計(jì)算機(jī)組成原理數(shù)據(jù)與文字的表示方法

第二章運(yùn)算方法與運(yùn)算器

運(yùn)算方法和運(yùn)算器本章內(nèi)容：2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法2.2定點(diǎn)加法、減法運(yùn)算2.3定點(diǎn)乘法運(yùn)算2.4定點(diǎn)除法運(yùn)算2.5定點(diǎn)運(yùn)算器的組成2.6浮點(diǎn)運(yùn)算方法和浮點(diǎn)運(yùn)算器本章小結(jié)運(yùn)算方法和運(yùn)算器2.1數(shù)據(jù)與文字的表示方法2.1.1數(shù)據(jù)格式2.1.2數(shù)的機(jī)器碼表示2.1.3字符與字符串的表示方法2.1.4漢字的表示方法2.1.5校驗(yàn)碼數(shù)據(jù)與文字的表示方法無(wú)論什么類型的信息，在計(jì)算機(jī)內(nèi)部都是以二進(jìn)制編碼形式表示的。每個(gè)數(shù)都可以表示成按“權(quán)”展開的多項(xiàng)式十進(jìn)制346.79=3×102+4×101+6×100+7×10-1+9×10-2二進(jìn)制1011.101=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3八進(jìn)制107.63=1×82+0×81+7×80+6×8-1+3×8-2十六進(jìn)制1CB.D8=1×162+12×161+11×160+13×16-1+8×16-2幾進(jìn)制的表示 （1）B,D,H,O的使用 （2）下標(biāo)法B:binary(二進(jìn)制)D:decimal（十進(jìn)制）O:octal（八進(jìn)制）H:hexadecimal（十六進(jìn)制）如：346.79D，1011.101B107.63O,1CB.D8H二、八、十六和十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

111100

01

02

03

04

05

06

07

10

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14

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16

170

1

2

3

4

5

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7

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9

A

B

C

D

E

F0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

151.二進(jìn)制、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制(1011.101)2=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1

+0×2-2+1×2-3=(11.625)10(3D.B)16=3×161+13×160+11×16-1=(61.6875)102.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制 整數(shù)部分：除2取余，倒序取 小數(shù)部分：乘2取整，順序取3.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制、十六進(jìn)制

類似于十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，只是權(quán)不同(20.59375)10轉(zhuǎn)換成2進(jìn)制為？二進(jìn)制與十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換（16＝24）

011010011010.11101010011069A.EA6二進(jìn)制與八進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換（8＝23）

011010011010.111010100110

3232.7246目標(biāo)：11010011010.11101010011二、八、十六和十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)0000

0001

0010

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0100

0101

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0111

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1001

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111100

01

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170

1

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3

4

5

6

7

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9

A

B

C

D

E

F0

1

2

3

4

5

6

7

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9

10

11

12

13

14

15二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則加法規(guī)則0+0=00+1=11+0=11+1=0減法規(guī)則0-0=00-1=11-0=11-1=0乘法規(guī)則

0×0=00×1=01×0=01×1=1除法規(guī)則0÷1=01÷1=11101111111=10000000-1=27-10.1111111=1.0000000-0.0000001=1-2-77個(gè)17個(gè)0小數(shù)點(diǎn)后7位小數(shù)點(diǎn)后7位2.1.1數(shù)據(jù)格式

計(jì)算機(jī)中常用的數(shù)據(jù)表示格式有兩種：（1）定點(diǎn)格式（2）浮點(diǎn)格式

定點(diǎn)格式（小數(shù)點(diǎn)位置固定）容許的數(shù)值范圍有限，但要求的處理硬件比較簡(jiǎn)單。

浮點(diǎn)格式（小數(shù)點(diǎn)位置浮動(dòng)）容許的數(shù)值范圍很大，但要求的處理硬件比較復(fù)雜。數(shù)據(jù)格式1.

定點(diǎn)數(shù)的表示方法定點(diǎn)表示：約定機(jī)器中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)位置是按約定固定不變的，小數(shù)點(diǎn)就不再使用記號(hào)“.”來表示。定點(diǎn)數(shù)據(jù)的形式：純小數(shù)或純整數(shù)。

