七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題15 角-原卷版

/專(zhuān)題15角【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1角的概念（1定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．備注：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．例．（2022·山東聊城·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．也可用來(lái)表示B．與是同一個(gè)角C．圖中共有三個(gè)角：，，D．與是同一個(gè)角變式1．（2022·河南信陽(yáng)·七年級(jí)期末）鐘表上，下午3：40時(shí)時(shí)針和分針之間形成的角（小于平角）的度數(shù)為（

）A．150° B．140° C．130° D．120°變式2．（2022·山東威?！て吣昙?jí)期中）如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．∠B與∠CBA表示同一個(gè)角 B．∠α可以用∠O表示C．∠ACO是∠ACB與∠OCB的差 D．∠1可以用∠ACO表示變式3．（2022·廣西賀州·七年級(jí)期末）如圖，從的頂點(diǎn)引出兩條射線OC，OD，圖中的角共有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)◎考點(diǎn)題型2圖1角的表示方法圖1角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：備注：用數(shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)希臘字母．例．（2022·山東臨沂·七年級(jí)期中）如圖，下列各個(gè)圖形中，能用，，三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）如圖，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．∠BAC和∠DAE是同一個(gè)角B．∠ABC和∠ACB不是同一個(gè)角C．∠ABC可以用∠B表示D．∠AED可以用∠E表示變式2．（2021·河北承德·七年級(jí)期末）如圖，下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．與是同一個(gè)角B．也可用來(lái)表示C．圖中共有三個(gè)角：，，D．與是同一個(gè)角變式3．（2022·安徽亳州·七年級(jí)期末）下列角中，能用，，三種方法表示同一個(gè)角的是（

）A．B．C．D．◎考點(diǎn)題型3角的分類(lèi)例．（2022·山東棗莊·七年級(jí)期末）下列說(shuō)法：（1）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線；（2）連接兩點(diǎn)間的線段叫做這兩點(diǎn)間的距離；（3）射線與射線是同一條射線；（4）射線比直線小一半；（5）平角是直線．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)變式1．（2022·湖南婁底·七年級(jí)期末）在一幅七巧板中，有我們學(xué)過(guò)的（

）A．8個(gè)銳角，6個(gè)直角，2個(gè)鈍角 B．12個(gè)銳角，9個(gè)直角，2個(gè)鈍角C．8個(gè)銳角，10個(gè)直角，2個(gè)鈍角 D．6個(gè)銳角，8個(gè)直角，2個(gè)鈍角變式2．（2020·重慶·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線與直線CD交于點(diǎn)O，于點(diǎn)O，則與的關(guān)系是（

）A．互為對(duì)頂角B．相等C．互補(bǔ)D．互余變式3．（2021·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）將一個(gè)直角分成1:2:3的三個(gè)角，那么這三個(gè)角中，最大的角與最小的角相差（

）A．10° B．20° C．30° D．40°◎考點(diǎn)題型4方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．備注：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說(shuō)成“東偏北30°”；（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．例．（2021·河北承德·七年級(jí)期末）如圖，∠AOB=34.3°，點(diǎn)A位于點(diǎn)O的（

）A．南偏東34.3°方向上B．北偏西55°42′方向上C．南偏東55°42′方向上D．北偏西55°18′方向上變式1．（2020·江蘇·蘇州市吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）船的?？奎c(diǎn)在指定地點(diǎn)的南偏西的方向上，下面選項(xiàng)中，正確的是（

）A．B．C． D．變式2．（2022·湖南婁底·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)B在點(diǎn)A北偏東60°的方向，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏西30°的方向，且，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（

）A．6cm B．12cm C．3cm D．24cm變式3．（2022·山東聊城·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A位于點(diǎn)O的（

）A．北偏西方向上B．南偏西方向上C．北偏西方向上 D．南偏西方向上◎考點(diǎn)題型5鐘面角鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．例．（2022·山東青島·七年級(jí)期末）下午3：40，時(shí)針和分針的夾角是（）A．130° B．135° C．140° D．145°變式1．（2022·遼寧葫蘆島·七年級(jí)期末）每天中午12點(diǎn)30分是“校園之聲”節(jié)目都會(huì)如約而至，此時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A的的角為(

)A． B． C． D．變式2．（2022·山東濱州·七年級(jí)期末）2點(diǎn)半時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻膴A角為（

