專題41二項分布與超幾何分布正態(tài)分布

專題41二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布№專題41二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題41二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布是高考出題的知識點之一，其中二項分布和超幾何分布是離散型隨機變量分布列，正態(tài)分布是連續(xù)型隨機變量分布列，主要考查對分布列的認(rèn)識和理解，在選擇、填空中主要考正態(tài)分布，解答題中二項分布和超幾何分布的比較多一些。預(yù)計2024年的高考對于二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布的出題比較靈活，難于掌握出題方向，重點還是要掌握基礎(chǔ)知識。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握二項分布和超幾何分布；2.了解正態(tài)分布的含義及其均值、方差。→?考點精析←一、二項分布與超幾何分布1.二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n，p)，并稱p為成功概率在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X=k)=Cnkpk(1p)nk(k=0，1，2，…，2.超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X=k}發(fā)生的概率P(X=k)=CMkCN-X01…mPCC…C其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布.二、正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈(∞，+∞)，其中實數(shù)μ(2)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交;

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱;

③曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ④曲線與x軸之間的面積為1;

⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖10581①所示;

⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中;σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.(如圖10581②所示)

①②圖10581(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)=abφμ，σ(x)dx，正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)：P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6827;

P(μ2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545;

P(μ3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.

→?真題精講←1.（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）某市統(tǒng)計高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計該市高中生身體素質(zhì)的合格率為______．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%）參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】【分析】計算樣本的平均數(shù)和方差，由此估計，再結(jié)合參考數(shù)據(jù)求.【詳解】因為100個數(shù)據(jù)，，，…，的平均值，方差，所以的估計值為，的估計值為．設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為X，由，得，所以．故答案為：.2．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）某工廠一臺設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機抽檢了該設(shè)備在一個生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），經(jīng)統(tǒng)計得到下面的頻率分布直方圖：(1)由頻率分布直方圖估計抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差．（用每組的中點代表該組的均值）(2)已知這臺設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布，用直方圖的平均數(shù)估計值作為的估計值，用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計值s作為估計值．（i）為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過程，每個生產(chǎn)周期中都要隨機抽測10個零件的關(guān)鍵指標(biāo)，如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件，就認(rèn)為生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常，需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．下面是某個生產(chǎn)周期中抽測的10個零件的關(guān)鍵指標(biāo)：利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）若設(shè)備狀態(tài)正常，記X表示一個生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望．參考公式：直方圖的方差，其中為各區(qū)間的中點，為各組的頻率．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，，，．【解析】（1）由頻率分布直方圖，得．．（2）（i）由（1）可知，，所以，，顯然抽查中的零件指標(biāo)，故需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備．（ii）抽測一個零件關(guān)鍵指標(biāo)在之內(nèi)的概率為，所以抽測一個零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的概率為，故，所以，X的數(shù)學(xué)期望．→?模擬精練←1．（多選）（多選）（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）若隨機變量，下列說法中正確的是（

）A． B．期望C．期望 D．方差【答案】BCD【詳解】A選項：因，所以，故A錯誤.B選項：，故B正確.C選項：，故C正確.D選項：，，故D正確.故選：BCD.2．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知隨機變量，且，則__________.【答案】【詳解】因為隨機變量，且，則，解得：，.故答案為：.3．（2023·江蘇南通·三模）隨機變量，則__________.【答案】/【詳解】因為隨機變量，所以，所以，所以標(biāo)準(zhǔn)差，故答案為：.4．（多選）（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知某校高二男生的身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（175，16），且，則（

）A．該校高二男生的平均身高是175cmB．該校高二男生身高的方差為4C．該校高二男生中身高超過183cm的人數(shù)超過總數(shù)的3%D．從該校高二男生中任選一人，身高超過180cm的概率與身高不超過170cm的概率相等【答案】AD【詳解】對選項A：在中，為平均數(shù)，正確；對選項B：方差為，錯誤；對選項C：，則身高超過的概率，錯誤；對選項D：正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，所以身高超過180cm的概率與身高不超過170cm的概率相等，正確；故選：AD5．（多選）（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）給出下列命題，其中正確的是（

）A．對于獨立性檢驗的值越大，說明兩事件相關(guān)程度越大.B．若隨機變量，則C．若，則D．已知樣本點組成一個樣本，得到回歸直線方程，且，剔除兩個樣本點和得到新的回歸直線的斜率為，則新的回歸方程為【答案】BCD【詳解】選項A，對于獨立性檢驗的值越大，說明這兩事件具有相關(guān)性的把握越大，錯誤；選項B，，，正確；選項C，，則，，正確；選項D，把代入回歸直線方程，得，剔除兩個樣本點和后，新的平均數(shù)，又新的回歸直線的斜率為，即，則，解得，則新的回歸方程為，正確；故選：BCD6．（多選）（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（