（設(shè)：定點(diǎn)數(shù)表示為ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

其中：ｘ0符號(hào)位，0代表正號(hào)，1代表負(fù)號(hào)）小數(shù)點(diǎn)的位置約定在符號(hào)位x0的后面（不顯示）小數(shù)點(diǎn)的位置約定在數(shù)值位xn的后面（不顯示）定點(diǎn)數(shù)的表示方法定點(diǎn)數(shù)例例：X=+1010110.純整數(shù)：X=01010110.正數(shù)，符號(hào)位取0Y=-1101001.純整數(shù)：Y=11101001.負(fù)數(shù)，符號(hào)位取1X=+0.11011Y=-0.10101符號(hào)位取0純小數(shù)：X=0.11011符號(hào)位取1純小數(shù)：X=1.10101純整數(shù)：X=01010110.符號(hào)位取0純整數(shù)：Y=11101001.符號(hào)位取1符號(hào)位取0純小數(shù)：X=0.11011符號(hào)位取1純小數(shù)：X=1.10101注意到：無(wú)論是整數(shù)或是小數(shù)，在機(jī)器數(shù)的表示中，都不出現(xiàn)小數(shù)點(diǎn)“.”,只是約定其位置。定點(diǎn)數(shù)例(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

各位均為0時(shí)最??；各位均為1時(shí)最大)純小數(shù)的表示范圍：0≤|ｘ|≤1－2－n

(2.1)

純整數(shù)的表示范圍為: 0≤|ｘ|≤2n－1(2.2)

目前計(jì)算機(jī)中多采用定點(diǎn)純整數(shù)表示，因此將定點(diǎn)數(shù)表示的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為整數(shù)運(yùn)算。

定點(diǎn)數(shù)的表示方法2、浮點(diǎn)數(shù)的表示方法例：156.78 =15.678×101

=

1.5678×102

=0.15678×103=M×RE其中：M為尾數(shù)；R為基數(shù)；E為階碼（指數(shù)）。二進(jìn)制數(shù)在定點(diǎn)計(jì)算機(jī)中，一般約定:尾數(shù)|M|<1.0，并按此原則確定各數(shù)據(jù)的浮點(diǎn)表示格式。∴上例+156.67=0.15678×103

（規(guī)格化表示法）同理：對(duì)于二進(jìn)制數(shù)+1011.1101=+0.10111101×2+4

=0.10111101×2+100=M×RE那么，計(jì)算機(jī)中究竟采用哪種數(shù)據(jù)形式？顯然存在多種數(shù)據(jù)形式浮點(diǎn)數(shù)的表示方法浮點(diǎn)數(shù)表示可見： 一個(gè)機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)由階碼E和尾數(shù)M及其符號(hào)位組成。約定：尾數(shù)M用定點(diǎn)小數(shù)表示，給出有效數(shù)字的位數(shù)，M決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示精度；

階碼E：用整數(shù)形式表示，指明小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的位置，其決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍。早期計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)的一般形式為：

浮點(diǎn)數(shù)表示按照IEEE754的標(biāo)準(zhǔn)，32位浮點(diǎn)數(shù)和64位浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)格式為：其中：Ｓ=浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。

Ｍ=尾數(shù)，23位，用純小數(shù)表示。Ｅ=階碼，8位，階符采用隱含方式，即采用移碼方式來表示正負(fù)指數(shù)。

其中：Ｓ=浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。

Ｍ=尾數(shù)，52位，用純小數(shù)表示。Ｅ=階碼，11位，階符采用隱含方式，即采用移碼方式來表示正負(fù)指數(shù)。

浮點(diǎn)數(shù)表示幾點(diǎn)注釋：

為了提高數(shù)據(jù)表示精度，當(dāng)尾數(shù)值不為0時(shí)，尾數(shù)域的最高有效位應(yīng)為1，否則通過修改階碼同時(shí)左右移小數(shù)點(diǎn)的辦法，使其變成這一表示形式，這稱為浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化表示。浮點(diǎn)數(shù)所表示的范圍顯然遠(yuǎn)比定點(diǎn)數(shù)大。以下兩種情況計(jì)算機(jī)都把該浮點(diǎn)數(shù)看成零值，稱為機(jī)器零。⑴當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)M為0；（不論其階碼E為何值）⑵當(dāng)階碼E的值＜Emin值時(shí)。（不管其尾數(shù)M為何值）

IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中，一個(gè)規(guī)格化的32位浮點(diǎn)數(shù)x的真值可表示為x=(-1)S×(1.M)×2E-127e=E-127IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中，一個(gè)規(guī)格化的64位浮點(diǎn)數(shù)x的真值可表示為x=(-1)S×(1.M)×2E-1023e=E-1023因?yàn)橐?guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)域最左位（最高有效位）總是1，故這一位經(jīng)常不予存儲(chǔ)浮點(diǎn)數(shù)表示[解:]首先分別將整數(shù)和分?jǐn)?shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：20.59375＝10100.10011然后移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，使其在第1，2位之間10100.10011＝1.010010011×24小數(shù)點(diǎn)被左移了4位，于是得到：e＝4

