第三篇-數(shù)學(xué)分支中的相關(guān)數(shù)學(xué)模型

第三篇-數(shù)學(xué)分支中的相關(guān)數(shù)學(xué)模型第一頁(yè)，共41頁(yè)?！?高等數(shù)學(xué)相關(guān)模型問(wèn)題1.1衛(wèi)星軌道長(zhǎng)度人造地球衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓.我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距地球表面439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地球表面2384km，地球半徑為6371km,求該衛(wèi)星的軌道長(zhǎng)度.分析衛(wèi)星軌道橢圓的參數(shù)方程

橢圓長(zhǎng)度

分別是長(zhǎng)、短半軸

橢圓積分無(wú)法解析計(jì)算

第一頁(yè)第二頁(yè)，共41頁(yè)。輸出MATLAB程序

functiony=x5(t)a=8755;b=6810;y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2);t=0:pi/10：pi/2y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1)L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6)L1=4.9276e+004L2=4.9460e+004輸出求解梯形公式

辛普森公式評(píng)注第二頁(yè)第三頁(yè)，共41頁(yè)。問(wèn)題1.2射擊命中概率炮彈射擊目標(biāo)為一正橢圓形區(qū)域，當(dāng)瞄準(zhǔn)目標(biāo)中心發(fā)射時(shí)，在眾多因素影響下，彈著點(diǎn)與目標(biāo)中心有隨機(jī)偏差.分析設(shè)目標(biāo)中心x=0,y=0,無(wú)法解析計(jì)算

設(shè)彈著點(diǎn)圍繞中心成二維正態(tài)分布,且偏差在X方向和Y方向相互獨(dú)立.若橢圓在X方向半軸長(zhǎng)120m,Y方向半軸長(zhǎng)80,設(shè)彈著點(diǎn)偏差的均方差在X和Y方向均為100m.求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率.

則彈著點(diǎn)(x,y)概率密度函數(shù)炮彈命中橢圓形區(qū)域的概率第三頁(yè)第四頁(yè)，共41頁(yè)。求解：蒙特卡羅方法這是一種隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的方法，用它來(lái)計(jì)算定積分的原理可以從下面的直觀例子得出。如圖所示：投石算面積第四頁(yè)第五頁(yè)，共41頁(yè)。隨機(jī)投點(diǎn)法從概率論的觀點(diǎn)看上例，記投點(diǎn)的坐標(biāo)為

每個(gè)坐標(biāo)視為相互獨(dú)立的、（0，1）取間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱（0，1）隨機(jī)數(shù)。根據(jù)大數(shù)定律，事件“落在四分之一單位圓面積內(nèi)”發(fā)生的頻率（依概率）收斂于（）該事件發(fā)生的概率P，不妨寫作，而P可以用積分表示為第五頁(yè)第六頁(yè)，共41頁(yè)。于是當(dāng)

，可以用隨機(jī)投點(diǎn)法作近似計(jì)算這里n是二維（0，1）隨機(jī)數(shù)的總數(shù)，k是其中滿足的數(shù)目。（0，1）隨機(jī)數(shù)可以用計(jì)算機(jī)方便的產(chǎn)生。rand(1,n)產(chǎn)生n個(gè)（0，1）隨機(jī)數(shù)，用于蒙特卡羅方法。第六頁(yè)第七頁(yè)，共41頁(yè)。重積分的計(jì)算：設(shè)是相互獨(dú)立的（0，1）隨機(jī)數(shù)，判斷每個(gè)點(diǎn)是否落在域內(nèi)，將落在域內(nèi)的m個(gè)點(diǎn)記作,則第七頁(yè)第八頁(yè)，共41頁(yè)。求解：蒙特卡羅方法作變換以100(m)為1單位，則MATLAB程序

