矩陣論及其應(yīng)用-1 chapter1

MatrixTheory武文佳上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部矩陣論課程：矩陣論（MatrixTheory）學(xué)時(shí)：36學(xué)時(shí)（36Lectures）教材：矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用（第１版）邱啟榮主編

考核方式：閉卷筆試矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用參考資料矩陣與計(jì)算工具：MATLAB教學(xué)參考書(shū)：《矩陣論學(xué)習(xí)指導(dǎo)》邱啟榮中國(guó)電力出版社，2010《矩陣論》，清華大學(xué)出版社，2004。作業(yè)：課后習(xí)題作業(yè)，論文，報(bào)告。成績(jī)分配：平時(shí)成績(jī)40%（作業(yè)+上機(jī)）考試成績(jī)60%課程簡(jiǎn)介矩陣論是數(shù)學(xué)的重要分支，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，矩陣?yán)碚撛陔娮有畔?、機(jī)械、電力、管理、金融、保險(xiǎn)等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。矩陣論全國(guó)工科研究生必修課知識(shí)基礎(chǔ)：線性代數(shù)，高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)—包含矩陣的基本知識(shí)，如定義，矩陣的初等變換，線性方程組，向量組，秩，相似矩陣，特征值，特征向量，二次型等課程內(nèi)容線性空間線性變換Jordan標(biāo)準(zhǔn)形向量與矩陣的范數(shù)矩陣分析矩陣函數(shù)及其應(yīng)用矩陣的分解廣義逆矩陣應(yīng)用舉例矩陣特征值計(jì)算例：Google搜索引擎1998年創(chuàng)立，市值近2500億(2012.10)G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”——SIAMReview，2006Gx=x,eTx=1預(yù)備知識(shí)微積分線性代數(shù)常微分方程

Matlab編程所需知識(shí)線性代數(shù)預(yù)備知識(shí)復(fù)習(xí)1.初等行(列)變換2.初等變換3.線性方程組--非齊次線性方程組;--齊次線性方程組;結(jié)論：若上述線性方程組的系數(shù)行列式則方程組一定有唯一解.如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則其系數(shù)行列式必為零.如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則齊次線性方程組沒(méi)有非零解只有零解.4.線性方程組的向量表示則方程組的向量表示為線性代數(shù)預(yù)備知識(shí)復(fù)習(xí)5.矩陣的秩A中非零子式的最高階數(shù)初等變換求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.線性代數(shù)預(yù)備知識(shí)復(fù)習(xí)線性方程組解的判定準(zhǔn)則

定理：線性代數(shù)預(yù)備知識(shí)復(fù)習(xí)5.向量組及其線性組合線性組合（1）

向量能由向量組線性表示．（2）則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)．（3）設(shè)在向量組A中能選出r個(gè)向量滿足：線性無(wú)關(guān),（i）向量組A中任意r+1個(gè)向量(如果有的話)都線性相關(guān).（ii）則稱向量組是向量組

A的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)向量組（簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組）（4）線性代數(shù)預(yù)備知識(shí)復(fù)習(xí)線性無(wú)關(guān)；（i）那么稱部分組為向量組A的一個(gè)設(shè)A為一個(gè)向量組，A的部分組

滿足：（ii）A的任意向量都能由線性表示。極大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義:極大無(wú)關(guān)組。注:（1）一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身。（2）向量組的極大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。（3）任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。線性代數(shù)預(yù)備知識(shí)復(fù)習(xí)第一章線性空間

線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它是幾何空間的抽象和推廣．

在線性代數(shù)中，定義了n維向量的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算，討論了向量空間中的向量關(guān)于線性運(yùn)算的線性相關(guān)性，完滿地闡明了線性方程組的解的理論．

現(xiàn)在把n維向量抽象成集合中的元素，撇開(kāi)向量及其運(yùn)算的具體含義，把集合對(duì)加法和數(shù)量乘法的封閉性及運(yùn)算滿足的規(guī)則抽象出來(lái)，就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將使我們進(jìn)一步研究的線性空間的理論可以在相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用．事實(shí)上，線性空間的理論與方法己滲透到自然科學(xué)與工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，同時(shí)對(duì)于我們深刻理解和掌握線性方程組理論和矩陣代數(shù)也有非常重要的指導(dǎo)意義。

