第11講第一章空間向量與立體幾何章末重點題型大總結(jié)

第11講第一章空間向量與立體幾何章末題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何空間向量及其運算空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間向量的線性運算空間向量的基本定理兩個向量的數(shù)量積空間向量的直角坐標運算共線向量定理共面向量定理空間向量分解定理平行與垂直的條件直線的方向向量與直線的向量方程平面的法向量與平面的向量表示直線與平面的夾角二面角及其度量距離二、題型精講題型01空間向量的概念及運算【典例1】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）平行六面體中，已知底面四邊形為矩形，，，，則（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【詳解】由圖可得，則，故,故選：A【典例2】（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區(qū)南陽中學?？茧A段練習）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．【答案】(1)11(2)【詳解】（1）向量，向量與的夾角都是，且，，；（2）【典例3】（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學?？茧A段練習）已知空間向量，則使向量與的夾角為鈍角的實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【詳解】因為，所以，，，故，，，因為向量與的夾角為鈍角，所以，即，則，解得，即.故答案為：.【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長為的正方形，則、兩點間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為四邊形、都是邊長為的正方形，則，，又因為二面角的大小為，即，則，因為，由圖易知，，所以，.故選：C.【變式2】（2023春·高二課時練習）如圖，在長方體中，設(shè)，，是的中點．試確定向量在平面上的投影向量，并求．【答案】向量在平面BCC1上的投影向量為；【詳解】因為A1B1⊥平面BCC1，PC1⊥平面BCC1，所以向量在平面BCC1上的投影向量為.所以．【變式3】（2023·全國·高三專題練習）已知空間向量滿足，，則與的夾角為_________．【答案】/120°【詳解】由，即可構(gòu)成三角形，所以，又，故.故答案為：題型02四點共面問題【典例1】（多選）（2023春·高二課時練習）下列條件中，使與，，一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【詳解】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對于A，因為，所以可以得出，，，四點共面；對于B，因為，所以不能得出，，，四點共面；對于C，，則，，為共面向量，所以與,，一定共面；對于D，因為，所以，因為，所以不能得出，，，四點共面．故選：AC．【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為三棱錐是正三棱錐，G是的重心，所以，因為D是PG上的一點，且，所以，因為，所以,因為，所以，所以為，故選：B【典例3】（2023春·高二課時練習）在正方體中，為的中點，為的中點，為的中點，為的中點，直線交直線于點，直線交直線于點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】記，，，則，解得又所以整理得．故選：B【變式1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）如圖，空間四邊形中，，分別是邊，上的點，且，，點是線段的中點，則以下向量表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】空間四邊形OABC中，，，點G是線段MN的中點，，，D正確；對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤.故選：BD【變式2】（2023春·高二課時練習）如圖，已知空間四邊形，其對角線為、，、分別是對邊、的中點，點在線段上，且，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則、、的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【詳解】、分別是對邊、的中點，，．，因此，．故選：D題型03平面法向量的求解【典例1】（2023春·高二課時練習）已知，則平面的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為所以，令平面ABC的一個法向量為可得，即，令，則，所以故平面ABC的單位法向量是，即或．故選：B．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知空間四點，，，．求平面的一個法向量為__________；【答案】（答案不唯一）【詳解】由題知，，．設(shè)平面ABC的法向量，則，令，則，，∴所以平面ABC的一個法向量．此外，所有都是平面ABC的法向量，任寫一個皆可.故答案為：（答案不唯一）.【變式1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中?？计谀┛臻g直角坐標系中，已知點，則平面的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題知，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令得所以，平面的一個法向量可以是.故選：A【變式2】（2023·全國·高二專題練習）平面經(jīng)過，且垂直于法向量為的一個平面，則平面的一個法向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由已知，又，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，即，比較只有B滿足，故選：B．題型04利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系【典例1】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，平面．，，分別為的中點，則直線與平面的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．直線在平面內(nèi) D．相交且不垂直【答案】D【詳解】解：如圖取中點，連接，因為為中點，所以又在三棱柱中，平面，為中點，所以則平面，又平面，所以，，又，則，所以，以點為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系如圖所示，則,2,，,0,，,0,，,0,，,2,，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，又，因為，又所以直線與平面相交，且不垂直于平面．故選：D.