【2024大題專練】04 概率統(tǒng)計大題 解析版

【2024大題專練】04概率統(tǒng)計大題一、解答題1．（2023·山東日照·三模）某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第一天午餐時隨機的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.6；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為0.8.(1)計算王同學(xué)第二天去餐廳用餐的概率；(2)王同學(xué)某次在餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點心，種中式點心，王同學(xué)從這些點心中選擇3種點心，記選擇西式點心的種數(shù)為，求的最大值，并求此時的值.【答案】(1)0.7(2)或10時，有最大值為【分析】（1）根據(jù)條件概率公式和全概率公式求解即可；（2）利用超幾何分布表示出，列出不等式即可求最大值.【詳解】（1）設(shè)“第一天去餐廳用餐”，“第一天去餐廳用餐”，“第二天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得，由全概率公式，得：，所以，王同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率為0.7.（2）由題意，的可能取值有：0，1，2，3，由超幾何分布可知，令，若最大，則，即，解得，又∵，所以，易知當(dāng)和時，的值相等，所以當(dāng)或10時，有最大值為，即當(dāng)?shù)闹禐?或10時，使得最大.2．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論技術(shù)方法的醫(yī)藥體系，長期呵護著我們的健康，為中華文明的延續(xù)作出了突出貢獻.某科研機構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某味中藥的藥用量x（單位：克）與藥物功效（單位：藥物功效單位）之間具有關(guān)系.(1)估計該味中藥的最佳用量與功效；(2)對一批含有這昧中藥的合成藥物進行檢測，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標(biāo)準(zhǔn)差為2，估計這批合成藥的藥物功效的平均值.【答案】(1)該藥物使用量為克時可達最大功效.(2)【分析】（1）根據(jù)用量與功效之間具有關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意求得，，結(jié)合則，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，某味中藥的藥用量與藥物功效之間具有關(guān)系，可得，所以當(dāng)時，，即該藥物使用量為克時可達最大功效.（2）解：由題意，得，，所以，則，這批合成藥的藥物功效平均值為.3．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）數(shù)據(jù)報告顯示，2018-2022年期間，某公司旗下一款軟件產(chǎn)品的年度活躍用戶數(shù)每年都保持著較為穩(wěn)定的增長態(tài)勢，具體數(shù)據(jù)如下表.年份代碼12345活躍用戶數(shù)（單位：億）11.5112.2512.5813.6718.01(1)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請建立關(guān)于的回歸方程（計算的值時精確到0.01），并預(yù)測2025年的活躍用戶數(shù)；(2)公司規(guī)定，活躍用戶數(shù)大于12.00（單位：億）的年份為“企業(yè)騰飛年”.在企業(yè)騰飛年中，將活躍用戶數(shù)低于13.00的視為良好，賦1分；將活躍用戶數(shù)不低于13.00的視為優(yōu)秀，賦2分.現(xiàn)從企業(yè)騰飛年中任取兩年，用表示賦分之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)，2025年的活躍用戶數(shù)約為20.85億；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)最小二乘法計算可得回歸方程，代入年份代碼即可預(yù)測2025年用戶數(shù)；（2）根據(jù)條件得出得分的分布列，由期望公式計算即可.【詳解】（1）由表格計算可得：，，因為，，，所以.因為滿足，即，所以關(guān)于的回歸方程是.令，得，所以2025年的活躍用戶數(shù)約為20.85億.（2）由表格可知：企業(yè)騰飛年有4個，其中計分為1分的年份有2個，計分為2分的年份有2個，所以的可能取值有2，3，4，則，，，所以的分布列為：234所以數(shù)學(xué)期望為.4．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）某學(xué)校為了解學(xué)生對航天知識的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識測試（滿分100分），隨機抽取了100名學(xué)生的測試成績，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校學(xué)生測試成績的平均數(shù)；(2)從測試成績在[90，100]的同學(xué)中再次選拔進入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機挑選出4道題進行測試，至少答對3道題者才可以進入復(fù)賽．現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨立．記甲、乙兩人中進入復(fù)賽的人數(shù)為，求的分布列及期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用平均數(shù)的計算方法，即可求解；（2）由題意可求，甲乙分別進入復(fù)賽的概率，然后求出時的概率，即可得到分布列和期望.【詳解】（1）平均數(shù)，所以該校學(xué)生測試成績的平均數(shù)為.（2）由題意可知，從6道題中選4題共有，因為甲能答對6道題中的4道題，故甲能進復(fù)賽的情況共有；所以甲能進復(fù)賽的概率為，則甲不能進復(fù)賽的概率為，因為乙能答對6道題中的3道題，故乙能進復(fù)賽的情況共有；所以乙能進復(fù)賽的概率為，則乙不能進復(fù)賽的概率為；依題可得，的可能取值為0，1，2，所以，，，則分布列為：012P則.5．（2023·重慶·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）移動物聯(lián)網(wǎng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)制造、公共服務(wù)、個人消費等領(lǐng)域．截至2022年底，我國移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)達億戶，成為全球主要經(jīng)濟體中首個實現(xiàn)“物超人”的國家．下圖是2018-2022年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)與年份代碼的散點圖，其中年份2018-2022對應(yīng)的分別為1~5．(1)根據(jù)散點圖推斷兩個變量是否線性相關(guān)．計算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到），并推斷它們的相關(guān)程度；(2)求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)．附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，【答案】(1)0.98，兩個變量具有很強的線性相關(guān)性(2)，2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)億戶．【分析】（1）由散點圖可判斷是否線性相關(guān)，再根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算相關(guān)系數(shù)即可；（2）由數(shù)據(jù)計算回歸方程，并由方程計算預(yù)測即可.【詳解】（1）由圖可知，兩個變量線性相關(guān)．由已知條件可得：，，所以，

