矩陣論及其應(yīng)用-1 chapter1

MatrixTheory武文佳上海電機學(xué)院數(shù)理教學(xué)部矩陣論課程：矩陣論（MatrixTheory）學(xué)時：36學(xué)時（36Lectures）教材：矩陣理論及其應(yīng)用（第１版）邱啟榮主編

考核方式：閉卷筆試矩陣理論及其應(yīng)用參考資料矩陣與計算工具：MATLAB教學(xué)參考書：《矩陣論學(xué)習(xí)指導(dǎo)》邱啟榮中國電力出版社，2010《矩陣論》，清華大學(xué)出版社，2004。作業(yè)：課后習(xí)題作業(yè)，論文，報告。成績分配：平時成績40%（作業(yè)+上機）考試成績60%課程簡介矩陣論是數(shù)學(xué)的重要分支，隨著計算機的發(fā)展，矩陣理論在電子信息、機械、電力、管理、金融、保險等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。矩陣論全國工科研究生必修課知識基礎(chǔ)：線性代數(shù)，高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)—包含矩陣的基本知識，如定義，矩陣的初等變換，線性方程組，向量組，秩，相似矩陣，特征值，特征向量，二次型等課程內(nèi)容線性空間線性變換Jordan標準形向量與矩陣的范數(shù)矩陣分析矩陣函數(shù)及其應(yīng)用矩陣的分解廣義逆矩陣應(yīng)用舉例矩陣特征值計算例：Google搜索引擎1998年創(chuàng)立，市值近2500億(2012.10)G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”——SIAMReview，2006Gx=x,eTx=1預(yù)備知識微積分線性代數(shù)常微分方程

Matlab編程所需知識線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)1.初等行(列)變換2.初等變換3.線性方程組--非齊次線性方程組;--齊次線性方程組;結(jié)論：若上述線性方程組的系數(shù)行列式則方程組一定有唯一解.如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則其系數(shù)行列式必為零.如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則齊次線性方程組沒有非零解只有零解.4.線性方程組的向量表示則方程組的向量表示為線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)5.矩陣的秩A中非零子式的最高階數(shù)初等變換求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)線性方程組解的判定準則

定理：線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)5.向量組及其線性組合線性組合（1）

向量能由向量組線性表示．（2）則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．（3）設(shè)在向量組A中能選出r個向量滿足：線性無關(guān),（i）向量組A中任意r+1個向量(如果有的話)都線性相關(guān).（ii）則稱向量組是向量組

A的一個極大線性無關(guān)向量組（簡稱極大無關(guān)組）（4）線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)線性無關(guān)；（i）那么稱部分組為向量組A的一個設(shè)A為一個向量組，A的部分組

滿足：（ii）A的任意向量都能由線性表示。極大無關(guān)組的等價定義:極大無關(guān)組。注:（1）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。（2）向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。（3）任意一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價。線性代數(shù)預(yù)備知識復(fù)習(xí)第一章線性空間

線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它是幾何空間的抽象和推廣．

在線性代數(shù)中，定義了n維向量的加法和數(shù)量乘法運算，討論了向量空間中的向量關(guān)于線性運算的線性相關(guān)性，完滿地闡明了線性方程組的解的理論．

現(xiàn)在把n維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將使我們進一步研究的線性空間的理論可以在相當廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用．事實上，線性空間的理論與方法己滲透到自然科學(xué)與工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，同時對于我們深刻理解和掌握線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導(dǎo)意義。

1.1集合與映射一、集合二、映射一、集合

把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做集合；常用大寫字母A、B、C

等表示集合；當a是集合A的元素時，a屬于A，記為：；

當a不是集合A的元素時，就說a不屬于A，記作：

1、定義組成集合的這些事物稱為集合的元素．

用小寫字母a、b、c等表示集合的元素．

☆集合的表示方法：描述法、列舉法

描述法：給出這個集合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來.例1例2

M＝｛x|x具有性質(zhì)P｝M＝｛a1，a2，…，an｝約定：空集是任意集合的子集合.

