調(diào)和函數(shù)及其在物理學(xué)中的應(yīng)用

調(diào)和函數(shù)及其在物理學(xué)中的某些應(yīng)用設(shè)是個(gè)解析函數(shù)，，令，則稱和是互為共軛函數(shù).由于和的偏導(dǎo)數(shù)滿足柯西—黎曼方程，，若和的二階導(dǎo)數(shù)都存在，且有關(guān)和的二階混合偏導(dǎo)數(shù)是可互換的，對(duì)柯西—黎曼方程求導(dǎo)數(shù)，即得，因此，和都滿足二維的拉普拉斯(Laplace)方程..我們稱滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù).后來，我們會(huì)懂得，解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù).這里我們自然要問：給定調(diào)和函數(shù)或，我們能否找到一種解析函數(shù)，使得所給的或恰是的實(shí)部或虛部？答案是也許的.若給定的函數(shù)或是滿足拉普拉斯方程的初等函數(shù)的一種簡樸組合，則這樣的解析函數(shù)實(shí)存在的.這時(shí)用下述米爾—湯姆松(Milne-Tomson)措施找是非常以便的.由于，，，我們可將這等式當(dāng)作是兩個(gè)獨(dú)立變量和的形式恒等式，置，有=.根據(jù)柯西—黎曼方程，，因此，若將和分別記為和，則我們有.將上式積分之，我們有，（1—36）其中是個(gè)任意常數(shù).類似地，若是給定的，令，，我們能證明：,（1—37）其中是個(gè)任意常數(shù).例如，設(shè),則，.因此，故.下面我們將討論可用調(diào)和函數(shù)描述的某些物理現(xiàn)象.定狀態(tài)的熱傳導(dǎo)方程問題我們懂得，熱通過物體的傳導(dǎo)是能量被轉(zhuǎn)移.在物體內(nèi)每一點(diǎn)處熱能流動(dòng)的時(shí)間比率能用向量來表達(dá).在一般狀況下，這個(gè)向量的長度和方向不隨點(diǎn)的位置而變化，并且還隨時(shí)間而變化.我們僅限于討論穩(wěn)定狀態(tài)問題，即著熱流響亮與時(shí)間無關(guān).這樣，在物體內(nèi)的熱傳導(dǎo)強(qiáng)度就由時(shí)間坐標(biāo)的向量函數(shù)給出.這樣的函數(shù)通稱為向量場(chǎng).在目前狀況下，這個(gè)向量場(chǎng)成為熱流密度場(chǎng)，記為.由于它與復(fù)變理論有緊密地聯(lián)絡(luò)，我們這里只討論二維熱流問題，這就是說，這向量場(chǎng)中的向量都平行于某一種平面∏，并且在垂直于∏的任何一條直線上所有的點(diǎn)處，這個(gè)場(chǎng)中的向量（就大小與方向來說）都是相等的.顯然，在所有的平行于∏的平面內(nèi)，這個(gè)向量場(chǎng)的情形都完全相似，因此，這個(gè)向量場(chǎng)可以由位于平面∏內(nèi)的向量所構(gòu)成的一種平面向量場(chǎng)來完全表達(dá)出來.說到平面內(nèi)的一條曲線，是意味著一種柱面，而一種區(qū)域是意味著一種柱體.我們把平面∏當(dāng)作復(fù)平面.目前我們來討論二維未定熱流問題，其邊界去面如圖1.5所示.這平板的上下界面被假定是完全絕緣的，沒有熱量被這絕緣表面所吸取或散發(fā)，這平板側(cè)面界面的某部分曲面余熱原湘蓮（它發(fā)出熱能），區(qū)域的曲面是絕緣的.熱能不也許流進(jìn)人和絕緣的曲面.這樣，熱能密度向量獎(jiǎng)杯假定是與任何絕緣邊界向切的.由于假定熱源和熱溝的性質(zhì)與坐標(biāo)軸是無關(guān)的，垂直于平面，因此，平板內(nèi)的向量場(chǎng)僅依賴于變量和.平板上、下街面的絕緣性保證只有沿軸和軸的分量，就是說，有分量和.于是便可表到達(dá)下述復(fù)熱流密度形式：.（1—38）其中，和也都是復(fù)數(shù)的函數(shù).由此可見，二維熱能穩(wěn)定熱傳導(dǎo)問題只與復(fù)數(shù)有關(guān).