輸出a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;n=100000;fori=1:nx=rand(1,2);y=0;ifx(1)^2+x(2)^2<=1y=exp(-0.5*(a^2*P=0.3752,m=78.552x(1)^2+b^2*x(2)^2));z=z+y,m=m+1endendp=4*a*b*z/2/pi/n,m評(píng)注第八頁(yè)第九頁(yè)，共41頁(yè)。問(wèn)題11.3人口增長(zhǎng)率20世紀(jì)美國(guó)人口數(shù)據(jù)(106),

計(jì)算各年份人口增長(zhǎng)率.記時(shí)刻t人口為x(t)，則人口相對(duì)增長(zhǎng)率為分析記1900年為k=0

求解：數(shù)值微分三點(diǎn)公式

年增長(zhǎng)率

2.201.661.461.021.041.581.491.161.051.04

評(píng)注第九頁(yè)第十頁(yè)，共41頁(yè)。問(wèn)題2已知某地區(qū)20世紀(jì)70年代的人口增長(zhǎng)率,且1970年人口為210（百萬(wàn)），試估計(jì)1980年的人口.記時(shí)刻t人口為x(t)，則人口增長(zhǎng)滿足微分方程分析記1970年為k=0

求解評(píng)注1980年該地區(qū)人口為230.2（百萬(wàn)）

數(shù)值積分梯形公式第十頁(yè)第十一頁(yè)，共41頁(yè)。為算出瑞士的國(guó)土面積，首先對(duì)瑞士地圖作如下測(cè)量：以由西向東方向?yàn)閤軸，由南到北方向?yàn)閥軸，選擇方便的原點(diǎn)，并將從最西邊界點(diǎn)到最東邊界點(diǎn)在x軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾啥?，在每個(gè)分點(diǎn)的y方向測(cè)出南邊界點(diǎn)和北邊界點(diǎn)的坐標(biāo)，得到表中數(shù)據(jù)（單位mm）.習(xí)題：國(guó)土面積問(wèn)題根據(jù)地圖比例,18mm相當(dāng)于40km，試由測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算瑞士國(guó)土的近似面積，與它的精確值41288km比較.第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共41頁(yè)?！?線性代數(shù)相關(guān)模型背景2.1投入產(chǎn)出綜合平衡分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門之間存在著相互依存的關(guān)系，每個(gè)部門在運(yùn)轉(zhuǎn)中將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過(guò)加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）.投入產(chǎn)出綜合平衡模型:根據(jù)各部門間的投入—產(chǎn)出關(guān)系，確定各部門的產(chǎn)出水平，以滿足社會(huì)的需求.設(shè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)三個(gè)部門構(gòu)成，已知某年它們之間的投入產(chǎn)出關(guān)系、外部需求、初始投入等如表（產(chǎn)值單位為億元）簡(jiǎn)化問(wèn)題第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共41頁(yè)。產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060/70150外部需求3511075總投入100200150說(shuō)明第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共41頁(yè)。假定每個(gè)部門的產(chǎn)出與投入是成正比的，由上表能夠確定這三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)農(nóng)業(yè)0.150.100.20制造業(yè)0.300.050.30服務(wù)業(yè)0.200.300說(shuō)明表中數(shù)字稱為投入系數(shù)或消耗系數(shù)

假設(shè)系數(shù)是常數(shù)產(chǎn)出第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共41頁(yè)。?設(shè)有n個(gè)部門，已知投入系數(shù)，給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出的模型.?如果今年對(duì)農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50，150，100億元，三個(gè)部門總產(chǎn)出？

?