）B．已知隨機變量，且，則C．已知隨機變量，則D．已知經(jīng)驗回歸方程，則y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系【答案】ABD【詳解】對于A選項，，第3個和第4個數(shù)的平均數(shù)為，故A正確；對于B選項，，故B正確；對于C選項，，則，故C錯誤；對于D選項，，可得y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，可知D正確．故選：ABD．7．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知隨機變量，若，則______．【答案】/【詳解】由已知可得，，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，，所以，.故答案為：.8．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則_____________．【答案】【詳解】，為正態(tài)分布曲線的對稱軸，由得：.故答案為：.9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）設(shè)隨機變量，若，則____________．【答案】/【詳解】因為隨機變量，且，所以，.故答案為：.10．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）某大型商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放8個大小相同的小球，其中4個為紅色，4個為黑色．抽獎方式為：每名顧客進(jìn)行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球．如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎．(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進(jìn)行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進(jìn)行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進(jìn)行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由．【答案】(1)分布列見解析；期望為(2)分布列見解析；期望為(3)答案見解析【詳解】（1）若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進(jìn)行第二次抽獎，則每次中獎的概率為，因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)服從二項分布，即，所以的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望．（2）若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進(jìn)行第二次抽獎，中獎次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望為.（3）因為（1）（2）兩問的數(shù)學(xué)期望相等，第（1）問中兩次獎的概率比第（2）問的小，即，第（1）問中不中獎的概率比第問小，即，回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產(chǎn)生宣傳效應(yīng)，則選擇按第（2）問方式進(jìn)行抽；回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第（1）問方式進(jìn)行抽獎．11．（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考三模）App是英文Application的簡稱，現(xiàn)多指智能的第三方應(yīng)用程序．隨著智能的普及，人們在溝通、社交、娛樂等活動中越來越依賴于App軟件．某公司為了了解其研發(fā)的App在某市的普及情況，進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男、女各100人進(jìn)行分析，從而得到下表（單位：人）：經(jīng)常使用偶爾或不用總計男性70100女性90100總計(1)完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為該市市民經(jīng)常使用該款A(yù)pp與性別有關(guān)；(2)將頻率視為概率，從該市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經(jīng)常使用該款A(yù)pp的人數(shù)為X，求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差（該市參與調(diào)查的市民男女比例為1：1）．附：，其中．2.072(3)閱讀下列材料，回答問題：以（2）中所求的概率為基準(zhǔn)，如果從該市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取100人贈送禮品，每次抽取的結(jié)果相互獨立，記經(jīng)常使用該款A(yù)pp的人數(shù)為，計算．材料：二項分布與正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中兩大非常重要的分布，并且這兩大分布的關(guān)系非常密切，經(jīng)研究表明，如果一個隨機變量X服從二項分布，當(dāng)且時，二項分布就可以用正態(tài)分布近似替代，即，其中隨機變量．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能；(2)；(3)【詳解】（1）偶爾或不用的男性人數(shù)為，偶爾或不用的女性人數(shù)為，則補全的列聯(lián)表如下：經(jīng)常使用偶爾或不用總計男性7030100女性9010100總計16040200由列聯(lián)表可得，與性別有關(guān).（2）由列聯(lián)表可知,抽取到經(jīng)常使用該款A(yù)pp的市民的頻率為將頻率視為概率,所以從該市市民中任意抽取1人,恰好抽取到經(jīng)常使用該款的市民的概率為0.8,由題意知,所以，（3）由題意,因為,,所以近似為,所以.12．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）某高中為大力提高高中生的體能，預(yù)計在年初推出六項體育運動項目，要求全校每名學(xué)生必須參加一項體育運動，且只參加一項體育運動，在這一整年里學(xué)生不允許更換體育運動項目，并在年終進(jìn)行達(dá)標(biāo)測試.