，，所以相關(guān)系數(shù)，因此，兩個變量具有很強的線性相關(guān)性．（2）結(jié)合（1）可知，，

所以回歸方程是：，

當(dāng)時，有，即預(yù)測2024年移動物聯(lián)網(wǎng)連接數(shù)為億戶．6．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）一只不透朋的袋中裝有10個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0~9，先后從袋中隨機取兩只小球.用事件A表示“第二次取出小球的標(biāo)號是2”，事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號之和是m”.(1)若用不放回的方式取球，求；(2)若用有放回的方式取球，求證：事件A與事件B相互獨立的充要條件是.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計算作答.（2）利用列舉法求出概率，結(jié)合獨立性推理判斷充分性，再利用條件概率公式推理判斷必要性作答.【詳解】（1）用C表示“第一次取出小球的標(biāo)號是2”，則，，，，所以.（2）記第一次取出的球的標(biāo)號為x，第二次的球的標(biāo)號為y，用數(shù)組兩次取球，則，充分性：當(dāng)時，事件B發(fā)生包含的樣本點為，因此，事件AB發(fā)生包含的樣本點為，則，又，于是，所以事件A與事件B相互獨立；必要性因為事件A與事件B相互獨立，則，即，而，，于是，事件AB發(fā)生包含的樣本點為，即，則，又，，，因此關(guān)于x的不等式組，有10組整數(shù)解，即關(guān)于x的不等式組，有10組整數(shù)解，從而，得，所以事件A與事件B相互獨立的充要條件是.7．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考模擬預(yù)測）某大學(xué)平面設(shè)計專業(yè)的報考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報名已經(jīng)結(jié)束．考生的考號按0001，0002，的順序從小到大依次排列．某位考生隨機地了解了50個考生的考號，具體如下：0400

0904

0747

0090

0636

0714

0017

0432

0403

02760986

0804

0697

0419

0735

0278

0358

0434

0946

01230647

0349

0105

0186

0079

0434

0960

0543

0495

09740219

0380

0397

0283

0504

0140

0518

0966

0559

09100558

0442

0694

0065

0757

0702

0498

0156

0225

0327(1)據(jù)了解，這50名考生中有30名男生，20名女生．在某次模擬測試中，30名男生平均分?jǐn)?shù)是70分，樣本方差是10，20名女生平均分?jǐn)?shù)是80分，樣本方差是15，請求出此50人該次模擬考試成績的平均分和方差；（考生個人具體分?jǐn)?shù)不知曉）(2)請根據(jù)這50個隨機抽取的考號，幫助這位考生估計考生總數(shù)N，并說明理由．【答案】(1)平均分是74，方差是36(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)公式計算即可；（2）根據(jù)條件敘述清楚理由即可.【詳解】（1）記30名男生得分記為，20名女生得分記，男生得分平均分

女生得分平均分，所以總平均分，，所以此50人該次模擬考試成績的平均分是74，方差是36．（2）答案一：986，理由是用給出數(shù)據(jù)的最大值986（與0986對應(yīng)）估計考生總數(shù)；

答案二：1003，理由是用數(shù)據(jù)的最大值與最小值的和（）估計考生總數(shù)；

答案三：987，這50個數(shù)的算術(shù)平均值是，它應(yīng)該與接近．因此，估計今年報考這所大學(xué)美術(shù)系平面設(shè)計專業(yè)的考生總數(shù)為（人）；