【典例2】（多選）（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在正方體中，是線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】ABD【詳解】建系如圖，設(shè)正方體棱長為2，則設(shè)，所以設(shè)，，所以,對于A，因為平面，平面，所以，又因為，且平面，，所以平面，因為，由于，所以與不一定共線，故A錯誤；設(shè)平面的一個法向量為，,，令則，所以，若平面，則，即無解，所以平面不成立，故B錯誤；對于C，設(shè)平面的一個法向量為，,，令則，所以，，且平面，所以平面，故C正確；對于D，設(shè)平面的一個法向量為，,，令則，所以，不恒等于0，所以平面不一定成立，故D錯誤.故選:ABD.【典例3】（2023春·高二課時練習）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.【答案】證明見解析【詳解】因為，是棱的中點，所以，所以為正三角形.因為為等腰梯形，，所以.取的中點，連接，則，所以.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因為平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面【典例4】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使？證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【詳解】（1）證明：平面，平面，，又，，平面平面，平面，．又，為等腰直角三角形，為斜邊的中點，，又，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)存在點，使，點的坐標設(shè)為，所以，，由相似三角形得，即，．，又，．，，故存在點，使．【變式1】（2023春·高二課時練習）在正方體中，，分別為，的中點，則（

）A．平面 B．異面直線與所成的角為30°C．平面平面 D．平面平面【答案】D【詳解】對于選項A，假設(shè)面，則，這與已知與不垂直相矛盾，所以假設(shè)不成立.故選項A錯誤；對于選項B，連接，，因為，所以為異面直線與所成的角或補角，又因為△為等邊三角形，所以，故選項B錯誤；對于選項C，因為，，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面與平面相交，所以平面與平面也相交，故選項C錯誤；對于選項D，以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，，即，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，，可得平面的一個法向量為，由，所以，即平面平面，故選項D正確.故選：D.【變式2】（多選）（2023春·高二課時練習）如圖，平行六面體的體積為，，，底面邊長均為4，且分別為的中點，則下列選項中不正確的有（

）A． B．平面C． D．平面【答案】ABC【詳解】解：因為底面為邊長為的菱形，且，所以四邊形的面積為，又平行六面體的體積為，所以平行六面體的高為，因為，所以在底面的投影在上，設(shè)在底面的投影為，則，又，所以，又，所以為的中點，以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，所以，，，，，因為，所以、不平行，故A錯誤；又，所以與不垂直，故B錯誤；因為，所以與不垂直，故C錯誤；設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，所以，所以，又平面，所以平面，故D正確；故選：ABC【變式3】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，為的中點．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)在側(cè)面內(nèi)找一點，使平面．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）設(shè)，連、，則，∴即為與所成的角或其補角．在中，，，，∴．即與所成角的余弦值為．（2）分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖，則可得、、、、、，，設(shè)，則，由于平面，所以，化簡得，可得，，因此，點的坐標為，從而側(cè)面內(nèi)存在一點，當?shù)?、的距離分別為1和時，平面．【變式4】（2023·江蘇·高二專題練習）如圖，在直三棱柱中，為的中點，分別是棱上的點，且．(1)求證：直線平面；(2)若是正三角形為中點，能否在線段上找一點，使得平面？若存在，確定該點位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)在直線上存在一點，且，使得平面．【詳解】（1）在直三棱柱中，是的中點，又為的中點

，而，四邊形是平行四邊形，平面平面，平面．（2）在直線上找一點，使得平面，證明如下：在直三棱柱中，

又兩兩垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，在線段上，設(shè)，則，則，，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，平面，，解得，在直線上存在一點，且，使得平面．題型05異面直線所成角【典例1】（2023春·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習）如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點，為母線的中點，則異面直線和所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解法一：如圖1，取中點，連接，為的中點，連接，易知底面，因為平面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面.因為平面，所以.同理可得，.設(shè)底面半徑為，，.因為分別為的中點，所以，則在中，或其補角等于異面直線和所成的角.所以.解法二：如圖2，為的中點，連接，易知底面，因為平面，所以平面底面.又平面底面，，所以平面.以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，所以，，記所求角為，則.故選：C.【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為下底面圓周上一點，滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】法一：如圖，連接并延長，交底面圓于，連接，，易知且，所以為異面直線與所成的角或其補角．因為，則，所以為正三角形，故．由圓柱的性質(zhì)知，所以在等腰三角形中，.法二：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【典例3】（2023·江蘇·高三專題練習）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，為上一點，，，且.