空集：不含任何元素的集合，記為

．注意：｛

｝≠

集合間的關(guān)系

如果B中的每一個元素都是A中的元素，則稱B是

A的子集，記作，（讀作B包含于A）當且僅當

如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱

A與

B相等，記作A＝B

.A＝B當且僅當且

集合間的運算交：；

并：

顯然有，和：設(shè)A，B是兩個集合，集合稱為A與B的和集。集合的和與集合的并有什么區(qū)別?注意:稱為A與B的積。積：設(shè)A，B是兩個集合，集合定義1.1.1設(shè)A，B是兩個非空集合，A到B的一個映射對于集合A中的每一個元素x，都有集合B中的一個唯一確定的元素y與之對應(yīng)。是指一個對應(yīng)法則，通過這一法則，用記號表示f是從A到B的一個映射。如果通過映射,與A中元素對應(yīng)的則記作:

B中元素是或二、映射

叫做元素在下的象，叫做在下的原象。

某個集合A到自身的映射也稱為A的一個變換。A在下的象的集合記作注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的集合；2）對于A中的每一個元素x，B中必有一個唯一確定的元素與之對應(yīng)；3）一般說來，B中的元素不一定都是A中元素的象；4）A中不同元素的象可能相同。相等映射，滿射，單射映射的積，1-1映射(雙射)例判斷下列映射的性質(zhì)1）M＝｛a,b,c｝、M′＝｛1,2,3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（不是單射，也不是滿射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M′＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是滿射，但不是單射）（雙射）例題第二節(jié)線性空間的定義與性質(zhì)線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作向量空間，進而通過研究向量空間來解決實際問題．一、線性空間的定義一.線性空間的定義設(shè)V

是一個非空集合,P是一個數(shù)域,在集合V

中的和，記為；在P與V的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法：即在V中都存在唯一的一個元素δ與它們對應(yīng)，稱δ為的數(shù)量乘積，記為如果加法和數(shù)量乘法還滿足下述規(guī)則，則稱V為數(shù)域P上的線性空間：定義了一種代數(shù)運算，叫做加法:即對在V中都存在唯一的一個元素與它們對應(yīng)，稱為如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域上的向量空間（或線性空間）．

線性空間的概念是集合與運算二者的結(jié)合：

判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說明

凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，稱為線性運算．同一個集合，定義兩種不同的線性運算，則構(gòu)成不同的線性空間（１）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．例１實數(shù)域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律．例1.2.4給定記按中的加法和數(shù)乘運算，都是上的線性空間。例5正弦函數(shù)的集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．是一個線性空間.一般地在通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運算下構(gòu)成線性空間。定理1.2.1零向量唯一．任意向量的負向量唯一．二、線性空間的性質(zhì)定義1.2.2在線性空間V中，兩個向量的差為

，記作定理1.2.2對任意向量任意數(shù)有：線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等.線性空間是一個集合對所定義的加法及數(shù)乘運算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運算線性空間是二維、三維幾何空間及維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.小結(jié)§1.3維數(shù)·基與坐標一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系二、線性空間的維數(shù)、基與坐標三、基變換與坐標變換如何把線性空間的全體元素表示出來？線性空間中是否有類似于幾何空間的坐標系問題？線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西—數(shù)發(fā)生聯(lián)系,使其能用比較具體的數(shù)學(xué)式子來表達？怎樣才能便于運算？問題Ⅰ

基的問題（basis）問題Ⅱ

坐標（coordinate）問題一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系

1、有關(guān)定義設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間（1）和式的一個線性組合．稱為向量組（2）

，若存在

則稱向量可經(jīng)向量組

線性表出；使若向量組中每一向量皆可經(jīng)向量組

線性表出，則稱向量組可經(jīng)向量組線性表出；若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組為等價的．

（3），若存在不全為零的數(shù)，使得則稱向量組線性相關(guān)；（4）如果向量組不是線性相關(guān)的，即只有在時才成立，

則稱線性無關(guān)．

（1）單個向量線性相關(guān)

單個向量線性無關(guān)向量組線性相關(guān)中有一個向量可經(jīng)其余向量線性表出.