答案四：1006，理由：把這50個數(shù)據(jù)從小到大排列，這50個數(shù)把區(qū)間分成51個小區(qū)間．由于N未知，除了最右邊的區(qū)間外，其他區(qū)間都是已知的．可以利用這些區(qū)間長度來估計N．由于這50個數(shù)是隨機取的，一般情況下可以認(rèn)為最右邊區(qū)間的長度近似等于長的，并且可以用前50個區(qū)間的平均長度近似代替這個區(qū)間的長度．因為這50個區(qū)間長度的和，恰好是這50個數(shù)中的最大值986，因此得到.8．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）為了豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團舉行羽毛球個人賽，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加，甲與其他三人各進行一場比賽，共進行三場比賽，而且三場比賽相互獨立.根據(jù)甲最近分別與乙、丙、丁比賽的情況，得到如下統(tǒng)計表：乙丙丁比賽的次數(shù)606050甲獲勝的次數(shù)203040以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.(1)如果甲按照第一場與乙比賽、第二場與丙比賽、第三場與丁比賽的順序進行比賽.（?。┣蠹字辽賱僖粓龅母怕?；（ⅱ）如果甲勝一場得2分，負一場得0分，設(shè)甲的得分為，求的分布列與期望；(2)記“甲與乙、丙、丁進行三場比賽中甲連勝二場”的概率為，那么以什么樣的出場順序才能使概率最大，并求出的最大值.【答案】(1)（?。áⅲ┓植剂幸娊馕?，期望為(2)出場順序為丙丁乙或乙丁丙時概率最大，最大值為【分析】（1）先求得甲與乙比賽獲勝概率為，與丙比賽獲勝概率為，與丁比賽獲勝概率為，再根據(jù)獨立性乘法公式，結(jié)合對立事件即可求解甲至少勝一場的概率；按分布列的求解步驟即可求解分布列，進而求得期望；（2）由于乙、丙、丁有6種出場順序，分別求得概率，從而可確定最大值.【詳解】（1）甲與乙比賽獲勝概率為；與丙比賽獲勝概率為；與丁比賽獲勝概率為；（ⅰ）則甲至少勝一場的概率（ⅱ）的可能取值為0，2，4，6則，，，，所以的分布列為0246（2）若出場順序為乙丙?。?；若出場順序為乙丁丙：；若出場順序為丙乙?。?；若出場順序為丙丁乙：；若出場順序為丁丙乙：；若出場順序為丁乙丙：；故出場順序為丙丁乙或乙丁丙時概率最大，最大值為.9．（2023·山東威海·統(tǒng)考二模）乒乓球被稱為中國的“國球”．20世紀(jì)60年代以來，中國乒乓球選手取得世界乒乓球比賽的大部分冠軍，甚至多次包攬整個賽事的所有冠軍．乒乓球比賽每局采用11分制，每贏一球得1分，一局比賽開始后，先由一方發(fā)2球，再由另一方發(fā)2球，依次每2球交換發(fā)球權(quán)，若其中一方先得11分且至少領(lǐng)先2分即為勝方，該局比賽結(jié)束；若雙方比分打成平后，發(fā)球權(quán)的次序仍然不變，但實行每球交換發(fā)球權(quán)，先連續(xù)多得2分的一方為勝方，該局比賽結(jié)束．現(xiàn)有甲、乙兩人進行乒乓球單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立，已知某局比賽甲先發(fā)球．(1)求該局比賽中，打完前4個球時甲得3分的概率；(2)求該局比賽結(jié)束時，雙方比分打成且甲獲勝的概率；(3)若在該局雙方比分打成平后，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束，求事件“”的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分類討論，甲失一球，這球有是甲發(fā)球還是是乙發(fā)球，結(jié)合獨立事件概率乘法公式分析運算；（2）分類討論，甲失一球，這球有是甲發(fā)球還是是乙發(fā)球，結(jié)合獨立事件概率乘法公式分析運算；（3）由題意可得：或，分類討論，甲贏得比賽還是是乙贏得比賽，結(jié)合獨立事件概率乘法公式分析運算.【詳解】（1）若打完前4個球時甲得3分，則甲失一球，這球有可能是甲發(fā)球也可能是乙發(fā)球，所以打完前4個球時甲得3分的概率.（2）若雙方比分打成且甲獲勝，則甲失一球，這球有可能是甲發(fā)球也可能是乙發(fā)球，且乙最后一次發(fā)球甲勝，雙方比分打成且甲獲勝的概率.（3）由題意可得：若，則或，可得；；所以.10．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┠呈袨榱烁玫牧私馊w中小學(xué)生感染新冠感冒后的情況，以便及時補充醫(yī)療資源.從全市中小學(xué)生中隨機抽取了100名抗原檢測為陽性的中小學(xué)生監(jiān)測其健康狀況，100名中小學(xué)生感染奧密克戎后的疼痛指數(shù)為，并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：疼痛指數(shù)人數(shù)（人）10819名稱無癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者.(1)統(tǒng)計學(xué)中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的似然比.現(xiàn)從樣本中隨機抽取1名學(xué)生，記事件：該名學(xué)生為有癥狀感染者，事件：該名學(xué)生為重癥感染者，求似然比的值；(2)若該市所有抗原檢測為陽性的中小學(xué)生的疼痛指數(shù)近似的服從正態(tài)分布，且.若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學(xué)生中隨機抽取3名，設(shè)這3名學(xué)生中輕癥感染者人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式計算求解即可；（2）應(yīng)用，由二項分布分別寫出求分布列及計算數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意得：，，，.（2），，則，可能的取值為，的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望.11．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）為紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立102周年，加深青少年對黨的歷史、黨的知識、黨的理論和路線方針的認(rèn)識，激發(fā)愛黨愛國熱情，堅定走新時代中國特色社會主義道路的信心，我校舉辦了黨史知識競賽．競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答3道題，若答對題目不少于5道題，則獲得一個積分．已知甲乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)對每道題答對的概率分別是和，且每道題答對與否互不影響．