數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的問題設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的問題設(shè)計(jì)上海市靜安教育學(xué)院任升錄作者簡(jiǎn)介：任升錄，男，1967年生，中共黨員，數(shù)學(xué)高級(jí)教師，靜安區(qū)教育學(xué)院數(shù)學(xué)教研員。1988年大學(xué)畢業(yè)，1994年獲華東師大數(shù)學(xué)教育和教學(xué)評(píng)價(jià)專業(yè)碩士學(xué)位。自1998年起先后開設(shè)過校、區(qū)、市各級(jí)公開課與教學(xué)研究課，積極參加上海二期課改教學(xué)試驗(yàn)，參加《<上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)>解讀》課題組工作。

2003年獲上海市說課比賽一等獎(jiǎng)。作為上海市高中青年教師數(shù)學(xué)教學(xué)研究組成員，多次參加全市各區(qū)的課堂教學(xué)評(píng)議活動(dòng)。自1993年起參加過國(guó)家級(jí)課題2項(xiàng)，市級(jí)課題3項(xiàng)，區(qū)級(jí)課題1項(xiàng)，除一項(xiàng)正在進(jìn)行外均獲得相應(yīng)級(jí)別三等獎(jiǎng)以上獎(jiǎng)項(xiàng)。在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》、《數(shù)學(xué)教學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》、《試題與研究》等刊物公開發(fā)表

文章近二十篇，并有多篇被人大復(fù)印期刊《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》轉(zhuǎn)載。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要問題。切入點(diǎn)恰當(dāng)、角度新穎的問題有利于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，能夠揭示學(xué)生在認(rèn)知活動(dòng)中的矛盾，激活學(xué)生的思維狀態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)探究的欲望，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效益。數(shù)學(xué)課堂的問題需要設(shè)計(jì)。問題要圍繞教學(xué)目標(biāo)展開。教師提出的問題應(yīng)以學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)，符合他們的心理年齡，他們能夠理解問題的指向，有積極回答的愿望。問題的難易要考慮到不同層次水平學(xué)生的實(shí)際需要，觸及他們的最近發(fā)展區(qū)，不同類型的問題要分配得當(dāng)。由知識(shí)之間的比較進(jìn)行問題設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是知識(shí)不斷積累和能力不斷提高的過程，新知識(shí)的學(xué)習(xí)是在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行的老枝發(fā)新芽，學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知識(shí)體系之中。設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)自己進(jìn)行新內(nèi)容的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生探究求知。在學(xué)習(xí)兩角和與差的正切公式時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了兩角和與差的正、余弦公式，教師通過問題“我們已經(jīng)知道是把兩角和與差的正弦、余弦用、的正弦、余弦來表示，請(qǐng)同學(xué)們思考怎樣用tan、tan來表示tan()呢？”引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)兩角和與差的正切公式?！渡虾Ｊ兄行W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（試行）要求我們：數(shù)學(xué)課程應(yīng)關(guān)注學(xué)生的生活、經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)體驗(yàn)，要從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的過程，每一個(gè)學(xué)生都從他們的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)世界出發(fā)，與課程內(nèi)容發(fā)生相互作用，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，有時(shí)會(huì)與相近的知識(shí)混淆，設(shè)計(jì)合理的問題可以給學(xué)生正確理解內(nèi)容提供幫助。