由于通過任何曲線的熱能量是單位時(shí)間內(nèi)通過該曲線的熱能的流量，則通過微分弧長的微分熱流量為，（1—39）其中，是在的外法線方向上的分量；積分（1—40）表達(dá)向量場(chǎng)通過曲線的熱流量，其中是曲線的弧長的微分.假如用和表達(dá)沿曲線的微分，則，其中表達(dá)切于曲線的單位向量.若用表達(dá)垂直于曲線的單位向量，則，于是，，因此，（1—40）是可以寫成.（1—41）熱流量的面密度，記通過曲線的熱流量對(duì)這閉曲線所圍面積的比值，當(dāng)區(qū)域收縮成點(diǎn)時(shí)所取的極限值，稱為向量場(chǎng)在點(diǎn)的散度：.（1—42）不過，根據(jù)格林(Green)定理，有.（1—43）顯然.（1—44）若在點(diǎn)處，，則稱點(diǎn)為流源（有時(shí)只有在的情形才稱為流源，而使的點(diǎn)稱為流溝）.假如在一種區(qū)域內(nèi)的每一種點(diǎn)處均有=0.（1—45）那么便說，向量場(chǎng)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是一種管向量.由上述格林定理可知，向量場(chǎng)在區(qū)域內(nèi)是一種管量場(chǎng)的充要條件是，對(duì)區(qū)域內(nèi)任何若當(dāng)區(qū)域的邊界曲線,其流量都等于零，即.（1—46）方程（1-45）當(dāng)且僅當(dāng)二維穩(wěn)定熱密度向量在既沒有熱源有無熱溝的地方被滿足.我們熟知，熱能在一介質(zhì)中的傳導(dǎo)率與在這介質(zhì)中出現(xiàn)的溫差有關(guān)，也與產(chǎn)生著溫差間的距離有關(guān)，也就是說，與溫度有關(guān)距離的變化率有關(guān).我們繼續(xù)假定二維熱流的熱流向量有分量和，設(shè)是在可導(dǎo)熱介質(zhì)中的溫度，則能闡明向量的分量與之間成立著下列關(guān)系式：;（1—47a）.（1—47b）這里是一常數(shù)，稱為熱傳導(dǎo)系數(shù)，它的值與所考慮的介質(zhì)有關(guān).方程（1-47a,b）等價(jià)于“是負(fù)乘以溫度的梯度”.溫度是作為“勢(shì)函數(shù)”，運(yùn)用方程（1-47a,b），由它可計(jì)算和.借助這些關(guān)系式，方程（1-45）可寫成，或者.（1—48）因而，在穩(wěn)定狀態(tài)條件下，在沒有源和溝的地方，導(dǎo)體內(nèi)的溫度是一種調(diào)和函數(shù).由于溫度是一種調(diào)和函數(shù)，于是，在對(duì)應(yīng)于導(dǎo)體內(nèi)部的平面的區(qū)域內(nèi)，它被當(dāng)作某一解析函數(shù)的實(shí)部.這解析函數(shù)記為,它就是一般所說的復(fù)溫度.我們有=+.（1—49）這樣，復(fù)溫度的實(shí)部就是實(shí)際的溫度.這復(fù)溫度的虛部，即，我們稱它為流函數(shù)，由于它與在流體中描述質(zhì)點(diǎn)流動(dòng)的流線的函數(shù)相類似.稱=常數(shù)的曲線為等勢(shì)線，稱=常數(shù)的曲線為流線，輕易證明這兩族曲線是互相正交的.借助（1-47a,b），復(fù)熱流密度可通過溫度改寫成：（）.（1—50）由于是一種解析函數(shù)，則，.于是，我們有，（1—51）.（1—52）二、流體流動(dòng)問題由于應(yīng)用于熱傳導(dǎo)的許多概念可直接搬到流體力學(xué)中來，因此，有關(guān)這個(gè)問題我們能描述得較簡略某些.假設(shè)我們討論的是“理想流體”，就是說它是不可壓縮的（它的質(zhì)量密度是不變化的）和沒有粘性的（沒有內(nèi)部摩擦的損耗）.并且，我們假定流動(dòng)是處在穩(wěn)定狀態(tài)的，即流體內(nèi)任何一點(diǎn)的流動(dòng)速度與時(shí)間是無關(guān)的.像熱的流動(dòng)同樣，流體流動(dòng)從流源開始，到流溝終止.若一不可滲漏的結(jié)實(shí)的障礙物置于運(yùn)動(dòng)的物體中，這是流體將沿物體的切線方向運(yùn)動(dòng)，很像熱沿平行于絕緣邊界的流動(dòng).