專題08 等高線問題（解析版）

專題08等高線問題一、單選題1．（2021·陜西·千陽縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若方程的個(gè)不同實(shí)根從小到大依次為，，，，有以下三個(gè)結(jié)論：①且；②當(dāng)時(shí)，且；③．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】繪制出函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)的圖像，然后依次判斷三個(gè)結(jié)論的對(duì)錯(cuò)即可.【詳解】由題繪制函數(shù)如圖所示，可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又，可得且，故結(jié)論①正確，當(dāng)時(shí)，由解得，即或，解得，，，，此時(shí)和均成立，故結(jié)論②正確，由圖可知，則由得，解得，即，同理可得，由①有，，則，解得，則結(jié)論③正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的繪制，方程根與函數(shù)圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題.2．（2021·江蘇省天一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，極值，函數(shù)的變化趨勢(shì)，得出有3個(gè)不等實(shí)根時(shí)的范圍，同時(shí)可得出中間根的范圍，然后化簡(jiǎn)，引入新函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域．【詳解】，當(dāng)或時(shí)，，時(shí)，，所以在和上都遞增，在上遞減，極大值，極小值，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)3個(gè)不同的實(shí)根為，則，．，設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以，又，，所以的取值范圍是，即為的取值范圍．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問題，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域．解題關(guān)鍵是用導(dǎo)數(shù)確定出函數(shù)的極值后，要得出方程有3個(gè)根的范圍時(shí)還需確定函數(shù)的變化趨勢(shì)，本題中不是說在極大值和極小值之間方程就有3個(gè)根的，需確定函數(shù)的變化趨勢(shì)才能得出正確結(jié)論，這也是易錯(cuò)的地方．3．（2021·浙江·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，其中，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根、、、，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)的圖象，求出的取值范圍，利用韋達(dá)定理求得的值，求出、關(guān)于的表達(dá)式，可得出，再利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由，可得，，可得，即，所以，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的實(shí)根，則，解得，由已知可得、是方程的兩根，則，滿足，可得，滿足，可得，因此，，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，則，因此，.故選：B.4．（2021·山東煙臺(tái)·高三期末）已知函數(shù)，若方程有個(gè)不同的實(shí)根，從小到大依次為，，，…，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)且時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【分析】令，判斷的奇偶性，即可判斷選項(xiàng)A；利用分段函數(shù)的解析式得到是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，利用為偶函數(shù)，只需研究的情況，作出函數(shù)和的圖像，數(shù)形結(jié)合判斷選項(xiàng)B、C、D.【詳解】令，則，所以為偶函數(shù)，所以零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則所有的零點(diǎn)之和為0，故A正確；因?yàn)椋裕允呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，由上述過程可知，為偶函數(shù)，故只需研究的情況即可，當(dāng)時(shí)，令，即，作出函數(shù)和的圖像，觀察可知，當(dāng)時(shí)，與至少有一個(gè)交點(diǎn)，即至少有3個(gè)根，不符合n=1；當(dāng)時(shí)，圖中直線為臨界值，設(shè)其斜率為，此時(shí)與相切，若，則n=1，若，則n至少為3；再作出斜率的直線，觀察與的位置關(guān)系可知，，所以n=1時(shí)，，故B正確；當(dāng)且時(shí)，即為B選項(xiàng)中討論的，此時(shí)直線與相切，設(shè)切點(diǎn)，則有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，的導(dǎo)數(shù)為，故有，消去k得：，所以，故C正確；作出如圖示的和，其中和相切，的斜率為，設(shè)的斜率為，則.當(dāng)時(shí)，即，與有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)n=7；當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)n=5；當(dāng)時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)n=3；故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)的常用方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．5．（2021·四川省新津中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象關(guān)系，得出，，即可求解的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，則，即：，所以，，所以，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得：，，考慮函數(shù)單調(diào)遞增，，所以時(shí)的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用，涉及分段函數(shù)，關(guān)鍵在于根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)找出零點(diǎn)的等量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系求解取值范圍.6．（2021·河北·滄州市一中高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)根，且，則A．12 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的翻折，做出圖象，尋找出相對(duì)應(yīng)的關(guān)系【詳解】可以畫出如上圖的圖象，由性質(zhì)可知：，，故選擇D.【點(diǎn)睛】本題是一道函數(shù)及其圖象的綜合性考題，難度很大，該類型考題首先考查利用函數(shù)的平移、伸縮、翻折得出復(fù)雜函數(shù)的圖象，并根據(jù)跟的分布得出對(duì)應(yīng)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，而不是蠻干.7．（2021·重慶市第七中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得x1?x2＝1，x1+x22，（4﹣x3）?（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，則不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，可化為：k恒成立，求出的最大值，可得k的范圍，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的最小值．【詳解】函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：當(dāng)方程f（x）＝m有四個(gè)不等實(shí)根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）時(shí)，|lnx1|＝|lnx2|，即x1?x2＝1，x1+x22，|ln（4﹣x3）|＝|ln（4﹣x4）|，即（4﹣x3）?