指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)都是指數(shù)式，它們有聯(lián)系也有區(qū)別，在進(jìn)行指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)時(shí)，通過觀察在同一坐標(biāo)系內(nèi)y=2x,y=3x，y=10x的圖象的共同點(diǎn)，得出了的性質(zhì)，緊接著給出問題：y=2x,y=3x，y=10x這三個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量x取相同的值時(shí)，你能得到什么結(jié)論？這一開放性的問題打開了學(xué)生的思路，學(xué)生通過對(duì)問題的討論與回答，把冪函數(shù)的性質(zhì)“當(dāng)>0時(shí)在（0，+）上遞增，當(dāng)<0時(shí)在（0，+）上遞減”理解得更為清楚，也不需要再專門講指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別。又如“相等的向量”、“平行的向量”、“負(fù)向量”是向量概念學(xué)習(xí)中容易混淆的幾個(gè)概念，僅僅從概念本身講解概念，學(xué)生的印象不深，而且在這里過多糾纏它們的聯(lián)系與區(qū)別反而容易使學(xué)生糊涂。介紹概念之后，設(shè)計(jì)包含有關(guān)概念的問題，讓學(xué)生在解答問題的過程中體會(huì)概念的區(qū)別與聯(lián)系，教師在學(xué)生解答問題的過程中適時(shí)地進(jìn)行點(diǎn)撥，將會(huì)收到事半功倍的效果。問題：已知正六邊形ABCDEF中，以六個(gè)頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，寫出ABCDABCDEF（2）與向量平行的向量；（3）向量的負(fù)向量。由特殊例子到一般情形進(jìn)行問題設(shè)計(jì)從特殊的例子開始，由具體到抽象逐步深入，讓學(xué)生在解答的過程中發(fā)現(xiàn)共同的規(guī)律，使學(xué)生的思維始終處于積極主動(dòng)的狀態(tài)，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性。數(shù)學(xué)概念是高度抽象的，從特殊例子抽象到一般概念，可以降低學(xué)生理解的難度。例如數(shù)列極限的概念是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，先讓同學(xué)觀察幾個(gè)具體數(shù)列的變化趨勢(shì)，再抽象到一般數(shù)列的情形，使他們對(duì)數(shù)列極限概念有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。問題：請(qǐng)同學(xué)們觀察下列數(shù)列{an}，當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，an的變化趨勢(shì)如何？（1）1，（2）1，（3）1，（4）1，（5）1，（6）3，2，1，0，在教學(xué)中（1）、（2）同學(xué)能夠發(fā)現(xiàn)當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，an無限地趨近于0；對(duì)于（6）同學(xué)也能夠發(fā)現(xiàn)當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，an是同一個(gè)數(shù)1；對(duì)其它3個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)發(fā)生了爭(zhēng)議。借助數(shù)軸，教師分析了（1）、（2）兩個(gè)無窮數(shù)列的共同特征：當(dāng)n無限增大時(shí)an與0的距離具有越來越小的變化趨勢(shì)，因而an無限地趨近于0。數(shù)列（3）雖然時(shí)而為正時(shí)而為負(fù)，但它是漸趨穩(wěn)定的變化狀態(tài)，即當(dāng)n無限增大時(shí)數(shù)列{（1）n1/n}無限地趨近于0。至此，同學(xué)們對(duì)于（5）也搞清了變化趨勢(shì)。對(duì)于（4）教學(xué)中暫且不去討論，而是進(jìn)一步轉(zhuǎn)向概括五個(gè)數(shù)列的共同特征，請(qǐng)同學(xué)們一起參與討論，直至達(dá)到對(duì)數(shù)列的極限概念有了較為明確的認(rèn)識(shí)，再回過頭看（4），這個(gè)數(shù)列的極限不存在，使學(xué)生對(duì)極限概念的理解更準(zhǔn)確。根據(jù)學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行問題設(shè)計(jì)學(xué)生解決問題發(fā)生錯(cuò)誤，原因是復(fù)雜的，戴再平先生在《數(shù)學(xué)習(xí)題理論》（上海教育出版社1996年第二版）一書中對(duì)數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤進(jìn)行了分析，認(rèn)為有知識(shí)性、邏輯性、策略性、心理性等方面的錯(cuò)誤。