第09講拓展二函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用

第09講拓展二：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用題型01根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)【典例1】（2023春·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12【答案】C【詳解】因?yàn)?，令，得到，?dāng)時(shí)，，得到，滿足題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故，得到，綜上，或.故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)闀r(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，單調(diào)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，而函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，所以需滿足有1個(gè)零點(diǎn)，有1個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故選：D【典例3】（2023秋·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】或【詳解】又，得，得；由，得，得或，因?yàn)榍∮?個(gè)零點(diǎn)，所以若和是函數(shù)的零點(diǎn)，則不是函數(shù)的零點(diǎn)，則；若和是函數(shù)的零點(diǎn)，則不是函數(shù)的零點(diǎn)，則，若和是函數(shù)的零點(diǎn)，不是函數(shù)的零點(diǎn)，則不存在這樣的.綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故答案為：或.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，函數(shù)有零點(diǎn)，與有交點(diǎn)，，即，故選：C【變式2】（2023春·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，即，即，要使得函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，在方程有兩個(gè)小于的實(shí)根，設(shè)，即函數(shù)在上與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若1是此函數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】0【詳解】因?yàn)?是此函數(shù)的零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：題型02求函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恒過點(diǎn)，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)函數(shù)沒有零點(diǎn)函數(shù)的圖像與直線無交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得，或即函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件是或,只有選項(xiàng)是函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分條件,故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由，則可作出函數(shù)的圖象如下：由方程，得或，所以方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為3．故選：A．【典例3】（2023秋·上海浦東新·高一?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷在上的單調(diào)性并證明；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，時(shí)，該函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：在區(qū)間上任取，且則因?yàn)?，故，且，則故當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在單調(diào)遞減.即證.（2），等價(jià)于即等價(jià)于的根的個(gè)數(shù)，令，則其函數(shù)圖像如下所示：由圖可知：當(dāng)或或時(shí)，直線與有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與有三個(gè)交點(diǎn).故：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).【典例4】（2023春·高一平湖市當(dāng)湖高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)（其中）.(1)若且方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是偶函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)榉匠逃薪猓苑匠逃薪?，即的值域與方程的值域相同.所以，即，故；（2）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，有，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.函數(shù)的零點(diǎn)情況等價(jià)于的解的情況，即，討論的解的情況，令，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)開口向上，且恒過定點(diǎn)，則只有一解，此時(shí)方程只有1解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)開口向下，且恒過定點(diǎn)，且函數(shù)的對(duì)稱軸，則方程（*）無解，綜上所述：當(dāng)時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).【變式1】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù).由，得或，解得：或或，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：A.【變式2】（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）．A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】C【詳解】分別做出函數(shù)和函數(shù)的圖像，如上圖所示，由圖像可知，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.故選:C【變式3】（2023春·安徽·高一安徽省舒城中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)；(3)若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)1(3)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，也即，，，.因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的任意上式恒成立，所以.（2）由（1）可知的解析式為.所以.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?所以方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為1.（3）由題可知.由，可得.令，則.所以可化為.令函數(shù).當(dāng)，即時(shí)，，舍去.當(dāng)，即時(shí)，的圖象開口向上，因?yàn)?，所以一定存在唯一的正根，符合題意.當(dāng)，即時(shí)，的圖象開口向下，因?yàn)椋?，解?又，所以對(duì)稱軸，所以（舍去）或.所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式4】（2023秋·貴州黔東南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)一個(gè)零點(diǎn)【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以即，整理得，則，解得.（2）由（1）知，所以，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程根的個(gè)數(shù)，即方程根的個(gè)數(shù)，令，則轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，而方程的根為，，所以函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，關(guān)鍵點(diǎn)在于利用好函數(shù)的奇偶性，即函數(shù)是奇函數(shù)時(shí)，有，函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，有.題型03函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【典例1】（2023秋·湖北·高一湖北省黃梅縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知為偶函數(shù)．(1)求的值；(2)解不等式；(3)若關(guān)于的方程有4個(gè)不相等的實(shí)根，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，恒成立，即恒成立，而，，即恒成立，所以．（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增且，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增且，時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)?，為偶函?shù)，在單調(diào)遞減，的值域?yàn)椋?，不等式的解集為．?）令，則原方程可化為，由（2）知且方程僅有一根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，關(guān)于的方程有4個(gè)不相等的實(shí)根，關(guān)于的方程在上有2個(gè)不相等的實(shí)根，記，則即解得．【典例2】（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)若，求函數(shù)在，的值域；(2)令，則，已知函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，由二次函?shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為，則函數(shù)的值域?yàn)椋?），令，由于，則，則問題等價(jià)為在上有零點(diǎn)，即在上有解，即，令，則，則，則由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．【典例3】（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)子集，若存在，使得成立，則稱是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，例如的“不動(dòng)點(diǎn)”滿足，即的“不動(dòng)點(diǎn)”是.設(shè)函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；(2)若函數(shù)在上不存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題目給出的“不動(dòng)點(diǎn)”的定義，可知：當(dāng)時(shí)，，得，所以，所以，所以函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)為.（2）根據(jù)已知，得在區(qū)間上無解，所以在上無解，令，，所以，即在區(qū)間上無解，所以在區(qū)間上無解，設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故所以或，所以或，又因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，所以，則綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【變式1】（2023春·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的值；(2)若方程有解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知可得，.因?yàn)闉镽上的偶函數(shù)，所以，即，即恒成立，所以，，解得.（2）由（1）知，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，即，所以.因?yàn)榉匠逃薪?，即有解，所?【變式2】（2023春·湖南株洲·高一株洲二中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)是偶函數(shù).(1)求的值；(2)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，有，即對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，因?yàn)椴缓銥?，所以.（2）由(1)得，則方程有解，即方程有解，又由在上單調(diào)遞增，且，所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，令，且，方程化為，由在R上單調(diào)，即方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，.令，則與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且所以.【變式3】（2