初三下學(xué)期數(shù)學(xué)市級示范課-開放探索型問題

初三下學(xué)期數(shù)學(xué)市級示范課——開放探索型問題第一頁，共15頁。專題概述開放性問題：條件和結(jié)論中至少有一個沒有確定要求的問題.又可分為條件開放題（問題的條件不完備）、結(jié)論開放題（問題的結(jié)論不確定或不惟一）以及條件和結(jié)論開放題.問題解決：經(jīng)過探索確定結(jié)論或補全條件，將開放性問題轉(zhuǎn)化為封閉性問題，然后選擇合適的解題途徑完成最后的解答.第一頁第二頁，共15頁。典型例題例1：⑴寫出兩個無理數(shù)，使得它們的和為6.⑵如圖，△ABC和△FED中，AD＝FC，AB=FE.當添加條件

時，就可得到△ABC≌△FED

(只需填寫一個你認為正確的條件).ABCFDE第二頁第三頁，共15頁。典型例題例2：如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D為劣弧AC上一點，DE⊥AB于點H，交⊙O于點E，交AC于點F，P為ED的延長線上一點.⑴當△PCF滿足什么條件時，PC與⊙O相切？為什么？⑵點D在劣弧AC的什么位置時，才能使AD2=DE.DF？為什么？⌒⌒思路解析：⑴要使PC與⊙O相切,連OC后有∠PCO=90o.由∠OCA=∠OAC,∠PFC=∠AFH，可得PC=PF.⑵要使AD2=DE.DF，即AD:DE=DF:AD,也就是要使△DAF∽△DEA,方向明朗了.AEBOCDPFH第三頁第四頁，共15頁。典型例題例3：一輛汽車從A地駛往B地，前1/3路段為普通公路，其余路段為高速公路．已知汽車在普通公路上行駛的速度為60km/h，在高速公路上行駛的速度為100km/h，汽車從A地到B地一共行駛了2.2h．請你根據(jù)以上信息，就該汽車行駛的“路程”或“時間”，提出一個用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過程．

思路解析：屬于結(jié)論開放，明確要求后，可提出問題：“這輛汽車在普通公路和高速公路上分別行駛了多少時間？”或“這輛汽車在普通公路和高速公路各行駛了多少千米？（全程為多少千米？）”設(shè)在普通公路上用x小時，在高速公路上用y小時，則x+y=2.260x×2=100y第四頁第五頁，共15頁。開放創(chuàng)新在結(jié)論開放型問題中，迅速成熟了一種題型：存在性問題，是指在一定的條件下探索發(fā)現(xiàn)某些數(shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律是否存在的問題.存在性問題探索的方向是明確的，結(jié)果只有兩種：一種是存在，另一種是不存在.解這類問題時，常常假設(shè)某種關(guān)系或結(jié)論存在，經(jīng)過演算推理，主要是求解運算，來說明原結(jié)論或關(guān)系是否成立？是否存在？第五頁第六頁，共15頁。典型例題例4：如圖，△ABC中，∠C＝90o，∠A＝60o，AC=2cm，長為1cm線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動（運動前點M與點A重合）.過M、N分別作AB的垂線交直角邊于P、Q兩點，線段MN運動的時間為ts.(1)若△AMP的面積為y，寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式（及自變量t的取值范圍）；分析：需要分段.作CH⊥AB于H，得AH=1當0<t≤1時，P在線段AC上CNMAPQBH當1<t≤3時，P在線段CB上CNMAPQB分兩種不同情況求出函數(shù)關(guān)系式.第六頁第七頁，共15頁。典型例題例4：如圖，△ABC中，∠C＝90o，∠A＝60o，AC=2cm，長為1cm線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動（運動前點M與點A重合）.過M、N分別作AB的垂線交直角邊于P、Q兩點，線段MN運動的時間為ts.(2)線段MN運動過程中，是否存在時刻t，四邊形MNQP是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.分析：假設(shè)四邊形MNQP為矩形，則PQ∥AB，且PQ=MN=1在Rt△CPQ中，∠CQP＝30o，∴CP=1/2∴AP=3/2，AM=t=3/4.CNMAPQB即t=3/4時，四邊形MNQP為矩形.CNMAPQB第七頁第八頁，共15頁。典型例題例4：如圖，△ABC中，∠C＝90o，∠A＝60o，AC=2cm，長為1cm線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動（運動前點M與點A重合）.過M、N分別作AB的垂線交直角邊于P、Q兩點，線段MN運動的時間為ts.(3)線段MN運動過程中，是否存在時刻t，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.分析：考慮到構(gòu)成△CPQ，P應(yīng)在線段AC上若△CPQ與△ABC相似，則有兩種可能.綜上所述，當t=3/4或1/2時，兩三角形相似.CNMAPQBCNMAPQB①當△CPQ∽△CAB時，PQ∥AB，∴t=3/4②當△CPQ∽△CBA時，作PK⊥QN于KK則PC=PK=MN=1，∴AP=1，t=AM=1/2第八頁第九頁，共15頁。典型例題例5：如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且拋物線的對稱軸為直線x＝1，cos∠ABC＝

(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

ABCOPQ

yx分析：由拋物線的對稱軸方程求得b=1/4拋物線中還缺系數(shù)c，再由cos∠ABC的值可知OC:OB=3:4，B點的坐標可表示為(4c/3，0)代入到拋物線解析式中即可.第九頁第十頁，共15頁。典型例題例5：(2)動點P從點A出發(fā)，沿A→B→C方向，向點C運動；動點Q從點B出發(fā)，沿射線BC方向運動．若P、Q兩點同時出發(fā)，運動速度均為1個單位長度/秒，當點P到達點C時，整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒．①試求△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；ABCOPQ

yx分析：A(-6,0)，B(8,0)，C(0,6)△APQ的面積S分為P在AB上(0＜t≤14

)

P在BC上(14＜t≤24)兩種情況展開.AOBCPQAOBCPQHH第十頁第十一頁，共15頁。典型例題例5：(2)動點P從點A出發(fā)，沿A→B→C方向，向點C運動；動點Q從點B出發(fā)，沿射線BC方向運動．若P、Q兩點同時出發(fā)，運動速度均為1個單位長度/秒，當點P到達點C時，整個運動隨之結(jié)束，設(shè)運動時間為t秒．②在運動過程中，是否存在這樣的t值，使得△APQ是以AP為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．ABCOPQ

yx分析：還是分兩段進行討論.同時能夠借助于等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)簡便快捷地處理問題.第十一頁第十二頁，共15頁。典型例題例5：是否存在t值，使△APQ是以AP為一腰的等腰三角形？ABCOPQ

yx分析：當0＜t≤14時，點P在AB上.若AP=AQ，又∵BQ=AP，∴QA=QBAOBCPQHP作QH⊥AB于H，則AB=2BH=8t/5=14，∴t=35/4若PA=PQ，又∵BQ=AP，∴QP=QBABCOQH作QH⊥AB于H，則AB=AP+2BH=t+8t/5=14，∴t=70/13第十二頁第十三頁，共15頁。典型例題例5：是否存在t值，使△APQ是以AP為一腰的等腰三角形？ABCOPQ

yx分析：當14＜t≤24時，點P、Q都在BC上，且PQ=14.若AP=AQ，AO