模型可行：對(duì)于任意給定的、非負(fù)的外部需求,都能得到非負(fù)的總產(chǎn)出.為使模型可行,投入系數(shù)滿足？

?如果三個(gè)部門的外部需求分別增加1個(gè)單位，他們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？分析投入產(chǎn)出綜合平衡分析①若有n個(gè)部門，記一定時(shí)期內(nèi)第i個(gè)部門的總產(chǎn)出為xi，其中對(duì)第j個(gè)部門的投入為xij，滿足的外部需求為di，則第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共41頁(yè)。投入產(chǎn)出表每一行都滿足

記第j個(gè)部門的單位產(chǎn)出需要第i個(gè)部門的投入為aij，在每個(gè)部門的產(chǎn)出與投入成正比的假定下，有記投入系數(shù)矩陣產(chǎn)出向量

需求向量

則

或

若I-A可逆，則

?各部門總產(chǎn)出

第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共41頁(yè)。MATLAB程序

a=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];

d=[50150100];

b=eye(3)-a;

x=b\d,c=inv(b)

?三部門總產(chǎn)出:139.2801,267.6056,208.1377億元

?外部需求分別增加1個(gè)單位時(shí)，總產(chǎn)出分別增加C=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.2167

部門關(guān)聯(lián)系數(shù)

當(dāng)對(duì)農(nóng)業(yè)的需求增加1個(gè)單位時(shí),農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出分別增加1.3459，0.5634，0.4382單位

?模型可行若第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共41頁(yè)。問(wèn)題2.2輸電網(wǎng)絡(luò)一種大型輸電網(wǎng)絡(luò)可簡(jiǎn)化為電路

負(fù)載電阻線路內(nèi)阻電源電壓V

負(fù)載電流?列出各負(fù)載上電流的方程?設(shè)

?討論情況n=10,求

及總電流第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共41頁(yè)。分析?記

上的電流為根據(jù)電路中電流、電壓關(guān)系,列出消和求電流方程

?

第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共41頁(yè)。求電流方程

?

其中MATLAB計(jì)算電流程序

r=1;R=6;v=18;n=10;b1=sparse(1,1,v,n,1);b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n));a2=diag(R*ones(1,n));a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3;I=a\b;I0=sum(I)第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共41頁(yè)。k0123456789105.99706.00002.00052.00001.33441.33330.89070.88890.59550.59260.39950.39510.27020.26340.18580.17560.13240.11710.10110.07800.08670.0520k111213141516171819200.03470.02310.01540.01030.00690.00470.00320.00230.00180.0015說(shuō)明從n=10到n=20，I0幾乎不變，I1-I5變化也很小

Ik+1差不多是Ik的2/3倍如果n增加到50,100?

可以得到類似的結(jié)論

證明Ik+1是Ik的2/3倍第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共41頁(yè)。習(xí)題：種群的繁殖與穩(wěn)定收獲種群的數(shù)量因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對(duì)于人工飼養(yǎng)的種群（比如家畜）而言，為了保證穩(wěn)定的收獲，各個(gè)年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變.種群因雌性個(gè)體的繁殖而改變，為方便起見(jiàn)以下種群數(shù)量均指其中的雌性.種群年齡記作當(dāng)年年齡的種群數(shù)量記作，繁殖率記作（每個(gè)雌性個(gè)體一年繁殖的數(shù)量），自然存活率記作為一年的死亡率），收獲量記作，則來(lái)年年齡的種群數(shù)量應(yīng)為第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共41頁(yè)。（1）若已知，給定收獲量，建立求各年齡的穩(wěn)定種群數(shù)量的模型（用矩陣、向量表示）。（2）設(shè)如要求為500，400，200，100，100,求。（3）使均為500，如何達(dá)到?第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共41頁(yè)。解：（1）

第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共41頁(yè)。為了保證穩(wěn)定的收獲，各個(gè)年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變。因此則，即第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共41頁(yè)?！?概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)模型問(wèn)題3.1合金強(qiáng)度與碳含量合金的強(qiáng)度y(kg/mm)與其中的碳含量x(