2、有關(guān)結(jié)論（2）若向量組線性無關(guān)，且可被向量組線性表出，則

若與為兩線性無關(guān)的等價向量組，則

（3）若向量組線性無關(guān)，但向量組

線性相關(guān)，則可被向量組

線性表出，且表示法唯一．二、線性空間的維數(shù)、基與坐標注3零空間的維數(shù)定義為0.注1線性空間的基不唯一,即對n維線性空間來說,其中任意n個線性無關(guān)的向量組都可以作為該線性空間的一組基.但維數(shù)唯一。注2線性空間的基也就是線性空間的一個極大無關(guān)組.注4當一個線性空間V中存在任意多個線性無關(guān)的向量時，則稱V為無限維的.例如：所有實系數(shù)多項式所成的線性空間R[x]是無限維的。因為：對任意的正整數(shù)n，都有n個線性無關(guān)的向量常見線性空間的自然（標準）基為n維的，線性空間Pn[x]

是n+1維的，且

1，x，x2，…，xn－1，xn為Pn[x]的一組自然基．就是的一組基．稱為的自然基（標準基）.證:首先，1，x，x2，…，xn－1，xn是線性無關(guān)的．∴1，x，x2，…，xn－1，xn為Pn[x]的一組基，從而，Pn[x]是n+1維的.其次，可經(jīng)1，x，x2，…，xn線性表出．注：在基1，x，x2，…，xn下的坐標就是此時，1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1，(x－a)n也為Pn[x]的一組基．證明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1，(x－a)n是線性無關(guān)的．

又對，按泰勒展開公式有即,f(x)可經(jīng)1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n線性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n為Pn

[x]

的一組基．

在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n下的坐標是

例1.3.9所有二階實矩陣組成的集合，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間．對于中的矩陣

一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。更進一步，原本抽象的“加法”及“數(shù)乘”經(jīng)過坐標表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。例1.3.10求的極大線性無關(guān)組。解：向量組在自然基因此的極大線性無關(guān)組為例1.3.11、求中的多項式組的秩和一個極大線性無關(guān)組。（一）、向量的形式書寫法（二）、基變換（三）、坐標變換三、基變換與坐標變換在n維線性空間V中，任意n個線性無關(guān)的向量都可取作線性空間V的一組基．V中任一向量在某一組基下的坐標是唯一確定的，但是在不同基下的坐標一般是不同的．因此在處理一些問題是時，如何選擇適當?shù)幕刮覀兯懻摰南蛄康淖鴺吮容^簡單是一個實際的問題．問題：同一向量在不同基下的坐標之間有什么關(guān)系，即隨著基的改變，向量的坐標是如何變化的？（一）向量的形式書寫法1、V為數(shù)域P上的

n維線性空間，為V

中的一組向量，

，若

則形式地記作約定向量矩陣則形式地記作

2、V為數(shù)域

P

上

n維線性空間，

；為V中的兩組向量，若1、定義設(shè)V為數(shù)域P上n維線性空間，；

為V中的兩組基，若①即，

(二)基變換則稱矩陣

為由基到基的過渡矩陣；稱

①

或

②

為由基到基的基變換公式．

②通過過渡矩陣，建立了任意兩組基之間的關(guān)系引理設(shè)

是一組線性無關(guān)的向量，A是一個n階矩陣，令則線性無關(guān)的充要條件是A可逆。2、有關(guān)性質(zhì)

1）過渡矩陣都是可逆矩陣；反過來，任一可逆矩陣都可看成是兩組基之間的過渡矩陣．2）若由基過渡矩陣為A,則由基過渡矩陣為A-1.3）若由基過渡矩陣為A,由基過渡矩陣為B，則由基過渡矩陣為AB.事實上,若則有，若兩個基滿足關(guān)系式(三)坐標變換公式則有坐標變換公式或兩組基的過渡矩陣相應(yīng)坐標之間的關(guān)系知道兩組坐標，可求兩組基之間的過渡矩陣知道過渡矩陣，可研究兩組坐標的關(guān)系證明習(xí)題思路（1）建立其與標準基的關(guān)系，標準基已知，通過研究過渡矩陣，證明其為基。（2）求坐標，已知關(guān)于標準基的坐標，則通過過渡矩陣，求解。關(guān)鍵：標準基過渡矩陣，則2）顯然，則1.4線性子空間一.線性子空間的定義二.子空間的交與和1、線性子空間的定義1.4.1設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，集合若W對于V

中定義的加法和數(shù)乘也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間,則稱W為V

的一個線性子空間，簡稱為子空間．注：①線性子空間也是數(shù)域P

上一線性空間，它也②任一線性子空間的維數(shù)不能超過整個空間的有基與維數(shù)的概念.