(1)求的值；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)正三棱柱的棱長為2，分別取中點為點，連結(jié).因為為等邊三角形，所以，，.又點分別為取的中點，所以.又由正三棱柱的性質(zhì)可知，平面，所以平面.以點為坐標原點，分別以所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，，，，所以.因為，所以，所以有，解得.（2）由（1）可知，，所以，所以，異面直線與所成角的余弦值為.【變式1】（2023春·山東濟南·高一山東省實驗中學校考階段練習）已知四面體滿足，，，且該四面體的體積為，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】將四面體放入長方體中，根據(jù)體積公式計算得到，建立空間直角坐標系，得到各點坐標，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】如圖所示：將四面體放入長方體中，，解得，故，以為軸建立空間直角坐標系，，，，或，或，，設(shè)異面直線與所成的角的大小為，，，則；或，；綜上所述：異面直線與所成的角的大小為或.故選：C【變式2】（2023·江蘇·高三專題練習）如圖所示，已知兩個正四棱錐與的高分別為1和2，，則異面直線與所成角的正弦值為________．【答案】/【詳解】由題設(shè)知，四邊形是正方形，連接，交于點，則，則平面，平面，故平面，故以為原點，以CA，DB，QP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，則，則，所以異面直線AQ與PB所成角的正弦值為.故答案為：.【變式3】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對角線的長都等于，點，分別是，的中點.(1)求證：，；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意知：三棱錐為正四面體，過A做底面的垂線，垂足為，由正棱錐的概念知，O為正三角形BCD的中心，連接，則在上，過做直線，分別交、于、兩點，則、、相互垂直，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，，，，，，則，，，因為，，所以，；（2）由（1）知：，，則，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以異面直線與夾角的余弦值為.題型06利用向量法求直線與平面所成角（定值）【典例1】（2023春·浙江舟山·高一舟山中學校考階段練習）在四棱錐中，已知側(cè)?為正三角形，底?為直角梯形，，，，，點，分別在線段，上，且=2.(1)求證：平?；(2)若點到平?的距離為，求直線和平?所成角交的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，交于點，連接，．可得，，，，，，又平面，平面，平面；（2）取的中點，連接，，作，垂足為，側(cè)面為正三角形，，，，四邊形為平行四邊形，，又，，又，，平面，平面，平面，，又，，，平面，平面，作，交于點，則，以為坐標原點，，，為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，點P到平?ABCD的距離為，則，0，，，2，，，，，，1，，，，，，2，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，解得，，平面的一個法向量為，0，，設(shè)直線和平面所成角為，則，，直線和平面所成角的正弦值．【典例2】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學校聯(lián)考階段練習）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為在直四棱柱中，面，又面，所以，又因為，所以，即兩兩垂直，故以方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，則，，，.（2）因為，，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，因為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.【典例3】（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體．現(xiàn)將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點分別作平行于各底面的截面，截去四個頂點處的小棱錐，得到所有棱長均為1的截角四面體，如圖所示．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）補全四面體如圖，取的中點，連接，，因為正四面體中各個面均為正三角形，所以，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因為點為的三等分點，即，所以，所以．（2）設(shè)點在底面的投影為點，連接，，，延長與交于點，因為為正四面體，所以點為等邊的中心，所以,，又因為，所以，所以，以點為原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則．【變式1】（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學?？寄M預(yù)測）如圖①，在中，為直角，，,,沿將折起，使，得到如圖②的幾何體，點在線段上．(1)求證：平面平面；(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在中，，，由余弦定理得：，則，有，于是，即有，又平面，因此平面，而平面，則，又因為平面，從而平面，而平面，所以平面平面.（2）以為原點，以分別為軸，過點垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，由（1）知，平面，而，則有平面，則，，連接與交于點，連接，因為平面，平面，平面平面，則，有，在四邊形中，由，得，即，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為.【變式2】（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校校考期中）吳老師發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》有“芻甍”這個五面體，于是她仿照該模型設(shè)計了一個學探究題，如圖：，，分別是正方形的三邊、、的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形著線段折起，連接、就得到一個“芻甍”．(1)若是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取線段中點，連接，由圖1可知，四邊形是矩形，且，是線段與的中點，∥且，在圖1中∥且，∥且．所以在圖2中，∥且，∥且四邊形是平行四邊形，則∥由于平面，平面∥平面（2）由圖1，，折起后在圖2中仍有，即為二面角的平面角．