%)有比較密切的關(guān)系，從生產(chǎn)中收集一批數(shù)據(jù).求擬合函數(shù)y(x)，再用回歸分析進(jìn)行檢驗(yàn).x0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23y42.041.545.045.545.047.549.055.050.055.055.560.5分析第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共41頁(yè)。描點(diǎn)作圖?y與x近似為線性,擬合y=ax+b.第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共41頁(yè)。MATLAB程序

x=0.1:0.01:0.23;x=[x(1:9),x(11:12),x(14)];y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5];pp=polyfit(x,y,1);xx=0.08:0.01:0.25;yy=polyval(pp,xx);plot(x,y,'r*',xx,yy)

擬合y=ax+ba=140.6194,b=27.0269

評(píng)注?是否線性顯著

?有無(wú)異常點(diǎn)?預(yù)測(cè)

程序hejinpoly第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共41頁(yè)。MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

多元線性回歸?b=regress(Y,X)

?[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)Y,X為按列排列的數(shù)據(jù)說(shuō)明b,bint為回歸系數(shù)估計(jì)值和他們的置信區(qū)間

alpha為顯著性水平（缺省時(shí)設(shè)定為0.05）stats包括R2，F(xiàn)，P值r,rint為殘差及置信區(qū)間，可用rcoplot(r,rint)畫圖

合金強(qiáng)度與碳含量問(wèn)題回歸模型

第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共41頁(yè)。?回歸模型與統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

MATLAB程序

x1=0.1:0.01:0.18;x=[x10.20.210.23]’;y=[4241.54545.54547.54955505555.560.5]’;x=[ones(12,1)x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

b=27.0269140.6194bint=22.322631.7313111.7842169.4546stats=0.9219118.06700.0000

y=27.0269+140.6194x線性顯著模型成立

第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共41頁(yè)。?有無(wú)異常點(diǎn)畫殘差分布圖除第8個(gè)數(shù)據(jù)外其余殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)第8個(gè)點(diǎn)應(yīng)視為異常點(diǎn)，剔除后重新計(jì)算，可得

b=26.8968139.9043bint=24.133029.6606122.7939157.0148stats=0.9744342.12590.0000程序hejinre第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共41頁(yè)。問(wèn)題3.2年齡與運(yùn)動(dòng)能力將17至29歲的運(yùn)動(dòng)員每?jī)蓺q一組分為7組，求年齡對(duì)這種運(yùn)動(dòng)能力的影響關(guān)系.多項(xiàng)式回歸

年齡

17192123252729第一人

20.4825.1326.1530.026.120.319.35第二人

24.3528.1126.331.426.9225.721.3分析MATLAB散點(diǎn)圖程序

每組兩人測(cè)量其旋轉(zhuǎn)定向能力.第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共41頁(yè)。x=17:2:29;y1=[20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35];y2=[24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3];plot(x,y1,'+',x,y2,'+')axis([15301535])

應(yīng)擬合一條二次曲線可利用ployfit第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共41頁(yè)。一元多項(xiàng)式回歸年齡與運(yùn)動(dòng)能力的二次模型MATLAB程序

x1=17:2:29;x=[x1,x1];y=[20.4825.1326.1530.026.120.319.3524.3528.1126.331.426.9225.721.3];[p,S]=polyfit(x,y,2);p

p=-0.20038.9782-72.2150a1=-0.2003a2=8.9782a3=-72.2150S是一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y得到x與y的擬合效果求解程序duo1第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共41頁(yè)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)y1=mean(y);rsquare=sum((Y-y1).^2)./sum((y-y1).^2),s=sqrt(sum((y-Y).^2)./12),rsquare=0.6980s=2.0831衡量擬合優(yōu)劣的指標(biāo)

第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共41頁(yè)。問(wèn)題3.3商品銷售量與價(jià)格某廠生產(chǎn)電器的銷售量y與競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的價(jià)格x1和本廠的價(jià)格x2有關(guān).在10個(gè)城市的銷售記錄?建立y與x1和x2的關(guān)系式

x1元120140190130155175125145180150x2元10011090150210150250270300250y個(gè)102100120774693266965