上一段中，我們僅限于討論二維熱流，熱的傳導(dǎo)是平行于平面，且只與變量和有關(guān).此地，我們僅限于討論平行于平面的二位熱流.流動(dòng)速度是向量場(chǎng)，一般依賴于坐標(biāo)和，它類似于熱流密度.沿軸和軸的分量是和.速度是下述定義的復(fù)速度聯(lián)絡(luò)在一起的向量：.（1—53）這式子與復(fù)熱流密度相似.設(shè)是一條位于流體流動(dòng)區(qū)域的曲線，積分（1—54）叫做向量沿曲線的線積分，其中，是在曲線的切線方向的投影.稱沿著一條閉曲線的積分為環(huán)量.環(huán)量的面密度，即沿閉曲線的環(huán)量對(duì)這曲線所謂面積A的比值,當(dāng)A趨于一點(diǎn)時(shí)所獲得極限值，叫做這向量場(chǎng)在點(diǎn)處的旋度或渦量：；（1—55）顯然.（1—56）向量場(chǎng)中使的點(diǎn)，叫做這向量場(chǎng)的渦旋點(diǎn)，或者簡稱為渦點(diǎn).假如在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)處均有（1-57）的話，那么便說，向量場(chǎng)在這一區(qū)域內(nèi)事無旋場(chǎng)，或者是位場(chǎng).由格林定理（1-58）可知，區(qū)域是位場(chǎng)的充要條件是對(duì)內(nèi)任何若當(dāng)區(qū)域的邊界曲線的環(huán)量都等于零.是向量場(chǎng)是一種位場(chǎng)的條件（1-57）闡明了體現(xiàn)式是某一種函數(shù)的微分，這個(gè)函數(shù)叫做向量場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，或者叫位能.從關(guān)系式中可以得出，（1-59a），（1-59b）或者，完全同樣，可以說，速度是速度勢(shì)的梯度，即.假如向量場(chǎng)在某一種區(qū)域內(nèi)是一種管向量，則在區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)處均有,（1-60）即在區(qū)域內(nèi)二維穩(wěn)定速度向量既沒有流源也沒有流溝.借助關(guān)系式（1-59a,b），方程(1-60)可寫成,（1-61）這闡明，對(duì)二維穩(wěn)定速度場(chǎng)，再?zèng)]有源流和沒有渦點(diǎn)的地方，速度勢(shì)是一種調(diào)和函數(shù).目前我們確定一種解析函數(shù)，其實(shí)部為，其虛部，稱為流函數(shù).這樣=+（1-62）稱為復(fù)勢(shì).復(fù)勢(shì)與流動(dòng)速度之間有簡樸的關(guān)系.從方程（1-62）、（1-59a,b）和（1-53），我們有.（1-63）三、靜電場(chǎng)問題在靜電學(xué)中，電荷是穩(wěn)定的，正電荷為電流的源，負(fù)電荷為電流動(dòng)的溝.換句話說，電的流動(dòng)從正電荷出發(fā)，而被負(fù)電荷所吸取.我們討論Oxy平面的靜電場(chǎng).設(shè)D是電流密度向量，E是電場(chǎng)向量，它們?cè)趚軸和y軸的分量分別是和，和，它們分別對(duì)應(yīng)于下述復(fù)變函數(shù)：（1-64a）（1-64b）函數(shù)，分別稱為復(fù)電流密度和復(fù)電場(chǎng)，且.這里是正常數(shù)，稱為介電常數(shù).線積分表達(dá)靜電場(chǎng)的力沿著路線所作的功，其中表達(dá)向量在曲線的切線方向的投影.向量E的沿著任何一條閉路線的環(huán)量都等于零，由于靜電場(chǎng)的維持并不需要花費(fèi)能量.實(shí)際上，假如沿著某一條閉曲線的環(huán)量不等于零，那么，朝一定的方向繞行這路線無限多次，我們便會(huì)得到一種無限的能源（永動(dòng)機(jī)）了.由此可知，在靜電場(chǎng)內(nèi)的任何一點(diǎn)處均有.（1-65）因此，靜電場(chǎng)總是一種位場(chǎng)，這就是說，存在一種單值函數(shù)，使得，；（1-66a），，（1-66b）其中稱為靜電場(chǎng)的電位.