依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問(wèn)題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.設(shè),根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由于,從而,從而又,故,由此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.

.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若直線被圓所截的弦長(zhǎng)不小于2，則與下列曲線一定有公共點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑為.設(shè)直線方程為，直線到圓心的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以.由點(diǎn)到直線的距離公式得，，即.對(duì)于選項(xiàng)A，直線到該圓圓心的距離為，取，滿足條件，而，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，故A排除；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線有，，，聯(lián)立橢圓方程得，所以必有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，所以必有公共點(diǎn)；故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立直線與拋物線方程得，若時(shí)，則，有解；若時(shí)，，取，則，方程無(wú)解，此時(shí)無(wú)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線有，，，聯(lián)立雙曲線方程得，取，則直線：，與雙曲線不存在公共點(diǎn)，故D排除.故選：B.例題2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定【答案】C【詳解】聯(lián)立，消去，整理得到，該方程判別式，于是此方程無(wú)解，即直線和橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，故直線和橢圓相離.故選：C例題3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P（4，4）且與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有（

）．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【詳解】解；雙曲線方程為：，當(dāng)k不存在時(shí)，直線為x＝4，與1的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)k存在時(shí)，直線為：y＝k（x﹣4）+4，代入雙曲線的方程可得：，（1）若＝0，k時(shí)，y＝（x﹣4）+4與雙曲線的漸近線yx平行，所以與雙曲線只有1個(gè)公共點(diǎn)，（2）k時(shí)，，即k，此時(shí)直線y（x﹣4）+4與雙曲線相切，只有1個(gè)公共點(diǎn)．綜上過(guò)點(diǎn)P（4，4）且與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線4條．故選：D.例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線，使它與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，代入拋物線方程可，故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)．不滿足要求，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，消得，，當(dāng)時(shí)，解得，直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，可得，即當(dāng)時(shí)，符合題意．綜上，滿足條件的直線有2條．故選：B.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┲本€與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線，即，雙曲線右半部分；一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；當(dāng)時(shí)，曲線，即，橢圓的左半部分；畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：

根據(jù)圖像知有個(gè)公共點(diǎn).故選：B2．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)和雙曲線，過(guò)點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．無(wú)數(shù)條【答案】A【詳解】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn).①若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，合乎題意；②若直線的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).若直線的斜率為，則直線的方程為，此時(shí)直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.綜上所述，過(guò)點(diǎn)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有條.故選：A.3．（2023春·上海虹口·高二上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)校考期中）已知拋物線方程，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【詳解】點(diǎn)在拋物線上，易知當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不滿足；當(dāng)直線斜率時(shí)，易知滿足條件；當(dāng)直線斜率存在且時(shí)，設(shè)直線方程為，即，，整理得到，，，解得，直線方程為.綜上所述：滿足條件的直線有2條.故選：C4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為F，A為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【答案】B【詳解】設(shè)，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以中垂線的斜率為，所以直線的中垂線方程為，代入，可得∴，∵線段FA的中垂線與拋物線相切.故選：B高頻考點(diǎn)二：根據(jù)直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系求參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知實(shí)數(shù)，滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【詳解】令，則直線與有交點(diǎn)情況下，直線在x軸上截距最大，假設(shè)直線與橢圓相切，則，即，所以，可得，即，要使在x軸上截距最大，即.故選：B.例題2．（多選）（2023春·江蘇南通·高二期末）雙曲線的離心率為，若過(guò)點(diǎn)能作該雙曲線的兩條切線，則可能取值為（

）．A． B． C． D．2【答案】AC【詳解】斜率不存在時(shí)不合題意，所以直線切線斜率一定存在，設(shè)切線方程是，由得，顯然時(shí)，所得直線只有一條，不滿足題意，所以，由得，整理為，由題意此方程有兩不等實(shí)根，所以，，則為雙曲線的半焦距，，即，代入方程，得，此時(shí)，綜上，e的范圍是故選：AC