1.1集合與映射一、集合二、映射一、集合

把一些事物匯集到一起組成的一個(gè)整體就叫做集合；常用大寫(xiě)字母A、B、C

等表示集合；當(dāng)a是集合A的元素時(shí)，a屬于A，記為：；

當(dāng)a不是集合A的元素時(shí)，就說(shuō)a不屬于A，記作：

1、定義組成集合的這些事物稱為集合的元素．

用小寫(xiě)字母a、b、c等表示集合的元素．

☆集合的表示方法：描述法、列舉法

描述法：給出這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來(lái).例1例2

M＝｛x|x具有性質(zhì)P｝M＝｛a1，a2，…，an｝約定：空集是任意集合的子集合.

空集：不含任何元素的集合，記為

．注意：｛

｝≠

集合間的關(guān)系

如果B中的每一個(gè)元素都是A中的元素，則稱B是

A的子集，記作，（讀作B包含于A）當(dāng)且僅當(dāng)

如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱

A與

B相等，記作A＝B

.A＝B當(dāng)且僅當(dāng)且

集合間的運(yùn)算交：；

并：

顯然有，和：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，集合稱為A與B的和集。集合的和與集合的并有什么區(qū)別?注意:稱為A與B的積。積：設(shè)A，B是兩個(gè)集合，集合定義1.1.1設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，A到B的一個(gè)映射對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，都有集合B中的一個(gè)唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)。是指一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，通過(guò)這一法則，用記號(hào)表示f是從A到B的一個(gè)映射。如果通過(guò)映射,與A中元素對(duì)應(yīng)的則記作:

B中元素是或二、映射

叫做元素在下的象，叫做在下的原象。

某個(gè)集合A到自身的映射也稱為A的一個(gè)變換。A在下的象的集合記作注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的集合；2）對(duì)于A中的每一個(gè)元素x，B中必有一個(gè)唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)；3）一般說(shuō)來(lái)，B中的元素不一定都是A中元素的象；4）A中不同元素的象可能相同。相等映射，滿射，單射映射的積，1-1映射(雙射)例判斷下列映射的性質(zhì)1）M＝｛a,b,c｝、M′＝｛1,2,3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（不是單射，也不是滿射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M′＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是滿射，但不是單射）（雙射）例題第二節(jié)線性空間的定義與性質(zhì)線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間，進(jìn)而通過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．一、線性空間的定義一.線性空間的定義設(shè)V

是一個(gè)非空集合,P是一個(gè)數(shù)域,在集合V

中的和，記為；在P與V的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法：即在V中都存在唯一的一個(gè)元素δ與它們對(duì)應(yīng)，稱δ為的數(shù)量乘積，記為如果加法和數(shù)量乘法還滿足下述規(guī)則，則稱V為數(shù)域P上的線性空間：定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法:即對(duì)在V中都存在唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域上的向量空間（或線性空間）．

線性空間的概念是集合與運(yùn)算二者的結(jié)合：

判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說(shuō)明

凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算．同一個(gè)集合，定義兩種不同的線性運(yùn)算，則構(gòu)成不同的線性空間（１）一個(gè)集合，如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．例１實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律．例1.2.4給定記按中的加法和數(shù)乘運(yùn)算，都是上的線性空間。例5正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．是一個(gè)線性空間.一般地在通常的函數(shù)加法和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成線性空間。定理1.2.1零向量唯一．任意向量的負(fù)向量唯一．二、線性空間的性質(zhì)定義1.2.2在線性空間V中，兩個(gè)向量的差為

，記作定理1.2.2對(duì)任意向量任意數(shù)有：線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.線性空間是一個(gè)集合對(duì)所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運(yùn)算線性空間是二維、三維幾何空間及維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.小結(jié)§1.3維數(shù)·基與坐標(biāo)一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系二、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)三、基變換與坐標(biāo)變換如何把線性空間的全體元素表示出來(lái)？線性空間中是否有類似于幾何空間的坐標(biāo)系問(wèn)題？線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西—數(shù)發(fā)生聯(lián)系,使其能用比較具體的數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)？怎樣才能便于運(yùn)算？問(wèn)題Ⅰ