（4﹣x4）＝1，且x1+x2+x3+x4＝8，若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，則k恒成立，由[（x1+x2）﹣48]≤2故k≥2，故實(shí)數(shù)k的最小值為2，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．8．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，方程有四個(gè)不同根，，，，且滿足，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)的圖象，可得出當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用雙勾函數(shù)的基本性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)圖像可得，從而得，且，從而得，所以，令則，在上遞增，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍，解題時(shí)要充分利用圖象的對(duì)稱性以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以某個(gè)變量為自變量的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程思想的應(yīng)用，屬于中等題.9．（2021·江西·九江一中高二開學(xué)考試）已知f(x)＝若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根（其中x1<x2<x3<x4）,則x1＋x2＋x3＋2x4的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】由題畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得.【詳解】關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根,則與有四個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，則且，即，∴，令，則，所以在上單調(diào)遞減，∴，即的取值范圍為.故選：D.10．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，由此可得，，，的關(guān)系及范圍，而不等式可轉(zhuǎn)化為，令，求出范圍，并把變成的函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出它的范圍，從而得的范圍．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，它與圖象的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，，即，且，顯然，不等式變形為，，，所以，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在時(shí)是增函數(shù)，所以，令，則，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查方程的根函數(shù)零點(diǎn)問題，解題方法是數(shù)形結(jié)合思想，作出函數(shù)圖象，及相應(yīng)直線，通過兩者交點(diǎn)觀察出方程根的性質(zhì)，范圍，不等式就可參數(shù)分離變形為，再利用剛才的關(guān)系范圍求出不等式右邊的式子的取值范圍即可得．11．（2021·江西師大附中高一期末）已知，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出函數(shù)的圖象，可看作與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合兩段函數(shù)圖象分別與有2個(gè)交點(diǎn)可得交點(diǎn)的范圍，再利用基本不等式可得答案.【詳解】，，由函數(shù)的圖象可知方程有四個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，設(shè)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，則，且，，設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，由得，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了方程實(shí)根問題，關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合得到的范圍，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及數(shù)形結(jié)合的思想.12．（2021·福建·仙游一中高一期末）定義在上函數(shù)，若關(guān)于的方程(其中)有個(gè)不同的實(shí)根，，…，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)，得及，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合可知，有五個(gè)根，且，代入解析式即可求解出.【詳解】由，得.或及，函數(shù)圖像如圖所示，由圖可知，共有五個(gè)根，，，，，且，和關(guān)于對(duì)稱，和關(guān)于對(duì)稱，所以為，.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．13．（2021·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不等實(shí)根，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則根據(jù)題意得必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)，故，再結(jié)合的圖象可得，，，進(jìn)而，再構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值即可得答案.【詳解】由題意設(shè)，根據(jù)方程恰有三個(gè)不等實(shí)根，即必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)，則，作出的圖象，函數(shù)與三個(gè)不等實(shí)根，且，那么，可得，，所以，構(gòu)造新函數(shù)當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即的最小值為；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及最值問題，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化構(gòu)造的方法，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)，進(jìn)而，，再結(jié)合的圖像可得，，，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.14．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作函數(shù)的大致圖象如下，結(jié)合圖象可得，有，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，求得最值得選項(xiàng)．【詳解】作函數(shù)的大致圖象如下，結(jié)合圖象易知，使得，，，故，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．15．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A．在區(qū)間上是增函數(shù)B．C．若方程恰有個(gè)實(shí)根，則D．若函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，則【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)為周期為的函數(shù)，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)為周期為的函數(shù)，求得，可判定B錯(cuò)誤；由直線恒過定點(diǎn)，結(jié)合的圖象和函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，可判定C正確；由，關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，對(duì)于A中，當(dāng)，若，即，可得，當(dāng)時(shí)，為周期為的函數(shù)，作出在區(qū)間的函數(shù)，可知在區(qū)間上先增后減，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)為周期為的函數(shù)，又由，所以，，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，直線恒過定點(diǎn)，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，設(shè)與相切于點(diǎn)，則，解得，當(dāng)，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)與相切時(shí)，，則，即，綜上可得，當(dāng)函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，所以C正確．