人教版一元一次方程單元作業(yè)

人教版一元一次方程單元作業(yè)一、一元一次方程的基本概念和性質(zhì)

1.一元一次方程的定義：一元一次方程是指未知數(shù)的最高次數(shù)為1的方程。它可以表示為ax+b=0，其中a和b是已知數(shù)，a≠0。

2.解一元一次方程的基本步驟：

（1）將方程中的未知數(shù)合并在一起，將已知數(shù)合并在一起；

（2）化簡方程，消去括號和分母等；

（3）通過移項將未知數(shù)轉(zhuǎn)移到一個邊；

（4）將未知數(shù)的系數(shù)化為1，得到方程的解。

3.一元一次方程的解的意義：一元一次方程的解即為使方程成立的未知數(shù)的值，也就是使等式兩邊相等的值。

4.一元一次方程的解的性質(zhì)：

（1）方程有解的充分必要條件是方程的系數(shù)不全為零；

（2）方程有且只有一個解的充分必要條件是方程的系數(shù)不全為零且未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)的比值唯一。

二、一元一次方程的解的性質(zhì)的證明

1.方程有解的充分必要條件是方程的系數(shù)不全為零：

證明：設(shè)方程ax+b=0，其中a≠0，若方程有解，則必有一個數(shù)x使得ax=-b。若a=0，則方程變?yōu)?x+b=0，解得x=0，與a≠0矛盾。所以，方程有解的充分必要條件是方程的系數(shù)不全為零。

2.方程有且只有一個解的充分必要條件是方程的系數(shù)不全為零且未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)的比值唯一：

證明：設(shè)方程ax+b=0，其中a≠0，若方程有且只有一個解，則方程ax=-b只有一個解，即a=-b/x，其中b/x為一個常數(shù)。由此可得，解的唯一性的充分必要條件是方程的系數(shù)不全為零且未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)的比值唯一。

三、一元一次方程的解法及應(yīng)用

1.逐項因式分解法：將方程中的各項因式進行分解，排除相同因式的干擾，得到未知數(shù)的值。

2.相等法：通過設(shè)置一個與未知數(shù)有相同或相等關(guān)系的數(shù)，將方程化簡為一個簡單的線性方程，然后解得未知數(shù)的值。

3.平方根法：在方程中出現(xiàn)平方根的情況下，將方程兩邊平方，消去平方根，得到一個一元一次方程。

4.類等比法：將方程中的各項用同一個比值表示，通過列方程的方法解得未知數(shù)的值。

5.問題解決方法：通過將實際問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，求得問題的答案。

四、一元一次方程的應(yīng)用舉例

1.題目：甲、乙兩人共摘橙子81個，甲摘的比乙摘的多20個，求甲、乙各摘了多少個橙子。

解：設(shè)甲摘了x個橙子，則乙摘了x-20個橙子。根據(jù)題意可以得到方程x+(x-20)=81，解得x=50，所以甲摘了50個橙子，乙摘了30個橙子。

2.題目：一個數(shù)的四分之三減去9等于這個數(shù)的二分之一加上5，求這個數(shù)。

解：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意可以得到方程(3/4)x-9=(1/2)x+5，移項得到(3/4)x-(1/2)x=14，化簡得到(1/4)x=14，解得x=56，所以這個數(shù)為56。

3.題目：一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是這個兩位數(shù)的三分之一，如果把這個兩位數(shù)的個位數(shù)與十位數(shù)對調(diào)，得到一個新的兩位數(shù)，新的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)大27，求原來的兩位數(shù)。

解：設(shè)原來的兩位數(shù)為ab，其中a為十位數(shù)，b為個位數(shù)，則題目可以表示為10b+a=3b+27，化簡得到7b-a=27，由于題目中明確指出兩位數(shù)，所以a≠0，解得b=6，代入