假如在區(qū)域D內(nèi)沒有電荷，那么在D內(nèi)到處有.（1-67）借助關(guān)系式（1-66），方程（1-67）可寫成.（1-68）這闡明，對(duì)二維穩(wěn)定靜電場(chǎng)，在沒有電荷的區(qū)域內(nèi)，電位是一種調(diào)和函數(shù).在這區(qū)域內(nèi)，存在一種解析函數(shù)，其實(shí)部為；其虛部稱為力函數(shù).函數(shù)（1-69）稱為復(fù)電位.于是，由方程（1-64）、（1-66）和（1-69），我們有和.（1-70）其他如物質(zhì)擴(kuò)散和靜磁場(chǎng)，調(diào)和函數(shù)也是有用的.四、滲流問題液體，氣體或含氣液體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)叫滲流或滬流.多孔介質(zhì)可作為具有大量互相結(jié)合的孔穴或交叉裂縫的剛體.事實(shí)土壤顆粒的形狀和大小，以及它們排列的狀況是很復(fù)雜的，是沒有規(guī)律的，因此在研究多孔介質(zhì)的物理性質(zhì)時(shí)，我們只能按照某些平均的性質(zhì)來判斷它們的滲流性態(tài).在研究滲流時(shí)，并不注意流體在孔穴或裂縫中的運(yùn)動(dòng)形式，也不計(jì)及孔穴或裂縫的形狀，而只確定滲流流動(dòng)的平均性質(zhì)，如速度、壓力和流量等.在土壤的滲流性能中，孔量系數(shù)m是一種極重要的特性量：，（1-71）其中，表達(dá)試樣的總體積，是試樣中孔穴的體積.流體在土壤等多孔介質(zhì)的孔穴或巖石的縫隙里的流動(dòng)現(xiàn)象是極復(fù)雜的，由于孔穴和縫隙的分布是極復(fù)雜的、是沒有規(guī)律的.因此，我們不能確定流體在孔穴或縫隙中任何一點(diǎn)處的速度，不過，我們有也許懂得多孔介質(zhì)中流體的平均流動(dòng)速度的大?。?，其中，表達(dá)通過小塊面積的實(shí)際流量，是這小塊面積中所有孔穴和裂縫的截面面積，即.（1-72）為便于研究，在研究滲透時(shí)，我們假定流體的運(yùn)動(dòng)充斥所有的空間，即充斥孔穴、裂縫和介質(zhì)骨骼所占的空間.這種把持續(xù)地充斥著介質(zhì)的骨骼和孔穴的體積的同一流體運(yùn)動(dòng)，稱為假想滲流.我們就用這種假想滲流來替代多孔介質(zhì)中的真實(shí)滲流.在多孔介質(zhì)中任意指定的一塊面積上，假想滲流的流量等于通過這塊面積的真實(shí)流量.設(shè)通過面積的流體的實(shí)際流量為，我們定義假想滲流的速度為，因此.（1-73）我們僅限于討論二維穩(wěn)定滲流，它們對(duì)應(yīng)于那些平行于一種平面的空間滲流.取這個(gè)平面為xy平面.在滲流區(qū)的每一種點(diǎn)z處均有一種速度向量V，其在x軸和y軸的分量為和，其對(duì)應(yīng)的復(fù)速度為.（1-74）根據(jù)滲流理論中的達(dá)西（Darcy）定律，若多孔介質(zhì)是勻質(zhì)的和各向同性的，則，（1-75a），（1-75b）其中，是在點(diǎn)處的地下水的水位標(biāo)高，簡稱為水頭，k稱為滲流系數(shù)，或稱為水動(dòng)力傳導(dǎo)系數(shù)，它是常數(shù).假定多孔介質(zhì)是不可變形的，而流體是不可壓縮的，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，我們能證明其持續(xù)性方程為，（1-76）將方程（1-75a，b）代入（1-76），我們有，或者.（1-77）這表明，若多孔介質(zhì)是勻質(zhì)的、各向同性的和不可變形的，又假設(shè)多孔介質(zhì)中的流體是不可壓縮的，則水頭是一種調(diào)和函數(shù).于是，在上述滲流區(qū)域內(nèi)，存在一種解析函數(shù)，其實(shí)部，其虛部稱為流函數(shù).函數(shù)（1-78）稱為滲流復(fù)勢(shì).由方程（1-78）和（1-75a，b），則得，（1-79a），（1-79b），（1-79c）其