尾符

S＝0，階碼

E＝4＋127＝131，尾數(shù)

M＝010010011最后得到32位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制存儲(chǔ)格式為：01000001101001001100000000000000＝(41A4C000)16此“1”被隱藏[例]：將十進(jìn)制數(shù)20.59375轉(zhuǎn)換成位浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制格式來存儲(chǔ)。

3.十進(jìn)制數(shù)串的表示方法十進(jìn)制數(shù)串在計(jì)算機(jī)內(nèi)主要有兩種表示形式：

1.字符串形式字符串形式：每一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位或符號(hào)位都用一個(gè)字節(jié)存放。如：+12

+12-38-382.壓縮的十進(jìn)制數(shù)串形式壓縮的十進(jìn)制數(shù)串形式：一個(gè)字節(jié)存放兩個(gè)十進(jìn)制的數(shù)位。如：+123、-12

123C(＋123)012D(－12)十進(jìn)制數(shù)的表示方法2.1.2數(shù)的機(jī)器碼表示

基本思想：把符號(hào)位和數(shù)字位一起編碼來表示一個(gè) 實(shí)際的數(shù)。主要表示方法有：原碼、補(bǔ)碼、反碼、移碼等。各種編碼表示的數(shù)稱為機(jī)器數(shù)或機(jī)器碼；其對(duì)應(yīng)的真實(shí)數(shù)值稱為該編碼對(duì)應(yīng)的真值。數(shù)的機(jī)器碼表示對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)

X=±Xn-1…X1X0，則原碼的定義是:對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)，其原碼形式為：[ｘ]原=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0,注意到：原碼機(jī)器中“+0”、“-0”有兩種形式：對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)：[+0]原=0000…0.[-0]原=1000…0.數(shù)的原碼表示ｘ2n＞ｘ≥02n－ｘ＝2n＋|ｘ|0≥ｘ＞－2n（2.8）符號(hào)數(shù)值1.原碼表示法一般情況下，對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)，其真值與原碼之間的轉(zhuǎn)換符合下面的規(guī)律：x=+ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝0ｘ1ｘ2…ｘn.x=-ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝1ｘ1ｘ2…ｘn.對(duì)于定點(diǎn)小數(shù)，其真值與原碼之間的轉(zhuǎn)換符合下面的規(guī)律：x=+0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝0.ｘ1ｘ2…ｘnx=-0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]原＝1.ｘ1ｘ2…ｘn數(shù)的原碼表示原碼的表示范圍是多少？則它能表示的數(shù)的范圍為[-(2n-1),2n-1]假設(shè)[ｘ]原=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0正的最大值原碼形式為：負(fù)的最小值原碼形式為：011……1111……1

原碼表示法的主要特點(diǎn)是簡(jiǎn)單、易懂，但它的最大缺點(diǎn)是：由于數(shù)值部分采用絕對(duì)值表示，因而使得加減法運(yùn)算比較復(fù)雜，而加減法運(yùn)算正是計(jì)算機(jī)中最常使用的運(yùn)算。所以，必須探討解決方法——補(bǔ)碼則正是一種解決方法。數(shù)的原碼表示例如，假設(shè)用5位原碼來表示，x=+1001則[x]原=01001y=-1001則[y]原=110012.反碼表示法二進(jìn)制數(shù)求反：就是二進(jìn)制的各位數(shù)碼0變?yōu)?，1變?yōu)?。即：若xi=0，則=1。若xi=1，則=0.對(duì)定點(diǎn)整數(shù)，反碼表示的定義為：數(shù)的反碼表示正數(shù)的反碼就是本身負(fù)數(shù)的反碼則是符號(hào)位為1，數(shù)值位求反。x2n

>x≥0

(2n+1-1)+x0≥

x≥-2n(2.13)_例如，假設(shè)用5位反碼來表示，x=+1001則[x]反=01001y=-1001則[y]反=10110注意到：機(jī)器中反碼“+0”、“-0”有兩種形式：對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)：[+0]反=0000…0.[-0]反=1111…1.反碼的表示范圍是多少？則它能表示的數(shù)的范圍為[-(2n-1),2n-1]假設(shè)[ｘ]反=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0正的最大值原碼形式為：負(fù)的最小值原碼形式為：011……1100……0一般情況下，對(duì)于定點(diǎn)整數(shù)，其真值與反碼之間的轉(zhuǎn)換符合下面的規(guī)律：x=+ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]反＝0ｘ1ｘ2…ｘn.x=-ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]反＝1ｘ1ｘ2…ｘn.對(duì)于定點(diǎn)小數(shù)，其真值與反碼之間的轉(zhuǎn)換符合下面的規(guī)律：x=+0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]反＝0.ｘ1ｘ2…ｘnx=-0.ｘ1ｘ2…ｘn[ｘ]反＝1.ｘ1ｘ2…ｘn數(shù)的原碼表示3.補(bǔ)碼表示法