維數(shù).一、線性子空間2、線性子空間的判定，若W對于V中兩種運算封閉，即

則W是V的一個子空間．

證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證

W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則．

定理1.4.1：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合

一、線性子空間∵，∴.且對，

由數(shù)乘運算封閉，有

，即W中元素的負元素就是它在V中的負元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的．下證3）、4）成立．

由加法封閉，有,即W中的零元一、線性子空間一、線性子空間一、線性子空間一、線性子空間也為V的子空間，設(shè)V1、V2為線性空間V

的子空間，則集合二、子空間的交與和1.定理1.4.2稱之為V1與V2的交空間.2.定理1.4.3設(shè)V1、V2為線性空間V的子空間，則集合也為V

的子空間，稱之為V1與V2的和空間.稱其為V的由所生成的子空間，定義：V為數(shù)域P上的線性空間，則子空間

，記作稱為的一組生成元.3.一個重要的子空間——生成子空間或記作二、子空間的交與和有關(guān)結(jié)論（性質(zhì)）二、子空間的交與和定理1.4.5的充要條件為與等價二、子空間的交與和二、子空間的交與和有關(guān)結(jié)論（性質(zhì)）定理1.4.6線性空間的維數(shù)等于向量組的秩。證明設(shè)的秩為r,并設(shè)為它的一個極大線性無關(guān)向量組，則與等價，所以，均有有關(guān)結(jié)論（性質(zhì)）定理1.4.7（基擴充定理）設(shè)W是n維線性空間V的一個r維子空間，是W的一個基，則V中存在n-r個向量使得為V的一個基。特別地，n維線性空間V中任意n個線性無關(guān)的向量都可以取作基。(證明：用數(shù)學(xué)歸納法，此處略)它擴充為P4的一組基，其中例求的維數(shù)與一組基，并把解：對以為列向量的矩陣A作初等行變換二、子空間的交與和由B知，為

的一個極大故，維

＝3，就是

的一組基.無關(guān)組.二、子空間的交與和則線性無關(guān)，從而為P4的一組基.二、子空間的交與和例1.4.9、已知求的子空間的基與維數(shù)。二、子空間的交與和二、子空間的交與和定理1.4.8設(shè)為線性空間V的兩個子空間，則推論1.4.2：設(shè)為

n

維線性空間V的兩個子空間，若，則必含非零的公共向量.即中必含有非零向量.故為非零子空間，必含有非零向量.二、子空間的交與和三、子空間的交與和—-直和設(shè)為線性空間V的兩個子空間，若和是唯一的，和就稱為直和，記作中每個向量的分解式(一)、直和的定義注:若有則①分解式唯一的，意即三、子空間的交與和—-直和三、子空間的交與和—-直和(二)、直和的判定三、子空間的交與和—-直和分解式唯一，即若1.定理1.4.9(1)和是直和的充要條件是零向量則必有證：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式充分性.

故是直和.設(shè)，它有兩個分解式有其中

于是

由零向量分解式唯一，且即

的分解式唯一.(二)、直和的判定2.定理1.4.9(2)和是直和則有

即是直和.

“”任取證：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故(二)、直和的判定證：由維數(shù)公式3.定理1.4.10和是直和有，是直和.（由thm1.4.9得之）(二)、直和的判定總之，設(shè)為線性空間V的子空間，則下面四個條件等價:2）零向量分解式唯一1）是直和3）4）(二)、直和的判定4.定理1.4.11設(shè)U是線性空間V的一個子空間，稱這樣的W為U的一個余子空間(補空間).則必存在一個子空間W，使(二)、直和的判定一、歐氏空間的定義二、歐氏空間中向量的長度三、歐氏空間中向量的夾角§１.５內(nèi)積空間（歐氏空間）四、正交向量組六、線性空間的同構(gòu)五、標準正交基問題的引入：性質(zhì)(如長度、夾角)等在一般線性空間中沒有涉及.其具體模型為幾何空間、1、線性空間中，向量之間的基本運算為線性運算，但幾何空間的度量長度：都可以通過內(nèi)積反映出來：夾角

：2、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì)3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì).滿足性質(zhì)：當且僅當時一、內(nèi)積（歐氏）空間的定義1.定義1.5.1設(shè)V是實數(shù)域R上的線性空間，對V中任意兩個向量、定義一個二元實函數(shù)，記作，若（對稱性）（數(shù)乘）（可加性）（正定性）①

V為實數(shù)域R上的線性空間;②

V除向量的線性運算外