(1)若，求甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個積分的概率；(2)若，且每輪比賽互不影響，若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得7個積分，那么理論上至少要進行多少輪競賽？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可求得；（2）得出獲得一個積分的，由已知可得，進而求得，根據(jù)甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)滿足，根據(jù)即可解得.【詳解】（1）假設(shè)甲和乙答對的題目個數(shù)分別為和，故所求概率，所以甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個積分的概率為；（2）由（1）知，一輪獲得一個積分的概率為，整理得，因為且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，令，則，所以，則，對稱軸為，又，所以當(dāng)時，，則當(dāng)時，，甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)滿足，所以由，即解得，因為為正整數(shù)，所以至少為20，所以若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得7個積分，那么理論上至少要進行20輪競賽.12．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．同時，在保持40個大項目不變的前提下，增設(shè)了電子競技項目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設(shè)最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組．之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制．假設(shè)四支隊伍分別為，其中對陣其他三個隊伍獲勝概率均為，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為．最初分組時同組，同組．(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？【答案】(1)；；(2)淘汰賽制獲得冠軍概率為，雙敗賽制獲得冠軍概率為；雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強者”，人們“對強者不公平”的質(zhì)疑是不對的．【分析】（1）若拿冠軍則只需要連贏兩場，對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，然后根據(jù)獨立事件的乘法公式計算即可；（2）根據(jù)獨立事件的乘法公式分別算出在不同賽制下拿冠軍的概率，然后作差進行比較.【詳解】（1）記拿到冠軍分別為事件淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場即可拿到冠軍，因此，對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，因此．（2）記兩種寒制下獲得冠軍的概率分別為，則.而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.因此，，.則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于，.若，雙敗賽制下，隊伍獲得冠軍的概率更大，其他隊伍獲得冠軍的概率會變小，若，雙敗賽制下，以伍獲得冠軍的概率更小，其他隊伍獲得冠軍的概率會變大，綜上可知：雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強者”，人們“對強者不公平”的質(zhì)疑是不對的．13．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為了讓學(xué)生了解毒品的危害，加強禁毒教育，某校組織了全體學(xué)生參加禁毒知識競賽，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生的成績（滿分100分）進行分析，把他們的成績分成以下6組：，，，，，．整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值并估計全校學(xué)生的平均成績μ．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）(2)在（1）的條件下，若此次知識競賽得分，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)禁毒知識的興趣，對參賽學(xué)生制定如下獎勵方案：得分不超過57分的不予獎勵，得分超過57分但不超過81分的可獲得學(xué)校食堂消費券5元，得分超過81分但不超過93分的可獲得學(xué)校食堂消費券10元，超過93分可獲得學(xué)校食堂消費券15元．試估計全校1000名學(xué)生參加知識競賽共可獲得食堂消費券多少元．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】(1)，(2)5114元【分析】（1）由頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為，即可求得，根據(jù)平均數(shù)公式計算即可得；（2）利用參考數(shù)據(jù)由正態(tài)分布的對稱性分別求出獲得學(xué)校食堂消費券為元時的概率，即可得出一名學(xué)生的期望值為，便可計算出全校1000名學(xué)生共可獲得食堂消費券為5114元．【詳解】（1）由題意可知，，解得（2）設(shè)參加知識競賽的每位學(xué)生獲得的學(xué)校食堂消費券為Y元，，，，，Y的分布列如下表：Y051015P0.158650.6827013590.02275即一名學(xué)生獲得的學(xué)校食堂消費券的期望值為，所以，全校學(xué)生可獲得（元）．故估計全校1000名學(xué)生參加知識競賽共可獲得食堂消費券5114元．14．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）研究表明，如果溫差太大，人們不注意保暖，可能會導(dǎo)致自身受到風(fēng)寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對于兒童以及年老體弱的人群，要多加防范.某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)生患感冒就診人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學(xué)生新增感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差（℃）47891412新增感冒就診人數(shù)(位)參考數(shù)據(jù)：，.