基的問(wèn)題（basis）問(wèn)題Ⅱ

坐標(biāo)（coordinate）問(wèn)題一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系

1、有關(guān)定義設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)線性空間（1）和式的一個(gè)線性組合．稱為向量組（2）

，若存在

則稱向量可經(jīng)向量組

線性表出；使若向量組中每一向量皆可經(jīng)向量組

線性表出，則稱向量組可經(jīng)向量組線性表出；若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個(gè)向量組為等價(jià)的．

（3），若存在不全為零的數(shù)，使得則稱向量組線性相關(guān)；（4）如果向量組不是線性相關(guān)的，即只有在時(shí)才成立，

則稱線性無(wú)關(guān)．

（1）單個(gè)向量線性相關(guān)

單個(gè)向量線性無(wú)關(guān)向量組線性相關(guān)中有一個(gè)向量可經(jīng)其余向量線性表出.

2、有關(guān)結(jié)論（2）若向量組線性無(wú)關(guān)，且可被向量組線性表出，則

若與為兩線性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組，則

（3）若向量組線性無(wú)關(guān)，但向量組

線性相關(guān)，則可被向量組

線性表出，且表示法唯一．二、線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo)注3零空間的維數(shù)定義為0.注1線性空間的基不唯一,即對(duì)n維線性空間來(lái)說(shuō),其中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組都可以作為該線性空間的一組基.但維數(shù)唯一。注2線性空間的基也就是線性空間的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.注4當(dāng)一個(gè)線性空間V中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量時(shí)，則稱V為無(wú)限維的.例如：所有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式所成的線性空間R[x]是無(wú)限維的。因?yàn)椋簩?duì)任意的正整數(shù)n，都有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量常見(jiàn)線性空間的自然（標(biāo)準(zhǔn)）基為n維的，線性空間Pn[x]

是n+1維的，且

1，x，x2，…，xn－1，xn為Pn[x]的一組自然基．就是的一組基．稱為的自然基（標(biāo)準(zhǔn)基）.證:首先，1，x，x2，…，xn－1，xn是線性無(wú)關(guān)的．∴1，x，x2，…，xn－1，xn為Pn[x]的一組基，從而，Pn[x]是n+1維的.其次，可經(jīng)1，x，x2，…，xn線性表出．注：在基1，x，x2，…，xn下的坐標(biāo)就是此時(shí)，1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1，(x－a)n也為Pn[x]的一組基．證明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1，(x－a)n是線性無(wú)關(guān)的．

又對(duì)，按泰勒展開(kāi)公式有即,f(x)可經(jīng)1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n線性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n為Pn

[x]

的一組基．

在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n下的坐標(biāo)是

例1.3.9所有二階實(shí)矩陣組成的集合，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間．對(duì)于中的矩陣

一般來(lái)說(shuō)，線性空間及其元素是抽象的對(duì)象，不同空間的元素完全可以具有千差萬(wàn)別的類別及性質(zhì)。但坐標(biāo)表示卻把它們統(tǒng)一了起來(lái)，坐標(biāo)表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標(biāo)所組成的新向量?jī)H由數(shù)域中的數(shù)表示出來(lái)。更進(jìn)一步，原本抽象的“加法”及“數(shù)乘”經(jīng)過(guò)坐標(biāo)表示就演化為向量加法及數(shù)對(duì)向量的數(shù)乘。例1.3.10求的極大線性無(wú)關(guān)組。解：向量組在自然基因此的極大線性無(wú)關(guān)組為例1.3.11、求中的多項(xiàng)式組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。（一）、向量的形式書(shū)寫(xiě)法（二）、基變換（三）、坐標(biāo)變換三、基變換與坐標(biāo)變換在n維線性空間V中，任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可取作線性空間V的一組基．V中任一向量在某一組基下的坐標(biāo)是唯一確定的，但是在不同基下的坐標(biāo)一般是不同的．因此在處理一些問(wèn)題是時(shí)，如何選擇適當(dāng)?shù)幕刮覀兯懻摰南蛄康淖鴺?biāo)比較簡(jiǎn)單是一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題．問(wèn)題：同一向量在不同基下的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系，即隨著基的改變，向量的坐標(biāo)是如何變化的？（一）向量的形式書(shū)寫(xiě)法1、V為數(shù)域P上的