補(bǔ)碼的概念（以鐘表對(duì)時(shí)為例）

假設(shè)現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為4點(diǎn)正；而有一只表已經(jīng)7點(diǎn)了，為了校準(zhǔn)時(shí)間，可以采用兩種方法：一是將時(shí)針退7-4=3格；一是將時(shí)針向前撥12-3=9格。顯然：這兩種方法都能對(duì)準(zhǔn)到4點(diǎn)，由此可以看出，減3和加9是等價(jià)的。所以稱：當(dāng)模數(shù)Mod=12時(shí)，9是(-3)補(bǔ)碼。用數(shù)學(xué)公式表示：-3＝+9 （mod12）“模”表示被丟掉的數(shù)值。上式在數(shù)學(xué)上稱為同余式。

∴設(shè)某數(shù)為x，當(dāng)Mod=12時(shí)，x-3=x+9、x+7=x-5都是等價(jià)的。從這里可以得到一個(gè)啟示，就是負(fù)數(shù)用補(bǔ)碼表示時(shí)，可以把減法轉(zhuǎn)化為加法。數(shù)的補(bǔ)碼表示補(bǔ)碼的定義：1、定點(diǎn)整數(shù)正數(shù)的補(bǔ)碼就是本身負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼需作運(yùn)算數(shù)的補(bǔ)碼表示x2n

>x≥0

2n+1+x=2n+1-|x|0≥

x≥-2n(mod

2n+1)

注：上式機(jī)器數(shù)的位數(shù)為n+1根據(jù)補(bǔ)碼定義，求負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼時(shí)需作一次減法運(yùn)算，這顯然不是補(bǔ)碼方法的初衷。后面將介紹反碼表示法可以解決負(fù)數(shù)的求補(bǔ)問題。例：已知 x=+10111, y=-11011,求[x]補(bǔ)、[y]補(bǔ)(n=5)按定義：[x]補(bǔ)=010111 [y]補(bǔ)=25+1+y=1000000-11011=100101數(shù)的補(bǔ)碼表示100000011011100101數(shù)的補(bǔ)碼表示注：0的補(bǔ)碼只有一種形式

對(duì)于定點(diǎn)整數(shù):[＋0]補(bǔ)＝[－0]補(bǔ)＝00000.

因此，補(bǔ)碼的表示范圍相對(duì)于原碼、反碼來講多一種，n+1位定點(diǎn)整數(shù)可以表示-2n。對(duì)定點(diǎn)整數(shù)，反碼表示的定義為：

比較兩個(gè)公式，可以得出定點(diǎn)整數(shù)的補(bǔ)碼與反碼的關(guān)系，找出利用反碼求定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼的方法。當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)，[X]補(bǔ)=[X]反+1x2n

>x≥0

(2n+1-1)+x0≥

x≥-2n(2.13)_數(shù)的補(bǔ)碼與反碼關(guān)系x2n

>x≥0

2n+1+x=2n+1-|x|0≥

x≥-2n(mod

2n+1)

對(duì)一個(gè)定點(diǎn)整數(shù)來說，一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，可以通過將該數(shù)符號(hào)位置1，其余取反，然后在最末位加1的方法直接獲得。數(shù)的補(bǔ)碼與反碼關(guān)系補(bǔ)碼的表示范圍是多少？則它能表示的數(shù)的范圍為[-2n,2n-1]假設(shè)[ｘ]補(bǔ)=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0正的最大值原碼形式為：負(fù)的最小值原碼形式為：011……1100……0正負(fù)整數(shù)的補(bǔ)碼與真值的關(guān)系假設(shè)[ｘ]補(bǔ)=ｘnｘn-1…ｘ1ｘ0則其補(bǔ)碼表示的真值為：x=-2nxn+∑2ixii=0n-1例3：已知[x]補(bǔ)=010011011求x=？例4：已知[x]補(bǔ)=110011011求x=？

求一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼的另一種有效的轉(zhuǎn)換方法：

對(duì)于負(fù)數(shù)，將原碼的符號(hào)位不變（或置真值的符號(hào)位至1），數(shù)值部分由低位向高位轉(zhuǎn)換，對(duì)開始遇到的0和第一個(gè)1取其原碼，以后的各位均取反。例：