例題3．（2023春·湖北武漢·高二武漢市吳家山中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【詳解】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立：得：,當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線與漸近線平行，有一個(gè)公共點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，<0，即或，無(wú)公共點(diǎn).綜上所述：或.故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習(xí)）若方程有解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，，兩邊同平方得，化簡(jiǎn)得（），則其所表示的圖形為橢圓在x軸及上方部分，則題目轉(zhuǎn)化為直線與上述圖形有交點(diǎn)，設(shè)橢圓的右端點(diǎn)為，易得其坐標(biāo)為，當(dāng)直線與半橢圓相切時(shí)，顯然由圖得，聯(lián)立，得，則化簡(jiǎn)得，解得或（舍），當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，得，解得，則，故選：B.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，，由題意知，解得，故選：C．3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若直線AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，則．【答案】【詳解】由題意知，雙曲線C的漸近線方程為或，因?yàn)橹本€AF與C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線AF與C的漸近線平行，即或，解得．故答案為：高頻考點(diǎn)三：相切問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，離心率為，過(guò)的直線分別與相切于，兩點(diǎn)，則直線方程為（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【詳解】首先證明橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為：，①當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡(jiǎn)得.②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過(guò)的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點(diǎn)的切線方程為：.再證明若點(diǎn)是橢圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則切點(diǎn)弦的方程為．這是因?yàn)樵?，兩點(diǎn)處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過(guò)點(diǎn)，所以得到了和，由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；因?yàn)闄E圓，離心率為，若焦點(diǎn)在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過(guò)作橢圓的兩條切線方程，切點(diǎn)弦方程為；若焦點(diǎn)在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過(guò)作橢圓的兩條切線方程，切點(diǎn)弦方程為，即；綜上可得直線方程為或.故選：A例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，橢圓方程為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線的方程為：，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為.【答案】【詳解】令與橢圓相切，消去x整理得：，所以，可得，顯然與橢圓無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)，切線為，與距離為；當(dāng)，切線為，與距離為；所以點(diǎn)P到直線的距離d的最小值為.故答案為：例題3．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是.（寫出符合條件的一個(gè)方程即可）【答案】【詳解】解：由題可知，直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，單位圓的方程為：所以則，整理得：所以則，整理得：所以，解得則則直線的方程為：.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，那么的取值范圍是A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【詳解】由直線與曲線相切得由圖知,的取值范圍是（），選D.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是．【答案】【詳解】∵橢圓，∴y>0時(shí)，，∴，∴x＝1時(shí)，，即切線斜率，∴橢圓上點(diǎn)P(1,1)處的切線方程是，即．故答案為：．3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值為．【答案】/【詳解】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當(dāng)，此時(shí)與的距離，當(dāng)，此時(shí)與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．【答案】/【詳解】根據(jù)結(jié)論6，由題意得橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結(jié)論5得知，該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．故答案為：.高頻考點(diǎn)四：由中點(diǎn)弦確定直線方程典型例題例題1．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀E圓內(nèi)有一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)，，，，斜率為．則，，兩式相減得，又，，，代入解得．故選：D．例題2．（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為.【答案】【詳解】設(shè)，則兩式相減得，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，.故答案為：例題3．（2023秋·四川樂(lè)山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由定義知，解得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，顯然點(diǎn)在拋物線C內(nèi)，且是線段的中點(diǎn)，所以,因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，所以，由，得，所以，故所求直線的方程為，即.例題4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，圓：，雙曲線：．(1)直線與圓有公共點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，若存在，求出方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知得，圓：，∴圓心，半徑，∵與圓有交點(diǎn)，則圓心到的距離，整理可得，，解得，．（2）設(shè)存在直線，由題意可知，直線斜率不存在時(shí)不成立.設(shè)、，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，．又，在雙曲線上，所以，兩式相減得，整理可得，，又，∴，∴，∴方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，該直線與雙曲線交于兩點(diǎn).但不在上，∴不存在這樣的直線．練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）若橢圓的弦AB被點(diǎn)AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則滿足，兩式作差得，即，又被點(diǎn)平分，故，且直線的斜率存在，所以，整理得，即，則所在直線方程為，化簡(jiǎn)得.故選：A.2．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中）已知拋物線，直線交該拋物線于兩點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，，故，由于線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故由拋物線對(duì)稱性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直線的斜率為.故選：C3．（2023春·福建廈門·高二福建省廈門第二中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作拋物線的弦AB，恰被點(diǎn)Q平分，則弦AB所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)，，由題意可知，則，兩式相減，得，因?yàn)槭窍褹B的中點(diǎn)，所以，，所以，即，直線AB的斜率為2，所以弦AB所在直線的方程為，即，故選：C.4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的一條弦的中點(diǎn)為，則此弦所在的直線方程為.【答案】【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可得此弦所在的直線斜率存在，設(shè)弦的兩端分別為，，則有，兩式相減得，所以，又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，故直線斜率，則所求直線方程為，整理得，由得，，故該直線滿足題意，故答案為：5．（2023秋·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由橢圓的定義知，，∴，又∵橢圓的離心率，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）∵為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，∴直線與橢圓必交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，不合題意，故，∵為線段的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，均在橢圓上，∴，兩式相減，得，即，∴，∴，即，∴直線的方程為，即．高頻考點(diǎn)五：由中點(diǎn)弦確定曲線方程（離心率）典型例題例題1．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則從而，故．由題意可得，則，從而，故橢圓C的離心率．故選：A.例題2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，（不重合），的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)橹本€，所以，由題可知的垂直平分線的方程為，將與聯(lián)立可得，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)，，則，且，，兩式作差可得，即，所以，則雙曲線的離心率為．故選：D例題3．（2023春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于，兩點(diǎn)，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是.【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)、，由題意可得，，，直線的斜率為，則，兩式相減得，所以，由于雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則，，，因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·江西宜春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱，，又中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；設(shè)，，則，兩式作差得：，即，；又，，，解得：，橢圓的離心率.故選：A.2．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線C：存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的拋物線方程為.【答案】（答案不唯一）【詳解】拋物線存在以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則該點(diǎn)在拋物線開(kāi)口內(nèi)，即當(dāng)時(shí)，.可取，則滿足條件的拋物線方程為.故答案為：（答案不唯一）3．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┤魴E圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個(gè)橢圓的方程為．【答案】【詳解】法一：（直接法）橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓方程為，由，消去，得，設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為，，則由題意知，解得．所求橢圓方程為．法二：（點(diǎn)差法）橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的方程為．設(shè)直線與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為，，則得，即，又弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，故橫坐標(biāo)為-2，，代入上式得，解得，故所求的橢圓方程為．故答案為：4．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為-3，則雙曲線的離心率為.【答案】/【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率為.設(shè)，則.由，得到.，所以，所以，則.故答案為：高頻考點(diǎn)六：弦長(zhǎng)問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·江西新余·高二統(tǒng)考期末）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓的方?為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且短軸長(zhǎng)為2，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知得直線的方程為，設(shè)，將直線代入，得，易得，所以，，所以.