，以為坐標原點，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標系如圖，且設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個法向量，由，得，取則于是平面的一個法向量，，∴直線與平面所成角的正弦值為題型07利用向量法求直線與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D，在三棱臺中側(cè)面為等腰梯形，為為等腰三角形，為的中點.(1)證明：平面平面；(2)記二面角的大小為.①當時，求直線與平面所成角的正弦值.②當時，求直線與平面所成角的正弦的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)①，②最大值為【詳解】（1）因為為等腰三角形，為的中點，所以，又因為側(cè)面為等腰梯形，為的中點，所以，又平面，因此平面，平面，所以平面平面（2）在平面內(nèi)，作，由（1）中平面平面，且平面平面，平面，可得平面；以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：又因為，，所以即為二面角的平面角，所以，在中，，易知，又，可得；所以，；即，設(shè)平面的一個法向量為，所以，可令，則，即；①當時，，，設(shè)直線與平面所成角的為，所以，即時，直線與平面所成角的正弦值為.②當時，，設(shè)，則在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，即，易知，所以；易知當時，，所以當時，直線與平面所成角的正弦的最大值為.【典例2】（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┤鐖D1，在邊長為4的等邊中，，分別是，的中點．將沿折至（如圖2），使得．(1)證明：平面平面；(2)若點在棱上，當與平面所成角最大時，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點，因為是等邊三角形，所以．因為的邊長為4，所以．在中，，，，由余弦定理，得．因為，所以．又因為，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）（方法1）取的中點，則．以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，．設(shè)，因為，所以，所以．因為平面，平面，所以．又因為，平面，所以平面，所以平面的一個法向量為．記與平面所成角為，則．因為當時，取得最大值，此時最大，所以，所以．（方法2）在平面內(nèi)，過點向作垂線，垂足為．因為平面，平面，所以．又因為，，平面，所以平面，所以即為與平面所成角．因為在中，，所以．在平面內(nèi)，當時，最小，此時，所以此時取得最大值，也最大．因為，所以．【典例3】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且.(1)證明：.(2)若，，，點在直線上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，交于O，連接，因為側(cè)面為菱形，則，而，O為的中點，即有，又，且平面，于是平面，而平面，所以；（2）設(shè)，而，有，，又，則，即有，因此，即，，兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，則，則，設(shè)，因為，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，設(shè)直線AB與平面所成角為，則，當時，，當時，，當時，，當且僅當，即時，取等號，則，所以，當時，，當且僅當，即時，取等號，則，所以，綜上所述，直線AB與平面所成角的正弦值的最大值為.【變式1】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習）如圖所示，六面體的底面是菱形，，且平面，平面與平面的交線為.(1)證明：直線平面；(2)已知，三棱錐的體積，若與平面所成角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，，即.四邊形為平行四邊形，則.平面平面平面，平面平面，又平面，，四邊形是菱形，，又平面平面，則，又，平面，平面，又平面.（2）連接交于點，，則.平面，平面，因為平面，則.，四邊形是菱形，則，，以為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，設(shè)，則..，即，，則，，又是平面的一個法向量，，設(shè)，則.【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，為底面圓周上異于，的點.(1)在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由；(2)設(shè)平面∩平面，與平面QAC所成角為，當四棱錐的體積最大時，求的取值范圍.【答案】(1)作圖及理由見解析；(2).【詳解】（1）取中點P，作直線，則直線即為所求，取中點H，連接，則有，如圖，在等腰梯形中，，有，則四邊形為平行四邊形，即有，又平面，平面，所以平面.（2）延長交于點O，作直線，則直線即為直線，如圖，過點B作于，因為平面平面，平面平面，平面，因此平面，即為四棱錐的高，在中，，，當且僅當時取等號，此時點與重合，梯形的面積為定值，四棱錐的體積，于是當最大，即點與重合時四棱錐的體積最大，，以為原點，射線分別為軸的非負半軸建立空間直角坐標系，在等腰梯形中，，此梯形的高，顯然為的中位線，則，，設(shè)，則設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，則有，令，則，當時，，當時，，當且僅當，即時取等號，綜上得，所以的取值范圍是.題型08利用向量法解決直線與平面所成角的探索性問題【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市雨花臺中學校聯(lián)考期中）如圖，四面體中，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)設(shè)，，，點在上，若與平面所成的角的正弦值為，求此時點的位置．【答案】(1)證明見解析(2)為的四等分點且靠近點位置【詳解】（1）因為，為的中點，所以，在和中，所以，所以，又為的中點，所以，又平面，，所以平面.（2）因為，則，，由且，所以是等邊三角形，由且，為的中點，所以，在等腰直角中，則，故，又且，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，又，，設(shè)，，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，因為，所以，所以，解得，所以為的四等分點且靠近點位置.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖（1），在正三角形中，分別為中點，將沿折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接，過點作平面與平面平行，分別交于.