(1)已知第一天新增感冒就診的學(xué)生中有位男生，從第一天新增的感冒就診的學(xué)生中隨機抽取位，其中男生人數(shù)記為，若抽取的人中至少有一位女生的概率為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知兩個變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請用最小二乘法求出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，據(jù)此估計晝夜溫差為時，該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù).參考公式：，.【答案】(1)分布列見解析，(2)，人【分析】（1）首先根據(jù)抽取的2人中至少有一位女生的概率為，計算出的值，從而可得隨機變量的取值，根據(jù)超幾何分布概率計算可得分布列和期望；（2）首先根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)和已知條件計算出，的值，進一步計算可得的值，利用最小二乘法計算的值，從而可得線性回歸方程，將代入即可求得結(jié)果．【詳解】（1）依題意，所以，所以，解得或（舍去），即第一天新增患感冒而就診的學(xué)生有位，其中男生位，女生位，則隨機變量的可能取值為：0，1，2，且服從超幾何分布，其中，，，所以，，，所以的分布列為012則數(shù)學(xué)期望；（2）依題意可得，所以，由于，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，當(dāng)時，，所以可以估計，晝夜溫差為時，該校新增患感冒的學(xué)生人數(shù)人．15．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）中日圍棋擂臺賽是由中國圍棋隊與日本圍棋隊各派若干名棋手，以擂臺制形式舉行的圍棋團體賽.這是中國和國外開設(shè)的最早的圍棋對抗賽，由中國圍棋協(xié)會、日本棋院和中國《新體育》雜志社聯(lián)合舉辦，日本電器公司（NEC）贊助，因此也稱NEC杯中日圍棋擂臺賽.該賽事從1984年開始至1996年停辦，共進行了11屆，結(jié)果中國隊以7比4的總比分獲勝.該賽事對中國圍棋甚至世界圍棋發(fā)展產(chǎn)生了很大影響，被認(rèn)為是現(xiàn)代圍棋最成功的比賽之一.中日圍棋擂臺賽由中日雙方各派同樣數(shù)量的若干名棋手組成隊伍，兩隊各設(shè)一名主帥，采用打擂臺的形式，決出最后的勝負.比賽事先排定棋手的上場順序（主帥最后上場），按順序?qū)?，勝者坐擂，負方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帥”被擊敗為?設(shè)中、日兩國圍棋隊各有名隊員，按事先排好的順序進行擂臺賽，中國隊的名隊員按出場的先后順序記為；日本隊的名隊員按出場的先后順序記為.假設(shè)勝的概率為（為常數(shù)）.(1)當(dāng)時，若每個隊員實力相當(dāng)，求中國隊有四名隊員被淘汰且最后戰(zhàn)勝日本隊的概率；(2)記中國隊被淘汰人且中國隊獲得擂臺賽勝利的概率為，求的表達式；(3)寫出中國隊獲得擂臺賽勝利的概率的表達式（不用說明理由）.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）方法1，列舉出中國隊的出場且獲得勝利的所有結(jié)果，再求出每種結(jié)果的概率并借助互斥事件概率的加法公式求解作答；方法二，求出出場的結(jié)果種數(shù)，再利用獨立重復(fù)試驗的概率公式求解作答.（2）根據(jù)給定條件，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式列式作答.（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合互斥事件的加法公式求解作答.【詳解】（1）方法一：由于每個隊員實力相當(dāng)，則每場比賽勝的概率均為，列舉出中國隊的出場且獲得勝利的所有對陣形式，共分五種情況：①負于，只有一種情況，獲勝的概率為；②負于，此前共淘汰4人，及，共進行4場比賽，而日本隊負1場，有種情況，獲勝的概率為；③負于，此前共進行5場比賽，日本隊負2場，共有種情況，獲勝的概率為；④負于，此前共進行6場比賽，日本隊負3場，共有種情況，獲勝的概率為；⑤負于，此前共進行7場比賽，日本隊負4場，共有種情況，獲勝的概率為，這五種情況是互斥的，所以所求事件的概率為：.方法二：由于兩隊的實力相當(dāng)，則可認(rèn)為與（）比賽時，獲勝的概率為，而每進行一場比賽淘汰一人，中國隊的出場且獲得勝利，就有9人被淘汰，則共進行了9場比賽，且最后一場是中國隊勝，在此之前的8場比賽中，中國隊必勝4場，負4場（若勝5場，則不必出場），所以所求事件的概率為.（2）中國隊被淘汰人且中國隊獲得擂臺賽勝利，則共進行了場比賽，前場比賽中，中國隊被淘汰了人，負了場，所以.（3）中國隊獲得擂臺賽勝利的事件是勝的個互斥事件的和，由（2）知，勝的概率為，所以中國隊獲得擂臺賽勝利的概率.16．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考三模）2021年奧運會我國射擊項目收獲豐盛，在我國射擊也是一項歷史悠久的運動.某射擊運動愛好者甲來到靶場練習(xí).(1)已知用于射擊打靶的某型號槍支彈夾中一共有發(fā)子彈，甲每次打靶的命中率均為，一旦出現(xiàn)子彈脫靶或者子彈打光便立即停止射擊.記標(biāo)靶上的子彈數(shù)量為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若某種型號的槍支彈巢中一共可裝填6發(fā)子彈，現(xiàn)有一槍支其中有發(fā)為實彈，其余均為空包彈，現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈，假設(shè)每次射擊相互獨立且均隨機，在進行次射擊后，記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)為，①當(dāng)時，請直接寫出數(shù)學(xué)期望與的關(guān)系；②求出關(guān)于的表達式.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的所有可能值，再求出各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）①按第次射出是空包彈和實彈求出對應(yīng)的概率及空包彈數(shù)，進而求出即可；②利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項公式作答.【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布列為012……的數(shù)學(xué)期望，顯然，兩式相減得，所以.