例題2．（2023春·浙江杭州·高二?？茧A段練習(xí)）橢圓的方程為，短軸長(zhǎng)為2，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與圓相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意得：，，結(jié)合，解得：，故橢圓方程為；（2）直線l：與圓相切，故，即，聯(lián)立與得：，設(shè)，，，則，將代入上式得：解得：，因?yàn)?，所以，故，則，所以直線l的方程為或.例題3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長(zhǎng)為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且恰好為線段的中點(diǎn)，求直線的方程及弦的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）；.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且恰好為線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，則由雙曲線對(duì)稱性可知線段的中點(diǎn)在軸上，所以不滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，，則，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以化簡(jiǎn)可得恒成立，因?yàn)榍『脼榫€段的中點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)可得，所以直線方程為，即.此時(shí)，∴．例題4．（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上第一象限的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2．(1)求拋物線的方程和點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、，若的角平分線與軸垂直，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)拋物線方程為：，點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）(2)4【詳解】（1）由可得：p＝2，故拋物線方程為：，當(dāng)y＝1時(shí)，，又因?yàn)閤＞0，所以x＝2，所以點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；（2）由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，由，得，所以，，，因?yàn)榈慕瞧椒志€與y軸垂直，所以，所以，即，即，所以，，，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·山東青島·高二青島二中校考開(kāi)學(xué)考試）若橢圓：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)直線過(guò)點(diǎn)，且被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，雙曲線，即的焦點(diǎn)，依題意，，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在x軸上，又橢圓的短軸長(zhǎng)，則直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)直線被橢圓截得的線段端點(diǎn)為，則有，于是，即有，解得，所以直線的方程為.2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，且其漸近線為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為的弦，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)54【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，由題意得，解得，所以雙曲線方程為；（2）依題意得直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，則，所以，因?yàn)?，所以，所以A，B兩點(diǎn)都在雙曲線左支上，又，由雙曲線定義，，從而，的周長(zhǎng)為.3．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考二模）已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)和，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）