對(duì)待學(xué)生已經(jīng)發(fā)生的錯(cuò)誤，僅給出正確解答是不夠的，還應(yīng)幫他分析原因，如果是比較普遍性的錯(cuò)誤，據(jù)此設(shè)計(jì)出相關(guān)的問題，讓學(xué)生解決了新問題之后，再回頭再看原來的錯(cuò)誤，學(xué)生往往有恍然大悟之感，收到較好的效果。例如，關(guān)于向量的數(shù)量積，筆者在教學(xué)中曾經(jīng)布置過這么個(gè)練習(xí)題：已知、都是非零向量，且+3與75垂直，4與72垂直，求與之間的夾角。部分同學(xué)的解答為：由(+3)(7-5)，（4）（72）得（+3）（75）=0，（4）（72）=0.即?－，得46=232.*即2=所以與同向。因此，與之間夾角為0。以上解答在*號(hào)之前都是正確的，但得出*的結(jié)論是把向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算混淆了，為了使學(xué)生能真正明白自己的錯(cuò)誤，我在課堂訂正作業(yè)時(shí)，設(shè)計(jì)了這樣的問題：下列命題是否正確，并說明理由.(1)=0=0或=0;(2)、是非零向量，22=02=。學(xué)生解決該問題并不存在困難，但解決了這個(gè)問題后，自己錯(cuò)在哪里教師已不必多說。經(jīng)過學(xué)生自己的體會(huì)，糾正理解上的錯(cuò)誤，比單純由教師就事論事直接訂正講解效果要好，如何實(shí)現(xiàn)新課程強(qiáng)調(diào)的讓學(xué)生體驗(yàn)、探索，如何關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，是實(shí)實(shí)在在地需要認(rèn)真研究的，只有教師認(rèn)識(shí)到這樣做的價(jià)值，才可能在教學(xué)中自覺地放手讓學(xué)生自己去體驗(yàn)感悟。根據(jù)學(xué)生提出的問題進(jìn)行問題再設(shè)計(jì)在課堂教學(xué)中應(yīng)允許學(xué)生當(dāng)堂質(zhì)疑，對(duì)學(xué)生所提問題教師要給予足夠的重視。無論多么有經(jīng)驗(yàn)的教師，預(yù)設(shè)的問題都不可能考慮到課堂中發(fā)生的所有情形，當(dāng)學(xué)生提出的問題教師還沒有注意到時(shí)，實(shí)際上起到了對(duì)教師備課的補(bǔ)充作用。這時(shí)可以在學(xué)生所提問題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步設(shè)計(jì)出提問，請(qǐng)全班學(xué)生思考，由于問題是從學(xué)生中來，更能引起學(xué)生的興趣，提出問題的同學(xué)也會(huì)受到鼓舞。例如在棱錐內(nèi)容的一節(jié)課上，一位同學(xué)問：側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等的三棱錐是正三棱錐，側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等的四棱錐是否是正四棱錐呢？教師思考了片刻，給予了肯定的回答，但要該同學(xué)自己給出證明。課后我重新考慮該問題，認(rèn)為有必要讓同學(xué)們搞清楚這類問題，編擬了以下問題在下一次課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生：求證側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等的四棱錐是正四棱錐；正三棱錐、正四棱錐的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)可以相等，正五棱錐、正六棱錐的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)也能相等嗎？學(xué)生的討論很熱烈，很快就有同學(xué)得出正六棱錐的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)是不可能相等的，在學(xué)生經(jīng)過充分討論之后，我作了簡(jiǎn)要小結(jié)：如果正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則側(cè)棱與它在底面上的射影相等，這樣，側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影、高不能構(gòu)成直角三角形。至此，學(xué)生對(duì)正棱錐的認(rèn)識(shí)更為深入。課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是教學(xué)的一種藝術(shù)，課堂問題的設(shè)計(jì)又是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵點(diǎn)。教學(xué)實(shí)踐中要積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)學(xué)生的水平現(xiàn)狀要心中有數(shù)，對(duì)以前學(xué)生已經(jīng)出現(xiàn)的問題要進(jìn)行研究，認(rèn)真研究怎樣設(shè)計(jì)問題，如何選擇最佳時(shí)機(jī)以什么方式提出問題，頻繁的提問不等于就是調(diào)動(dòng)學(xué)生，關(guān)鍵要看學(xué)生思維參與程度。另外，我們還應(yīng)看到，精心設(shè)計(jì)的問題還要用靈活的即興提問作補(bǔ)充，即