n維線性空間，為V

中的一組向量，

，若

則形式地記作約定向量矩陣則形式地記作

2、V為數(shù)域

P

上

n維線性空間，

；為V中的兩組向量，若1、定義設(shè)V為數(shù)域P上n維線性空間，；

為V中的兩組基，若①即，

(二)基變換則稱矩陣

為由基到基的過(guò)渡矩陣；稱

①

或

②

為由基到基的基變換公式．

②通過(guò)過(guò)渡矩陣，建立了任意兩組基之間的關(guān)系引理設(shè)

是一組線性無(wú)關(guān)的向量，A是一個(gè)n階矩陣，令則線性無(wú)關(guān)的充要條件是A可逆。2、有關(guān)性質(zhì)

1）過(guò)渡矩陣都是可逆矩陣；反過(guò)來(lái)，任一可逆矩陣都可看成是兩組基之間的過(guò)渡矩陣．2）若由基過(guò)渡矩陣為A,則由基過(guò)渡矩陣為A-1.3）若由基過(guò)渡矩陣為A,由基過(guò)渡矩陣為B，則由基過(guò)渡矩陣為AB.事實(shí)上,若則有，若兩個(gè)基滿足關(guān)系式(三)坐標(biāo)變換公式則有坐標(biāo)變換公式或兩組基的過(guò)渡矩陣相應(yīng)坐標(biāo)之間的關(guān)系知道兩組坐標(biāo)，可求兩組基之間的過(guò)渡矩陣知道過(guò)渡矩陣，可研究?jī)山M坐標(biāo)的關(guān)系證明習(xí)題思路（1）建立其與標(biāo)準(zhǔn)基的關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)基已知，通過(guò)研究過(guò)渡矩陣，證明其為基。（2）求坐標(biāo)，已知關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基的坐標(biāo)，則通過(guò)過(guò)渡矩陣，求解。關(guān)鍵：標(biāo)準(zhǔn)基過(guò)渡矩陣，則2）顯然，則1.4線性子空間一.線性子空間的定義二.子空間的交與和1、線性子空間的定義1.4.1設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，集合若W對(duì)于V

中定義的加法和數(shù)乘也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間,則稱W為V

的一個(gè)線性子空間，簡(jiǎn)稱為子空間．注：①線性子空間也是數(shù)域P

上一線性空間，它也②任一線性子空間的維數(shù)不能超過(guò)整個(gè)空間的有基與維數(shù)的概念.

