遼寧省大連市普蘭店第十四高級中學高二數學文摸底試卷含解析

遼寧省大連市普蘭店第十四高級中學高二數學文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，則a的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（1，+∞）參考答案：A【考點】52：函數零點的判定定理．【分析】分類討論：當a≥0時，容易判斷出不符合題意；當a＜0時，求出函數的導數，利用導數和極值之間的關系轉化為求極小值f（）＞0，解出即可．【解答】解：當a=0時，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函數f（x）有兩個零點，不符合題意，應舍去；當a＞0時，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x（﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，應舍去．當a＜0時，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x（﹣∞，）（，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零點x0，且x0＞0，∴極小值f（）=a（）3﹣3（）2+1＞0，化為a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．綜上可知：a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．故選：A．2.函數

則（

）

A.3

B.2

C.4

D.0參考答案：C略3.已知展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為64，則n等于()A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：C4.在中，角A、B、C的對邊分別為，若,則一定是（）A、等腰三角形

B、直角三角形C、等腰直角三角形

D、等腰三角形或直角三角形參考答案：D5.已知f(x)=

,a,b,c∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,則f(a)+f(b)+f(c)的值(

)A.一定大于零

B.一定等于零

C.一定小于零

D.正負都有可能參考答案：A略6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判斷幾何體的各個面的特點，計算邊長，求解面積．【解答】解：根據三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，運用直線平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故該三棱錐的表面積是2，故選：C．7.拋物線的準線方程為，則實數(

▲

)

A.4

B.

C.2

D.參考答案：B略8.從裝有兩個紅球和兩個黑球的袋里任取兩個球，則互斥而不對立的兩個事件是（

）

A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”

B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”參考答案：C9.已知橢圓C：+y2=1，點M1，M2…，M5為其長軸AB的6等分點，分別過這五點作斜率為k（k≠0）的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10，則直線AP1，AP2，…，AP10這10條直線的斜率乘積為（）A．﹣ B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】利用橢圓的性質可得==﹣=﹣．及其橢圓的對稱性可得，，進而得出答案．【解答】解：如圖所示，由橢圓的性質可得==﹣=﹣．由橢圓的對稱性可得，，∴=﹣，同理可得===﹣．∴直線AP1，AP2，…，AP10這10條直線的斜率乘積==﹣．故選：B．【點評】本題考查了橢圓的性質可得=﹣及橢圓的對稱性，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．10.已知P為拋物線y2=4x上一個動點，Q為圓x2+（y﹣4）2=1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】拋物線的應用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先根據拋物線方程求得焦點坐標，根據圓的方程求得圓心坐標，根據拋物線的定義可知P到準線的距離等于點P到焦點的距離，進而問題轉化為求點P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值，根據圖象可知當P，Q，F三點共線時P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小，為圓心到焦點F的距離減去圓的半徑．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），圓x2+（y﹣4）2=1的圓心為C（0，4），根據拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點的距離，進而推斷出當P，Q，F三點共線時P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小為：，故選C．【點評】本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生轉化和化歸，數形結合等數學思想．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系中，若圓上存在，兩點關于點成中心對稱，則直線的方程為

.參考答案：略12.設偶函數f(x)對任意x∈R，都有，且當x∈[－3，－2]時，f(x)＝2x，則f(113.5)的值是____________．參考答案：13.在等比數列中,若是方程的兩根，則=______參考答案：10

略14.若復數（i為虛數單位），若，則復數W的共軛復數是________.參考答案：【分析】求解出復數，利用共軛復數的定義求得結果.【詳解】由題意知：本題正確結果：【點睛】本題考查共軛復數的求解，關鍵是能夠通過復數運算求解出復數，屬于基礎題.15.已知函數f（x）=則f（f（））=．參考答案：【分析】由此得f（）==﹣2，由此能求出f（f（））．【解答】解：∵函數f（x）=，∴f（）==﹣2，f（f（））=f（﹣2）=3﹣2=．故答案為：．16.已知某校隨機抽取了100名學生，將他們某次體育測試成績制成如圖所示的頻率分布直方圖.若該校有3000名學生，則在本次體育測試中，成績不低于70分的學生人數約為__________．參考答案：210017.已知數列是一個等差數列，且，.（Ⅰ）求的通項；（Ⅱ）求前n項和的最大值．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，是夾角為60°的單位向量，且，。(1）求；(2）求與的夾角。參考答案：（1）＝（＝－6＋＋2＝；(2），同理得，所以，又，所以＝120°。19.（10分）已知函數。若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值和切線的方程.參考答案：

……3分由已知得，解得：.

……6分所以兩條切線交點為，切線斜率為.……8分所以切線方程為

即.

……10分20.如圖，三棱錐中，平面，,,是的中點，求異面直線和所成角的余弦值。參考答案：略21.設函數(1)當若在存在，使得不等式成立，求的最小值.(2)若在上是單調函數，求的取值范圍。（參考數據）參考答案：（1）在，

由，

；

當;

;

.

……5分而，，且

又

，

……………8分（2）①；

②當時，，

③，

從面得;

綜上得，.

…12分

略22.已知A，B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸交于點P．（Ⅰ）若直線AB經過拋物線y2=4x的焦點，求A，B兩點的縱坐標之積；（Ⅱ）若點P的坐標為（4，0），弦AB的長度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）求出拋物線的焦點，設直線AB方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立拋物線方程，消去x，可得y的方程，運用韋達定理，即可求得A，B兩點的縱坐標之積；（Ⅱ）設AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線和拋物線方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，化簡整理，再由二次函數的最值，即可求得弦長的最大值．【解答】解：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），依題意，設直線AB方程為y=k（x﹣1），其中k≠0．將代入直線方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以yAyB=﹣4，即A，B兩點的縱坐標之積為﹣4．（Ⅱ）設AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=1