一年后分項整理得到下表：體育項目第一項第二項第三項第四項第五項第六項學(xué)生人數(shù)14050300200800510未達(dá)標(biāo)率未達(dá)標(biāo)率是指：某一項體育運動未達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)生數(shù)與該項運動的學(xué)生數(shù)的比值.假設(shè)所有體育項目是否達(dá)標(biāo)相互獨立.(1)從全校隨機抽取1名同學(xué)，求該同學(xué)是“第四項體育運動項目中的達(dá)標(biāo)者”的概率；(2)從參加第四項和第五項體育運動項目的同學(xué)中各隨機選取1人，求恰有1人獲得體育達(dá)標(biāo)的概率；(3)假設(shè)每項體育運動項目學(xué)生未達(dá)標(biāo)的概率與表格中該項體育運動項目未達(dá)標(biāo)率相等，用“”表示第項體育運動項目達(dá)標(biāo)，“”表示第項體育運動項目未達(dá)標(biāo).計算并直接寫出方差的大小關(guān)系（不用寫出計算過程）.(3)，【詳解】（1）由題意知，全?？?cè)藬?shù)是第四項體育運動中達(dá)標(biāo)的人數(shù)是故所求概率為.（2）設(shè)事件A為“從第四項體育運動項目中隨機選取一人獲得體育達(dá)標(biāo)”，則估計為0.75，設(shè)事件為“從第五項體育運動項目中隨機選取一人獲得體育達(dá)標(biāo)”.則估計為0.8，則所求概率為;（3），，，，，，→?專題訓(xùn)練←1.?脆而易剝，酸甜適度，汁多爽口，余味清香，榮獲農(nóng)業(yè)部優(yōu)質(zhì)水果?中國國際農(nóng)業(yè)博覽會金獎等榮譽.據(jù)統(tǒng)計，奉節(jié)臍橙的果實橫徑(單位：)服從正態(tài)分布，則果實橫徑在的概率為（）附：若，則；.【答案】C【解析】由題得，，所以，，所以，所以，所以果實橫徑在的概率為.故選：C.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】隨機變量服從正態(tài)分布，曲線關(guān)于對稱，，，，故選：.3.某籃球運動員每次投籃投中的概率是，每次投籃的結(jié)果相互獨立，那么在他10次投籃中，記最有可能投中的次數(shù)為，則的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】記投籃命中的次數(shù)為隨機變量，由題意，，則投籃命中次的概率為，由得，即，即，解得，又，因此時，取最大值.即該運動員10次投籃中，最有可能投中的次數(shù)為次.故選：D.4.在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為，故選：D5．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┘?、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時，甲最終獲勝的概率為.(1)若，結(jié)束比賽時，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即.(i)求的取值范圍；(ii)證明數(shù)列單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實際含義.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）證明見解析，比賽局?jǐn)?shù)越多，對實力較強者越有利【詳解】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數(shù)學(xué)期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為：，，得.（ii）由（i）知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為，局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為.考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：，因此，即數(shù)列單調(diào)遞增.該結(jié)論的實際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對實力較強者越有利.6，第二組每道題答對的概率均為，兩組題至少答對3題才可獲得一枚紀(jì)念章.(1)記甲同學(xué)在一輪比賽答對的題目數(shù)為，請寫出的分布列，并求；(2)若甲同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.【答案】(1)分布列見解析，(2)4【詳解】（1）由題意，可取0，1，2，3，4.,，，，，則的分布列為：01234.（2）每一輪獲得紀(jì)念章的概率為，每一輪相互獨立，則每一輪比賽可視為二項分布，設(shè)10輪答題獲得紀(jì)念章的數(shù)量為，則，，.由，得，解得，又，得，則獲得4枚紀(jì)念章的概率最大.7．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）天宮空間站是我國建成的國家級太空實驗室，由天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙組成，已經(jīng)開啟長期有人駐留模式，結(jié)合空間站的相關(guān)知識，某職業(yè)學(xué)校的老師設(shè)計了以空間站為主題的編程訓(xùn)練，訓(xùn)練內(nèi)容由“太空發(fā)射”、“自定義漫游”、“全尺寸太陽能”、“空間運輸”等10個相互獨立的編程題目組成，訓(xùn)練要求每個學(xué)生必須選擇兩個不同的題目進(jìn)行編程練習(xí)，并且學(xué)生間的選擇互不影響，老師將班級學(xué)生分成四組，指定甲、乙、丙、丁為組長.(1)求甲、乙、丙、丁這四個人中至少有一人選擇“太空發(fā)射”的概率；(2)記X為這四個人中選擇“太空發(fā)射”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)如果班級有n個學(xué)生參與編程訓(xùn)練（其中n是能被5整除的正整數(shù)），則這n個學(xué)生中選擇“太空發(fā)射”的人數(shù)最有可能是多少人？【答案】(1)；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(3)答案見解析.【詳解】（1）由題意可知，每個人不選擇“太空發(fā)射”的概率為，所以甲、乙、丙、丁這4個人都不選擇“太空發(fā)射”的概率為故甲、乙、丙、丁這4個人中至少有一人選擇“太空發(fā)射”的概率（2）由已知的可能取值有，因為每個人選擇“太空發(fā)射”的概率為，且每個人是否選擇“太空發(fā)射”相互獨立，所以服從二項分布：，所以，即，，，，則的概率分布列為：01234所以的數(shù)學(xué)期望