維數(shù).一、線性子空間2、線性子空間的判定，若W對(duì)于V中兩種運(yùn)算封閉，即

則W是V的一個(gè)子空間．

證明：要證明W也為數(shù)域P上的線性空間，即證

W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則．

定理1.4.1：設(shè)V為數(shù)域P上的線性空間，集合

一、線性子空間∵，∴.且對(duì)，

由數(shù)乘運(yùn)算封閉，有

，即W中元素的負(fù)元素就是它在V中的負(fù)元素，4）成立．就是V中的零元，3）成立．由于

，規(guī)則1）、2）、5）、6）、7）、8）是顯然成立的．下證3）、4）成立．

由加法封閉，有,即W中的零元一、線性子空間一、線性子空間一、線性子空間一、線性子空間也為V的子空間，設(shè)V1、V2為線性空間V

的子空間，則集合二、子空間的交與和1.定理1.4.2稱之為V1與V2的交空間.2.定理1.4.3設(shè)V1、V2為線性空間V的子空間，則集合也為V

的子空間，稱之為V1與V2的和空間.稱其為V的由所生成的子空間，定義：V為數(shù)域P上的線性空間，則子空間

，記作稱為的一組生成元.3.一個(gè)重要的子空間——生成子空間或記作二、子空間的交與和有關(guān)結(jié)論（性質(zhì)）二、子空間的交與和定理1.4.5的充要條件為與等價(jià)二、子空間的交與和二、子空間的交與和有關(guān)結(jié)論（性質(zhì)）定理1.4.6線性空間的維數(shù)等于向量組的秩。證明設(shè)的秩為r,并設(shè)為它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)向量組，則與等價(jià)，所以，均有有關(guān)結(jié)論（性質(zhì)）定理1.4.7（基擴(kuò)充定理）設(shè)W是n維線性空間V的一個(gè)r維子空間，是W的一個(gè)基，則V中存在n-r個(gè)向量使得為V的一個(gè)基。特別地，n維線性空間V中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以取作基。(證明：用數(shù)學(xué)歸納法，此處略)它擴(kuò)充為P4的一組基，其中例求的維數(shù)與一組基，并把解：對(duì)以為列向量的矩陣A作初等行變換二、子空間的交與和由B知，為

的一個(gè)極大故，維

＝3，就是

的一組基.無(wú)關(guān)組.二、子空間的交與和則線性無(wú)關(guān)，從而為P4的一組基.二、子空間的交與和例1.4.9、已知求的子空間的基與維數(shù)。二、子空間的交與和二、子空間的交與和定理1.4.8設(shè)為線性空間V的兩個(gè)子空間，則推論1.4.2：設(shè)為

n

維線性空間V的兩個(gè)子空間，若，則必含非零的公共向量.即中必含有非零向量.故為非零子空間，必含有非零向量.二、子空間的交與和三、子空間的交與和—-直和設(shè)為線性空間V的兩個(gè)子空間，若和是唯一的，和就稱為直和，記作中每個(gè)向量的分解式(一)、直和的定義注:若有則①分解式唯一的，意即三、子空間的交與和—-直和三、子空間的交與和—-直和(二)、直和的判定三、子空間的交與和—-直和分解式唯一，即若1.定理1.4.9(1)和是直和的充要條件是零向量則必有證：必要性.是直和,的分解式唯一.而0有分解式充分性.

故是直和.設(shè)，它有兩個(gè)分解式有其中

于是

由零向量分解式唯一，且即

的分解式唯一.(二)、直和的判定2.定理1.4.9(2)和是直和則有

即是直和.

“”任取證：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故(二)、直和的判定證：由維數(shù)公式3.定理1.4.10和是直和有，是直和.（由thm1.4.9得之）(二)、直和的判定總之，設(shè)為線性空間V的子空間，則下面四個(gè)條件等價(jià):2）零向量分解式唯一1）是直和3）4）(二)、直和的判定4.定理1.4.11設(shè)U是線性空間V的一個(gè)子空間，稱這樣的W為U的一個(gè)余子空間(補(bǔ)空間).則必存在一個(gè)子空間W，使(二)、直和的判定一、歐氏空間的定義二、歐氏空間中向量的長(zhǎng)度三、歐氏空間中向量的夾角§１.５內(nèi)積空間（歐氏空間）四、正交向量組六、線性空間的同構(gòu)五、標(biāo)準(zhǔn)正交基問(wèn)題的引入：性質(zhì)(如長(zhǎng)度、夾角)等在一般線性空間中沒(méi)有涉及.其具體模型為幾何空間、1、線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算為線性運(yùn)算，但幾何空間的度量長(zhǎng)度：都可以通過(guò)內(nèi)積反映出來(lái)：夾角

：2、在解析幾何中，向量的長(zhǎng)度，夾角等度量性質(zhì)3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì).滿足性質(zhì)：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)一、內(nèi)積（歐氏）空間的定義1.定義1.5.1設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，對(duì)V中任意兩個(gè)向量、定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，記作，若（對(duì)稱性）（數(shù)乘）（可加性）（正定性）①

V為實(shí)數(shù)域R上的線性空間;②

V除向量的線性運(yùn)算外