）A． B． C． D．變式3．（2022·山西陽(yáng)泉·七年級(jí)期末）小明晚上放學(xué)到家時(shí)，鐘表的時(shí)間顯示為6點(diǎn)15分（如圖），此時(shí)時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)山堑亩葦?shù)是（

）A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°◎考點(diǎn)題型6角的度量角度制及其換算：角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．備注：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．例．（2022·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)階段練習(xí)）若，則用度、分、秒表示為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·河北·石家莊市欒城區(qū)教育局教研室七年級(jí)期末）下面等式成立的是（

）A．B．C．D．變式2．（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）用度、分、秒表示20.21°為（

）A． B． C． D．變式3．（2022·安徽銅陵·七年級(jí)期末）下列關(guān)系式正確的是（

）A．45.5°=45°5′ B．45.5°=45°50′ C．45.5°<45°5′ D．45.5°>45°5′◎考點(diǎn)題型7：角的和、差關(guān)系如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．備注：(1)用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．備注：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．例．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列度分秒運(yùn)算中，正確的是（）A．48°39′+67°31′＝115°10′B．90°﹣70°39′＝20°21′C．21°17′×5＝185°5′D．180°÷7＝25°43′（精確到分）變式1．（2018·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）有兩個(gè)角，它們的比為，它們的差為，則這兩個(gè)角的關(guān)系是（）A．互為余角 B．互為補(bǔ)角 C．相等 D．以上答案都不對(duì)變式2．（2016·湖北恩施·七年級(jí)期末）計(jì)算15°23′×4的結(jié)果是（）A．60°92′ B．60.92° C．60°32′ D．61°32′變式3．（2014·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知α、β都是鈍角，甲、乙、丙、丁四人計(jì)算（α+β）的結(jié)果依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人計(jì)算正確，他是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁◎考點(diǎn)題型8角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．例．（2022·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)期中）如圖，，EF平分，則（

）A． B． C． D．變式1．（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期中）如圖，直線，直線c分別交a，b于點(diǎn)A，C，的平分線交直線b于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)是（

）A．80° B．70° C．60° D．50°變式2．（2022·山東臨沂·七年級(jí)期中）如圖，在中，∠ABC=36°，CB平分∠DCE，則∠AEC的度數(shù)為（

）A．36° B．52° C．72° D．108°變式3．（2022·云南昭通·七年級(jí)期中）如圖，已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OC平分∠AOE，，則∠BOE的度數(shù)為（

）A． B． C． D．◎考點(diǎn)題型9余角和補(bǔ)角1、余角和補(bǔ)角定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．類(lèi)似地，如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．2、余角和補(bǔ)角性質(zhì)：（1）等角的余角相等．（2）等角的補(bǔ)角相等．備注：(1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°-α)．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°。例．（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期中）如圖，把一塊含直角三角板的直角面點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·黑龍江·遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，直線，c是截線．若∠2＝5∠1，則∠1的余角的度數(shù)為（

）A．60° B．30° C．40° D．150°變式2．（2022·貴州六盤(pán)水·七年級(jí)期中）已知，則的補(bǔ)角等于（

）A． B． C． D．變式3．（2022·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)期中）若鈍角∠1與∠2互補(bǔ)，∠2與∠3互余，則∠1與∠3的關(guān)系滿足（）A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3◎考點(diǎn)題型10角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類(lèi)似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．例．（2022·河南駐馬店·七年級(jí)期末）在的內(nèi)部任取一點(diǎn)C，作射線，則一定存在（

）A． B．C． D．變式1．（2022·河南駐馬店·七年級(jí)期末）如圖，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠BC．∠A＝∠B D．沒(méi)有量角器，無(wú)法確定變式2．（2022·北京石景山·七年級(jí)期末）圖中所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．變式3．（2020·河北保定·七年級(jí)期末）已知，，，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．◎考點(diǎn)題型11尺規(guī)作圖--作線段“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長(zhǎng)度，再畫(huà)一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段．例．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期末）（1）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，線段，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．（2）對(duì)于（1），如果敘述為：“已知線段，點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)．”，結(jié)果會(huì)有變化嗎？如果有，畫(huà)出圖形，求出結(jié)果．變式1．（2022·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖．已知三點(diǎn)A．B．C．(1)畫(huà)直線AB．(2)畫(huà)射線BC．(3)畫(huà)線段AC．變式2．（2022·福建