（2）①第次射擊后，包含兩種情況：第次射出空包彈和第次射出實彈，第次射擊前，剩余空包彈的期望是，若第次射出空包彈，則此時對應(yīng)的概率為，因為射擊后要填充一發(fā)空包彈，則此時空包彈的數(shù)量為，若第次射出實彈，則此時對應(yīng)的概率為，此時空包彈的數(shù)量為，所以.②當(dāng)時，彈巢中有發(fā)空包彈，即，由，得，當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，而當(dāng)時，滿足上式，所以.17．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進行了一次數(shù)學(xué)知識競賽.為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名學(xué)生的競賽成績（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求該100名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)從競賽成績在的兩組的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記競賽成績在的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從隨機抽取20名學(xué)生，用表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生競賽成績在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時，求.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)或【分析】（1）利用給定的頻率分布直方圖，由中位數(shù)的意義以及計算公式，代入計算即可得到結(jié)果；（2）利用分層抽樣求出成績在，內(nèi)的人數(shù)，再求出X的可能值及對應(yīng)概率，列出分布列并求出期望作答；（3）隨機抽一名學(xué)生，求出成績在的概率，再利用獨立重復(fù)試驗的概率公式，列出不等式求解作答.【詳解】（1）由直方圖可知成績在，，，的頻率和為，而成績在的頻率為，則抽取的100名學(xué)生成績的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以該100名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)約為；（2）由頻率分布直方圖可得：競賽成績在，兩組的頻率之比為，則10人中競賽成績在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；則X所有可能的取值為0，1，2，3，于是，，，，所以X的分布列為：X0123P數(shù)學(xué)期望為；（3）用頻率估計概率，競賽成績在內(nèi)的概率，則，．令，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)或，最大.18．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門app.為了了解全民對于“學(xué)習(xí)強國”使用的情況，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有名員工，其中是男性，是女性.(1)當(dāng)時，求抽出3人中男性員工人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)我們知道，當(dāng)總量足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮.從名員工（男女比例不變）中隨機抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；在二項分布中（即男性員工的人數(shù)）男性員工恰有2人的概率記作.那么當(dāng)至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項分布.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)N至少為145時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項分布【分析】（1）利用超幾何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求數(shù)學(xué)期望；（2）利用二項分布概率模型和超幾何分布概率模型即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，男性員工有8人，女性員工有12人.服從超幾何分布，，，，，，∴的分布列為0123數(shù)學(xué)期望為.（2），，由于，則，即，即，由題意易知，從而，化簡得，又，于是.由于函數(shù)在處有極小值，從而當(dāng)時單調(diào)遞增，又，.因此當(dāng)時符合題意，而又考慮到和都是整數(shù)，則一定是5的整數(shù)倍，于是.即N至少為145時，我們可以在誤差不超過0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項分布.19．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測）生產(chǎn)某種特殊零件的廢品率為（），優(yōu)等品的概率為0.4，若20個此特殊零件中恰有4件廢品的概率為，設(shè)的最大值點為．(1)求；(2)若工廠生產(chǎn)該零件的廢品率為．（?。纳a(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取個零件，設(shè)其中優(yōu)等品的個數(shù)為，記，，已知時優(yōu)等品概率最大，求的最小值；（ⅱ）已知合格率為，每個零件的生產(chǎn)成本為80元，合格品每件售價150元，同時對不合格零件進行修復(fù)，修復(fù)為合格品后正常售賣，若仍不合格則以每件10元的價格出售，若每個不合格零件修復(fù)為合格零件的概率為0.5，工廠希望一個零件至少獲利50元，試求一個零件的修復(fù)費用最高為多少元．【答案】(1)(2)（?。?2；（ⅱ）30【分析】（1）根據(jù)二項分布求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）（i）根據(jù)二項分布，寫出的分布列，再根據(jù)最大求出n的范圍；（ii）根據(jù)數(shù)學(xué)期望求出最高維修費用.【詳解】（1）由題意得：，（），所以，在遞增，在遞減，當(dāng)時，取最大值；（2）（?。┰O(shè)優(yōu)等品的個數(shù)為，則，，，若時，有最大值，則，即，解得，所以的最小值為12；（ⅱ）設(shè)工廠生產(chǎn)一個零件獲利元，零件的修復(fù)費用為元則的可能取值為：70，，，，