(1)證明：平面；(2)點在線段上運動，當與平面所成角的正弦值為時，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)或1【詳解】（1）作DE中點O，連接，分別為中點，則,而二面角為直二面角，且平面平面,平面，故平面，∵平面平面ABD，平面平面，平面平面,∴同理，由分別為中點，，則四邊形為平行四邊形，故，∴F為BC中點，∴G為AC的中點，而，∴，∵平面，平面，∴，而，平面，∴平面，平面，∴，∴，由于，GE是公共邊，∴≌，∴，即,又平面，∴平面.（2）由（1）知平面，以O(shè)為坐標原點，為軸，建立如圖所示空間直角坐標系,令，則,,,,,,,,設(shè)，,,故，∴，∴，設(shè)平面的法向量，，，則，取，∴，，而與平面所成角的正弦值為，∴，解得或1.【變式1】（2023·廣東·高三專題練習）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，梯形底面，.設(shè)為的中點.(1)求證：平面；(2)上是否存在一點，使得與平面所成角余弦為，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在這樣符合條件的點，理由見解析【詳解】（1）證明：取的中點，連接，則共面又，所以；由底面是菱形，，所以為正三角形，所以，又，平面，所以平面，又，，所以，所以平面.（2）因為平面平面平面，，平面平面，所以平面，則以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，，所以，，設(shè)，則，，設(shè)平面法向量,由，則，則,所以，整理得，由，所以方程無實數(shù)根，故不存在這樣符合條件的點.【變式2】（2023·湖北荊州·沙市中學?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱的所有棱長均為為的中點，為上一點，(1)若，證明：平面；(2)當直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.【答案】(1)證明見解析；(2)3.【詳解】（1）記與交于點，連結(jié).由得.又平面，平面,所以平面.（2）取中點，以原點，直線為軸，直線為軸，建立如圖空間直角坐標系.則設(shè)，則設(shè)平面法向量為，則,取因為線面角正弦值為，所以解得，故題型09利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意得，，，因為，則，又，面，所以面，又面，則，又，，平面，平面，所以平面．（2）取的中點，可知，由，且可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，則平面，設(shè)，以點為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以面角的余弦值為．【典例2】（2023秋·云南大理·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，，，點為的中點.(1)求證：；(2)點為邊上的點，若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，.又，所以PA，AB，AD兩兩垂直.以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示.則，，，，點M為PC的中點，故，故，，所以，所以.（2），設(shè)平面的法向量為，，，則令，則.設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，所以，因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【變式1】（2023·海南海口·海南華僑中學?？寄M預(yù)測）如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面，.(1)求；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)2(2)【詳解】（1）（1）取的中點，連接.在菱形中，，，所以是正三角形.又是的中點，所以.平面，平面，.，平面，平面.平面，.，，平面，平面，平面.平面，.，，，四邊形是正方形.，.（2）取的中點，連接.由（1）知，是正三角形.又為的中點，所以，，且.因為平面，所以兩兩相互垂直.如圖2，以A為坐標原點，，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.所以，，所以，二面角的正弦值為.【變式2】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱錐中，，正四棱錐的體積為，點為的中點，點為的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在正四棱錐中，連接，四邊形為正方形為的中點

又點為的中點為的中位線又平面，平面，平面.（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為正四棱錐的體積為，所以正四棱錐的體積，所以，，,設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以.設(shè)平面的一個法向量為,則，即，令，則，所以.設(shè)二面角的所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.題型10利用向量法求二面角（最值或范圍）【典例1】（2023春·安徽·高三安徽省臨泉第一中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在四棱錐中，所有棱長都相等，，分別是棱，的中點，是棱上的動點，且.(1)若，證明：平面.(2)求平面與平面夾角余弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，記，連接.因為四邊形是正方形，所以是的中點，因為是的中點，所以.因為分別是棱的中點，所以，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）四邊形為菱形，所以，由平面，、平面，得，，故以為原點，分別以，，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)，則，，，，，從而，，，.因為，所以，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面的夾角為(為銳角)，則.因為，所以，所以，則當時，平面與平面夾角的余弦值取得最大值.【典例2】（2023秋·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，是的中點．(1)求的長；(2)設(shè)二面角平面角的補角大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）取PA的中點G，連接DG，EG，如圖所示：則，且，，所以四邊形CDGE為平行四邊形．因為，所以為直角三角形，，在中，因為，所以，所以所以CE的長為；（2）在平面ABCD內(nèi)過點A作BC的平行線，交CD的延長線于點M，如圖所示，則，，以點M為坐標原點，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，取AD的中點為N，連接PN，MN，則，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，在平面PMN內(nèi)過點P作，垂足為F，因為平面平面，所以平面，由已知可得，則，設(shè)．