對(duì)于D中，又由函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，故直線與在上由6個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，由圖象可知關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的圖象求解方程的根的個(gè)數(shù)問題的策略：1、利用函數(shù)的圖象研究方程的根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本性質(zhì)有關(guān)時(shí)，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程的根就是函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根據(jù)就是函數(shù)和圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；2、利用函數(shù)研究不等式：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.16．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考）已知，方程有三個(gè)實(shí)根，若，則實(shí)數(shù)A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷f（x）與2的大小，化簡(jiǎn)方程求出x1、x2、x3的值，根據(jù)得x3﹣x2＝2（x2﹣x1）得出a的值．【詳解】由1﹣x2≥0得x2≤1，則﹣1≤x≤1，，當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）＝2，即﹣2x＝2．得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2，則x，①當(dāng)﹣1≤x時(shí)，有f（x）≥2，原方程可化為f（x）+2f（x）﹣22ax﹣4＝0，即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x，由﹣1解得：0≤a≤22．②當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜2，原方程可化為42ax﹣4＝0，化簡(jiǎn)得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x，又0≤a≤22，∴0．∴x1，x2，x3＝0．由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得2（），解得a（舍）或a．因此，所求實(shí)數(shù)a．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合絕對(duì)值的應(yīng)用，確定三個(gè)根x1、x2、x3的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．17．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且，則的最小值是（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，令，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的圖象，得到僅在上有一解，再根據(jù)的解析式求出，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的最小值．【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)．考慮函數(shù)在上的單調(diào)性，由于，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，，所以，即當(dāng)時(shí)，總有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)在R上遞增，令，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖以及題意可知，僅在上有一解，即，由，解得，即有，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減增，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，方程的根與兩函數(shù)的圖象的交點(diǎn)之間的關(guān)系應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（2021·黑龍江·嫩江市高級(jí)中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有4個(gè)實(shí)根，，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖象，利用方程恰好有4個(gè)實(shí)根，可得，設(shè)，進(jìn)而可得，可得，故可得結(jié)論.【詳解】由題意，函數(shù)，則函數(shù)的圖象為：由圖象可知，方程恰好有4個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)，設(shè)，則為方程的兩個(gè)實(shí)根，故，由，即，即，所以，，而，故的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，分析能力，屬于基礎(chǔ)題.19．（2021·重慶市永川北山中學(xué)校高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的根，則的值為（）A． B．16 C．5 D．15【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖像，結(jié)合方程根的情況，判斷函數(shù)交點(diǎn)情況，從而求得參數(shù)的值，進(jìn)而求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而解決問題.【詳解】由函數(shù)解析式作出函數(shù)圖像如下：由方程有5個(gè)不同的根知，必有一個(gè)解為1，即，則，則方程另一個(gè)解為，設(shè)則，故故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合找到方程有5個(gè)不同根對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)情況，然后求得參數(shù)值.20．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不等根，則的值是（）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】先利用方程求出，再利用奇偶函數(shù)的定義判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合題意利用奇函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可得到答案．【詳解】由方程可得，因?yàn)楹瘮?shù)，設(shè)，則，則，所以為奇函數(shù)且，，，是的根，所以，不妨有，，所以．故的值是0．故選：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是要讀出題目函數(shù)為奇函數(shù)，然后再運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)獲解，函數(shù)問題，要多思考函數(shù)的性質(zhì).21．（2021·河南·高三月考（理））已知函數(shù)（），其中，若方程恰好有3個(gè)不同解，，（），則與的大小關(guān)系為（）A．不能確定 B． C． D．【答案】A【分析】先求出，得到（極大值），（極小值），（極大值），（極小值）．再分三種情況討論結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】，．當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，若，則，；若，則，，又，∴，又（極大值），（極小值），（極大值），（極小值）．要使恰好有3個(gè)不同解，結(jié)合圖象得：①當(dāng)，即時(shí)，得，不存在這樣的示數(shù)．②當(dāng)，即時(shí)，解得，此時(shí)，又因?yàn)榕c關(guān)于對(duì)稱，∴，∴．③當(dāng)，即時(shí)，解得．此時(shí)，，是方程的兩實(shí)根，所以，而，所以.