直線方程為，將其代入拋物線可得，由已知得，解得，故拋物線的方程為．（2）

因?yàn)?，若直線分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則直線中有一條與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以直線的斜率均存在且不為0．設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．聯(lián)立，得，則，設(shè)，則，設(shè)，則，則，所以，同理可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為6．4．（2023秋·山東德州·高二德州市第一中學(xué)校考期末）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若直線過(guò)的焦點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意可知：，解得：.（2）由（1）知拋物線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知直線斜率不為0，設(shè)直線為：，聯(lián)立直線與拋物線：，消得：，則則所以，解得，所以直線為：或高頻考點(diǎn)七：三角形面積（周長(zhǎng)）問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：由題意，可得，且，所以，則，所以橢圓的方程為.（2）解：由直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立方程組，整理可得，由判別式，解得，設(shè)，則，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以所求直線的方程為或．

例題2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在軸上滑動(dòng)，、兩點(diǎn)間距離為．點(diǎn)P滿足，且點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上的不同兩點(diǎn)，直線斜率存在且與曲線相切，若點(diǎn)為，那么的周長(zhǎng)是否有最大值．若有，求出這個(gè)最大值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)有，最大值為【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,．由題意，得則，，又因?yàn)椤牲c(diǎn)間距離為，則整理得點(diǎn)的軌跡為橢圓，其方程：．（2）因?yàn)橹本€的斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線：，因?yàn)?，是橢圓上的不同兩點(diǎn)，所以由直線與曲線相切可得，得，聯(lián)立可得，所以，，所以，∵，同理所以的周長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)，（法一）由設(shè)，則，，當(dāng)，即時(shí)，最大值為．此時(shí)，，所以，即或，此時(shí)直線：或，所以的周長(zhǎng)最大值為．（法二）當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則或，此時(shí)直線：或，所以的周長(zhǎng)最大值為．例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，且面積是面積的倍，求直線的方程【答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)雙曲線C：，由已知可知，雙曲線的漸近線方程為.因?yàn)镃的一條漸近線方程為，所以，即．又，所以，所以，故雙曲線C的方程為．（2）設(shè)，，，則，.因?yàn)椋?，?聯(lián)立可得，所以.則，所以．設(shè)點(diǎn)，則，解得，所以．當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，即．例題4．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓，過(guò)C上一點(diǎn)作的切線，該切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若與相切的直線，與相交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，則．設(shè)該切線的斜率為k，則．由題可知，，因?yàn)樵撉芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，故C的方程為．（2）設(shè)l與C相切于點(diǎn)，則l的方程為，即．由（1）可知，E的方程為．則圓心到l的距離．因?yàn)閘與E相交，所以，整理得．．點(diǎn)到l的距離，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為．練透核心考點(diǎn)1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，連接并交橢圓于另一點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）聯(lián)立得，由題意得，所以.因?yàn)闄E圓的離心率，所以.因?yàn)?，所以，故橢圓的方程為.（2）由題意知，直線不垂直于軸.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理得，所以，所以因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，且是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以.由，解得或（舍去），所以，故直線的方程為，即或.2．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)的直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（不與A，B重合），直線，分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)．(1)記直線，的斜率分別為，，求；(2)記，的面積分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或或【詳解】（1）由題意知，，，設(shè)直線的方程為，,,，聯(lián)立，得，，，，，直線的斜率，直線的斜率，，為定值．（2）設(shè),則，,由于,得，設(shè)直線，可得，設(shè)直線，可得，所以，所以由得，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)直線方程為當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)直線方程為故直線方程為或或3．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，且，求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，，化簡(jiǎn)得：，故曲線的方程為.（2）如圖：

因?yàn)辄c(diǎn)，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，所以當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不適合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，，，所以，由，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得：或（舍去），?dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，且滿足，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故最小值為.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，直線交拋物線于兩點(diǎn)，，，且.(1)求坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍；(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的直線交橢圓：于，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立，消去，整理得，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即，所以原點(diǎn)到直線的距離為，又，所以，所以，即，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.（2）由（1）可知.由題意及（1）可知直線的方程為.設(shè)，聯(lián)立，消去，整理得，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得，所以，所以四邊形，設(shè)則四邊形，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以四邊形,所以四邊形的面積的最小值為.高頻考點(diǎn)八：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問(wèn)題典型例題例題1．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？计谀┮阎?，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為，且橢圓C過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn)，證明：，，三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）令，則，又，則，所以，即，，由在橢圓上，則，聯(lián)立以上兩式，可得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（