因為，所以，因為，，為線段的中點，所以，所以，所以，所以．設(shè)平面PAD的法向量，則令，則．設(shè)平面的法向量，因為，則令．則，所以為平面的一個法向量．設(shè)平面PAD和平面PBC的夾角為，則．令，所以，所以，所以當時，有最小值，所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．【變式1】（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考階段練習）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，分別是線段的中點，二面角為直二面角.(1)求證：平面；(2)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，由題設(shè)知四邊形為菱形，，分別為中點，；又為中點，，因為二面角為直二面角，即平面平面，平面平面平面平面，又平面；又平面平面.（2），為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面平面，則以為坐標原點，所在直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，設(shè)，則，；由（1）知：平面平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，則；，令，則；，即銳二面角的余弦值的取值范圍為.【變式2】（2023·全國·高三專題練習）如圖①所示，長方形中，，，點是邊靠近點的三等分點，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.【答案】(1)(2)平面和平面夾角余弦值的最小值為【詳解】（1）解：取的中點，連接，因為，則，當平面平面時，點到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為；（2）解：連接，因為，所以，所以為的平面角，即，過點作平面，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，過作于點，由題意得平面，設(shè),,，所以，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，因為，則，令，可得：，設(shè)兩平面夾角為，則，令，所以，則所以，所以當時，有最小值，所以平面和平面夾角余弦值的最小值為.題型11利用向量法解決二面角中的探索性問題【典例1】（2023·全國·高三對口高考）如圖，在四棱錐中，，，是棱上一點．(1)若，求證：平面；(2)若平面平面，平面平面，求證：平面；(3)在（2）的條件下，若二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）連接BD交AC于點，連接OM，因為，所以，因為，所以，所以，所以，因為平面平面MAC，所以平面MAC.（2）因為平面平面，平面平面平面ABCD，所以平面，因為平面PAD，所以．同理可證：．因為平面平面，所以平面ABCD．（3）分別以AD，AB，AP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．由，得，則，由（2）得：平面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為.設(shè)，即，所以，設(shè)平面AMC的法向量為，則，即，令，則，所以．因為二面角的余弦值為，所以，解得，所以的值為．【典例2】（2023春·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面為邊長為2的等邊三角形，底面為等腰梯形，，，底面梯形的兩條對角線和互相垂直，垂足為，，點為棱上的任意一點.(1)求證：；(2)是否存在點使得二面角的余弦值為，若存在求出點的位置；若不存在請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點為靠近的三等分點【詳解】（1）證明：因為四邊形為等腰梯形，且，所以為等腰直角三角形，因為，所以，因為，所以，所以，即，又因為平面，平面，且，所以平面，因為平面，所以.（2）解：如圖所示，以為原點，分別為，軸建立空間直角坐標系，由（1）知，故，故假設(shè)在棱上存在一點滿足題意，設(shè).所以設(shè)平面的法向量為，則，易令，可得，所以又由平面的一個法向量為設(shè)二面角為，可知二面角為銳二面角則，整理得，即，解得或（舍去），所以，存在點為靠近的三等分點.【變式1】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎谥比庵?，其中為的中點，點是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，點是線段上靠近的三等分點【詳解】（1）取的中點，連，因為為的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為與底面所成角的余弦值為，所以與底面所成角的余弦值為，因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，所以是與底面所成角，所以，所以，所以，又，所以是邊長為的等邊三角形，取的中點，的中點，連，則，，平面，以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標系：則，，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則，得，令，得，，，令，得，，，因為，所以，所以平面平面.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，若，則有，則，取，則，此時，不合題意；所以，令，得，，則，所以，整理得，解得.所以在線段上存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，點是線段上靠近的三等分點.【變式2】（2023春·湖北武漢·高一武漢市第十一中學?？茧A段練習）已知如圖1直角梯形，，，，，為的中點，沿將梯形折起（如圖2），使平面平面．(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置：若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，F(xiàn)為CD中點【詳解】（1）在直角梯形中，，E為AB的中點，即，，四邊形為平行四邊形，而，，則為正方形，連接，如圖，則，因為平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，則有，又，，平面，所以平面.（2）由（1）得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，所以EA，EB，EC兩兩垂直，分別以，，方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，設(shè)，所以，，設(shè)平面FAB的法向量為，則，取x＝2，得，取平面EBC的法向量為，因為，所以a＝1或（舍去），故線段CD上存在點F，且F為CD中點時，使得平面FAB與平面EBC所成的銳二面角的余弦值為．