故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)的零點(diǎn)問題常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（直接畫出函數(shù)的圖象分析得解）；（3）方程+圖象法（令函數(shù)得到分析函數(shù)的圖象即得解）.數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)的一種重要數(shù)學(xué)思想，要注意靈活運(yùn)用，提高解題效率.22．（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)圖像可得，，，，，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出取值范圍.【詳解】如圖，因?yàn)榈膬筛鶠?，所以，，，從而．令，，則，．因?yàn)?，所以，，，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增．又，，所以，即的取值范圍是．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合函數(shù)圖像得出，，，把所求轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題是本題的關(guān)鍵.本題考查了運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力，屬于難題.23．（2020·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同實(shí)數(shù)解，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)圖象，由圖象得出函數(shù)單調(diào)性，再作直線，由直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)得滿足的性質(zhì)，再求得其范圍．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)，由圖象知，，即，，，，所以，所以，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在上是減函數(shù)，所以時(shí)，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查方程解的問題，解題方法是把方程的解轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，作出函數(shù)圖象與直線，利用數(shù)形結(jié)合思想得出解具有的性質(zhì)，然后再求解.24．（2019·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同解，且，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：作的圖象，易知是圖象的一個(gè)對(duì)稱軸，最大值為2，所以，又，則，所以，，．顯然是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，．故選A．考點(diǎn)：函數(shù)與方程．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程．在解決與方程根有關(guān)問題，常常把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)（特別是一個(gè)函數(shù)的圖象與一條直線的交點(diǎn)），在方程含有參數(shù)時(shí)，利用它們相交的情況可以確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù)，在方程不含參數(shù)（象本題）要討論根的范圍時(shí)，由圖象可以很快估計(jì)出其中根的范圍，根的關(guān)系，如，，等等，從而有助于問題的解決．25．（2021·江西上饒·高一期末）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形，得出，，化所求式子為，再確定的范圍，構(gòu)造函數(shù)，（），判定其單調(diào)性，由單調(diào)性求出值域，即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的解，，，，且，所以有，，故，再由可得或，即，令，（），任取，則，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以.即的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、填空題26．（2021·湖北·高一期中）已知函數(shù)，若當(dāng)方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，時(shí)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【分析】依題意畫出函數(shù)圖象，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得，，且，則不等式恒成立，可化為：恒成立，令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：函的圖象如右圖所示：當(dāng)方程有四個(gè)不等實(shí)根，，時(shí)，由，即，，且，不等式恒成立，則恒成立令，，，則，，，故為所求．故答案為：27．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若方程有4個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的取值范圍是______．【答案】【分析】先做出函數(shù)，的大致圖象，利用圖像的對(duì)稱性得到，，再由得，，所以．規(guī)定函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出的取值范圍【詳解】作出，的大致圖象如圖所示，由，的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱可得，，由得，，所以．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】（1）與對(duì)稱有關(guān)的常用結(jié)論：①若點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，則；②若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則；③若，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④若，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（2）數(shù)形結(jié)合法解決零點(diǎn)問題：①零點(diǎn)個(gè)數(shù)：幾個(gè)零點(diǎn)；②幾個(gè)零點(diǎn)的和；③幾個(gè)零點(diǎn)的積.28．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．若存在正實(shí)數(shù)，使得方程有三個(gè)互不相等的實(shí)根，，，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】分離參數(shù)可得，做出的函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出的值，并求出的范圍即可得出答案．【詳解】由可看到，令，作出的函數(shù)圖象如圖所示：有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，直線與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大分別為，，，由二次函數(shù)的對(duì)稱性可知，令可得或（舍，，．即的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).29．（2021·山西·太原五中高三月考（理））已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不等的實(shí)根，，，，則的取值范圍是______.【答案】（10，12）【分析】作出函數(shù)的圖像，設(shè)，可得，，且，則，得出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖像，設(shè)，如圖.方程有四個(gè)不等的實(shí)根，則所以為在上與的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由，即，所以，即，所以為在上與的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以當(dāng)時(shí)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則則，且所以故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用數(shù)形結(jié)合解決方程的根的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，解答本題的關(guān)鍵是由，即，