，,所以，一個零件需要修復(fù)費用最高為30元；綜上，（1），（2）（i）的最小值為12，（ii）一個零件需要修復(fù)費用最高為30元.20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床所加工的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；(3)參照第（2）問給出判斷，求第1，2，3臺車床操作員對加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.【答案】(1)0.0525(2)(3)第1，2臺車床操作員應(yīng)承擔(dān)，第3臺車床操作員應(yīng)承擔(dān).【分析】（1）設(shè)“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，則，且，，兩兩互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得；（2）“求次品為第1臺車床所加工的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率由條件概率公式計算可得答案；（3）由條件概率公式計算可得答案；【詳解】（1）設(shè)“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，則，且，，兩兩互斥，根據(jù)題意得，，，，，，，由全概率公式，得；（2）“求次品為第1臺車床所加工的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，；（3）根據(jù)（2），，故第1，2臺車床操作員應(yīng)承擔(dān)，第3臺車床操作員應(yīng)承擔(dān).21．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）在上海舉辦的第五屆中國國際進口博覽會中，一款無導(dǎo)線心臟起搏器引起廣大參會者的關(guān)注，成為了進博會的“明星展品”．體積僅有維生素膠囊大小，體積比傳統(tǒng)心臟起搏器減小93%，重量僅約2克，擁有強大的電池續(xù)航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振掃描檢查等創(chuàng)新功能．在起搏器研發(fā)后期，某企業(yè)快速啟動無線充電器主控芯片生產(chǎn)，試產(chǎn)期每天都需同步進行產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測和人工檢測，選擇哪種檢測方式的規(guī)則如下：第一天選擇智能檢測，隨后每天由計算機隨機等可能生成數(shù)字“0”和“1”，連續(xù)生成4次，把4次的數(shù)字相加，若和小于3，則該天的檢測方式和前一天相同，否則選擇另一種檢測方式．(1)求該企業(yè)前三天的產(chǎn)品檢測選擇智能檢測的天數(shù)X的分布列；(2)當(dāng)?shù)卣疄榱藱z查該企業(yè)是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：設(shè)表示事件“第n天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測”的概率，若恒成立，認(rèn)為該企業(yè)具有一定的智能化管理水平，將給予該企業(yè)一定的獎勵資金，否則將沒有該項獎勵資金．請問該企業(yè)能拿到獎勵資金嗎？請說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)可以；理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，然后分別求出其所對應(yīng)的概率，即可得到分布列.（2）根據(jù)題意，由條件可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)計算機4次生成的數(shù)字之和為，則，則，，的可能取值為，則，，，所以的分布列為123（2）設(shè)表示事件第天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測，表示事件第天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測，由全概率公式可知則，，即，，且，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以恒成立，所以該企業(yè)具有一定的智能化管理水平，能拿到獎金.22．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）某中學(xué)對學(xué)生鉆研理工課程的情況進行調(diào)查，將每周獨立鉆研理工課程超過6小時的學(xué)生稱為“理工迷”，否則稱為“非理工迷”，從調(diào)查結(jié)果中隨機抽取100人進行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示：理工迷非理工迷總計男243660女122840總計3664100(1)根據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“理工迷”與性別有關(guān)聯(lián)？(2)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，表示“選到的學(xué)生是非理工迷”，表示“選到的學(xué)生是男生”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值.(3)現(xiàn)從“理工迷”的樣本中，按分層抽樣的方法選出6人組成一個小組，從抽取的6人里再隨機抽取3人參加理工科知識競賽，求這3人中，男生人數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)與公式：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，其中.【答案】(1)認(rèn)為理工迷與性別無關(guān)(2)(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；（2）根據(jù)條件概率公式計算可得；（3）首先利用分層抽樣求出男生、女生抽取的人數(shù)，則的所有可能取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）提出假設(shè)：“理工迷”與性別無關(guān).則，而，根據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷成立，所以認(rèn)為理工迷與性別無關(guān).（2）因為，所以估計的值為.（3）按照分層抽樣，男生抽取人，女生抽取人，隨機變量的所有可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為：123則.23．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）現(xiàn)有4個除顏色外完全一樣的小球和3個分別標(biāo)有甲、乙、丙的盒子，將4個球全部隨機放入三個盒子中（允許有空盒）．(1)記盒子乙中的小球個數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學(xué)期望；(2)對于兩個不互相獨立的事件，若，稱為事件的相關(guān)系數(shù)．①若，求證：；②若事件盒子乙不空，事件至少有兩個盒子不空，求．【答案】(1)(2)①證明見詳解；②【分析】（1）每個小球的選擇都是一次獨立重復(fù)試驗，而每個小球選擇盒子乙的概率為，所以可知隨機變量服從二項分布；（2）①由條件概率的公式很容易證明；②主要是根據(jù)題意，確定是平均分組還是非平均分組，進而根據(jù)排列組合的公式即可得到相關(guān)事件的概率；由于某些分組情況比較復(fù)雜，因此考慮其對立事件，會減少計算量.【詳解】（1）由題意可知，的可能的取值為0,1,2,3,4，且，故；（2）①因為，且，所以，即，而,所以成立.②事件：盒子乙不空，則事件：盒子乙空，由第1問可知，所以，事件：至少有兩個盒子不空，則事件：有一個盒子不空，，所以事件：至少有兩個盒子不空且盒子乙不空，分為兩種情況，一種是三個盒子都不空，按照1、1、2分組；另一種是兩個盒子不空且乙不空，此時甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分組即可，故,所以，化簡得.24．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）在2005年世青賽中，被稱作“超白金一代”的中國男足U23代表隊打出了中國男足在世界舞臺上的最好表現(xiàn)．