題型12利用向量法求點到直線的距離【典例1】（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）如圖，是棱長為1的正方體，若平面，且滿足，則到的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，以點A為原點，分別為軸建立空間坐標系，,則，則,，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，且面，則，即，得，故，所以，，，則，P到AB的距離為.故選：C【典例2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對角線折成直二面角，如圖2，點在線段上．(1)求證：；(2)若點到直線的距離為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），，，故，則，即，又平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，則.（2）設(shè)中點為，中點為，以為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：有，設(shè)，則，設(shè)，則，則，，，點到直線的距離為，則，即，即，解得，所以.【變式1】（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知空間直角坐標系中的三點，，，則點A到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】已知，，，所以，，點A到直線的距離為.故選：C.【變式2】（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，．建立適當?shù)目臻g直角坐標系．(1)求平面與平面夾角的正弦值；(2)求到直線的距離．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由平面，，平面，，，又，，則，，，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，則設(shè)平面的一個法向量為，則，則可取，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，，則平面與平面的夾角的正弦值為．（2），，，，距離．題型13利用向量法求點到平面的距離【典例1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點，.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）以為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標系.則，，，，，所以，，.設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，，所以.因為，所以，又因為平面，所以平面.（2）因為，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，得，所以.所以點到平面的距離.【典例2】（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預(yù)測）如圖，棱長為2的正方體中，為線段上動點．(1)證明：平面；(2)當直線與平面所成的角正弦值為時，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1），平面，平面，故平面；同理可得：平面；，且平面，故平面平面；，故平面；（2）如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到，，BP與平面所成的角正弦值為：，解得或（舍），設(shè)平面的法向量為，則，取得到，則點D到平面的距離.【變式1】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，是正三角形．(1)若為的中點，求證：直線平面；(2)若點在棱上且，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點，連接，因為分別為的中點，則//，平面，平面，所以直線平面.（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點，連接，因為△ABC是正三角形，則，又因為平面，平面，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標原點，為軸，軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點C到平面的距離.【變式2】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預(yù)測）已知多面體，四邊形是等腰梯形，，，四邊形是菱形，，，分別為，的中點，.(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)是線段的中點，連接，過作，垂足為，因為四邊形為等腰梯形，，，所以，，因為是的中點，可得，則，即四邊形為平行四邊形，可得，所以，又因為四邊形是邊長為2的菱形，且，則是邊長為2的等邊三角形，可得，則，可得，因為平面平面，所以平面，且平面，所以平面平面.（2）以為原點、分別為軸、軸、軸建立如圖空間直角坐標系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，可得，則點到平面的距離為.題型14利用向量法解決點到平面的距離的探索性問題【典例1】（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習）圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長為4的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明過程見解析(2)存在，直線與平面所成角的正弦值為【詳解】（1）取BE的中點F，連接AF，，因為四邊形ABCE是邊長為4的菱形，并且，所以均為等邊三角形，故⊥BE，⊥BE，且，因為，所以，由勾股定理逆定理得：AF⊥，又因為，平面ABE，所以⊥平面ABED，因為平面，所以平面平面ABED；（2）以F為坐標原點，F(xiàn)A所在直線為x軸，F(xiàn)B所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)，，，故，解得：，故，設(shè)平面的法向量為，則，故，令，則，故，其中則，解得：或（舍去），則，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.【典例2】（2022秋·湖北孝感·高二大悟縣第一中學校聯(lián)考期中）如圖在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，為的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【詳解】（1）∵，O為的中點，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，而平面，∴平面.（2）連接，∵底面為直角梯形，