球隊的戰(zhàn)術(shù)核心，來自沈陽的陳濤入選了奏事最佳陣容．世青賽的賽制分為小組賽、淘汰賽兩個階段．小組賽中，參賽的32支代表隊被分為8各小組，每個小組4支球隊，按照單循環(huán)賽制選出兩支球隊進入淘汰賽．淘汰賽中16支球隊捉對廝殺，敗者淘汰勝者晉級，通過4輪比賽決出最后的冠軍．(1)已知在小組賽中，每贏一場記3分，打平一場記1分，輸一場記0分．小組賽階段中國隊與巴拿馬、土耳其、烏克蘭三支球隊分在同一組．首戰(zhàn)中中國隊驚險戰(zhàn)勝了歐洲亞軍土耳其隊，在小組賽占據(jù)了優(yōu)勢．面對后兩場比賽的對手烏克蘭隊和巴拿馬對，根據(jù)賽前球探報告分析，中國隊都有實力優(yōu)勢，可以近似認(rèn)為后兩場比賽中國的獲勝的概率都為0.5，打平的概率都為0.2，輸球的概率都為0.3．設(shè)中國隊三場小組賽之后的總積分為隨機變量X，求出其分布列和期望．(2)10號隊員陳濤作為中國隊的進攻核心，他的表現(xiàn)對中國隊而言舉足輕重．過往數(shù)據(jù)表示，在所有陳濤出場并且有進球或者助攻的比賽中，中國隊贏得了其中80%的場次，陳濤在其代表中國隊出場的40場比賽中，有30場比賽完成了進球或者助攻．在本屆比賽中，中國隊在小組賽中順利出線，淘汰賽首輪中對陣世界足壇的傳統(tǒng)強隊德國隊．已知在淘汰賽對陣德國隊的比賽中，陳濤代表中國隊出場比賽，雖然經(jīng)過全隊不懈努力，仍然不敵強大的德國隊，遺憾告別世界杯．那么，若以過往的數(shù)據(jù)估計概率，請估計陳濤在本場比賽貢獻進球或者助攻的概率．【答案】(1)分布列見解析，期望為分；(2).【分析】（1）求出的可能值，及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）利用全概率公式求出中國隊獲勝的概率，再利用條件概率公式求解作答.【詳解】（1）依題意，隨機變量可取值為：3，4，5，6，7，9，,，所以的分布列為：3456790.090.120.040.30.20.25的期望為分（2）記事件為陳濤取得進球或者助攻，則為末進球且未助攻，則，，事件為中國隊獲勝，則，，，，所以，即在中國隊輸給德國隊的前提下，陳濤進球或助攻的概率為.25．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）為貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于學(xué)生近視問題的指示精神和《教育等八部門關(guān)于印發(fā)<綜合防控兒童青少年近視實施方案>的通知》以及《中國防治慢性病中長期規(guī)劃（2017-2025年）》等文件要求，切實提升我省兒童青少年視力健康整體水平，實施了，“明眸”工程.各中小學(xué)為推進近視綜合防控，落實“明眸”工程，開展了近視原因的調(diào)查.其校為研究本校的近視情況與本校學(xué)生是否有長時間使用電子產(chǎn)品習(xí)慣的關(guān)系，在已近視的學(xué)生中隨機調(diào)查了100人，同時在未近視的學(xué)生中隨機調(diào)查了100人，得到如下數(shù)據(jù)：長時間使用電子產(chǎn)品非長時間使用電子產(chǎn)品近視4555未近視2080(1)能否有99%的把握認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)？(2)據(jù)調(diào)查，某?；冀晫W(xué)生約為46%，而該校長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生約為30%，這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從每天非長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，求他患近視的概率.附：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有的把握認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用公式求出，即可判斷出結(jié)果；（2）先弄清事件的構(gòu)成，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）零假設(shè)為：學(xué)生患近視與長時間使用電子產(chǎn)品無關(guān).根據(jù)小概率的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出成立，所以不成立，即有的把握認(rèn)為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品的習(xí)慣有關(guān).（2）設(shè)“長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生”，“非長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人患近視”，則，且互斥，，根據(jù)全概率公式有，所以26．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）甲、乙、丙、丁四支球隊進行單循環(huán)小組賽，比賽分三輪，每輪兩場比賽，具體賽程如下表：第一輪甲VS乙丙VS丁第二輪甲VS丙乙VS丁第三輪甲VS丁乙VS丙規(guī)定：每場比賽獲勝的球隊記3分，輸?shù)那蜿犛?分，平局兩隊各記1分，三輪比賽結(jié)束后以總分排名.總分相同的球隊以抽簽的方式確定排名，排名前兩位的球隊出線.假設(shè)甲、乙、丙三支球隊水平相當(dāng)，彼此間勝、負、平的概率均為，丁的水平較弱，面對其他任意一支球隊勝、負、平的概率都分別為，，.每場比賽結(jié)果相互獨立.(1)求丁的總分為7分的概率；判斷此時丁能否出線，并說明理由；(2)若第一輪比賽結(jié)束，甲、乙、丙、丁四支球隊積分分別為3，0，3，0，求丁以6分的成績出線的概率.【答案】(1)，一定出線，理由見解析(2)【分析】（1）由相互獨立事件的乘法公式求解即可得出丁的總分為7分的概率；再分析丁出線的原因；（2）丁以6分的成績出線分為三種情況：第二輪中若甲負于丙或平丙、第二輪中若甲勝丙、第三輪中丙平乙或負于乙和第二輪中若甲勝丙時、第三輪中丙勝乙時，甲、丁、丙隊總分均為6分，分別求出其概率即可得出答案.【詳解】（1）記第輪比賽丁勝、平、負的事件分別為，每場比賽結(jié)果相互獨立.丁總分為7分，則丁三場比賽兩勝一平，記丁三輪比賽兩勝一平的事件為，丁總分7分一定出線.理由如下：丁三場比賽中贏兩場，這兩場丁的對手比分最多6分.小組賽兩隊出線，所以丁一定出線.（2）第一輪比賽，甲勝乙，丙勝丁，又丁總分為6分，則丁對戰(zhàn)甲、乙都獲勝，此時，乙隊總分最多3分，少于丁隊總分，①第二輪中若甲負于丙或平丙時，甲總分最多4分，少于丁隊總分，此時甲、乙兩隊少于丁隊總分，丁一定出線，其相應(yīng)的概率，②第二輪中若甲勝丙、第三輪中丙平乙或負于乙時，丙總分最多4分，此時丙、乙兩隊少于丁隊總分，丁一定出線，其相應(yīng)的概率，③第二輪中若甲勝丙時、第三輪中丙勝乙時，甲、丁、丙隊總分均為6分，此時由抽簽確定出線，三隊中有兩隊出線，每隊出線概率為，丁隊出線的概率，綜上，丁以6分出線的概率為.27．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有一種不斷分裂的細胞，每個時間周期內(nèi)分裂一次，一個細胞每次分裂能生成一個或兩個新的細胞，每次分裂后原細胞消失，設(shè)每次分裂成一個新細胞的概率為，分裂成兩個新細胞的概率為；新細胞在下一個周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個細胞間相互獨立.設(shè)有一個初始的細胞，在第一個周期中開始分裂，其中.(1)設(shè)結(jié)束后，細胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)結(jié)束后，細胞數(shù)量為的概率為.（i）求；（ii）證明：.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出的取值及不同取值對應(yīng)的概率，進而列出分布列，利用期望公式求出期望；（2）（i）求出第時分裂為個細胞的概率，再用等比數(shù)列求和公式，即可求解；（ii）求出第時分裂為個細胞的概率，再用等比數(shù)列求和公式，求出，再利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定最值，即可得證.【詳解】（1）個結(jié)束后，的取值可能為,其中,，，，所以分布列為.（2）（i）表示分裂結(jié)束后共有個細胞的概率，則必在某一個周期結(jié)束后分裂成個細胞.不妨設(shè)在第時分裂為個細胞，之后一直有