矩陣初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用

矩陣初等變換在高等代數(shù)中的應(yīng)用

矩陣作為一種矩陣運(yùn)作方法，矩陣的初等變換在高等代數(shù)中起著非常重要的作用，也是高等代教育的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在這項(xiàng)工作中，我們使用了等式矩陣、塊矩陣和-矩陣的矩陣變換方法，并希望將矩陣?yán)碚摰慕逃龖?yīng)用于矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用。1基于矩陣的某暢通列矩陣初等變換指下列的3種變換:一是用數(shù)域P中的一個(gè)非零的數(shù)c乘矩陣的某一行(列);二是把矩陣的某一行(列)的c倍加到另一行(列),其中c是數(shù)域P中的任意一個(gè)數(shù);三是互換矩陣中兩行(列)的位置.以下探討初等變換在數(shù)字矩陣中的應(yīng)用.1.1可逆性判斷矩陣a的可逆性利用初等變換將矩陣化為階梯形,若其對(duì)應(yīng)的行列式不為零則矩陣可逆,且行列式的值等于主對(duì)角線上各元素之積,但應(yīng)注意第三種變換會(huì)使行列式的值變號(hào),第一種變換會(huì)使行列式的值變?yōu)樵瓉?lái)的c倍.例1判斷矩陣A的可逆性并求|A|,已知解:由于|A|≠0,故A可逆.又由于在上述初等變換過(guò)程中曾進(jìn)行過(guò)一次兩行的互換,故|A|=-(-13)×16×1.5=312.1.2逆矩陣法求解設(shè)A為n階可逆陣,將A與E組成一個(gè)n行2n列矩陣(AE,),則由A-1(AE,)=(E,A-1)可知,通過(guò)對(duì)矩陣(AE,)作一系列行初等變換,即可求出A-1.用這種方法求逆矩陣,應(yīng)注意的是只能進(jìn)行行初等變換.例2求A-1,已知解:由于于是1.3確定原矩陣秩由于初等變換不改變矩陣的秩,故可先利用行初等變換將原矩陣化為行梯形矩陣,從而確定原矩陣的秩.例3求r(A),已知解:由于因此r(A)=3.1.4自由變量的運(yùn)用對(duì)線性方程組的增廣矩陣作行初等變換,將增廣矩陣化為行階梯型,即可得到方程組的解.用這種方法解線性方程組,應(yīng)注意的是只能作行初等變換.例4解線性方程組解:由于故r(A)=2.通解中有4-2=2個(gè)自由變量,即令ξ1=(-2,1,0,0)T,ξ2=(1,0,0,1)T,則方程組的通解為x=k1ξ1+k2ξ2,其中k1,k2為任意數(shù).2變換分塊矩陣矩陣分塊是矩陣?yán)碚撝械幕痉椒ㄖ?而初等變換則是處理分塊矩陣的重要工具.對(duì)一個(gè)分塊矩陣A作一次初等行(列)變換,就相當(dāng)于在A的左(右)邊乘上一個(gè)相應(yīng)的分塊初等矩陣.2.1采用分塊矩陣的等分維方法，反矩陣的逆矩陣示例5其中矩陣A和D可逆,O為零矩陣,求T-1.解:由于則2.2n矩陣非變異順序易證矩陣的秩有以下初等性質(zhì):設(shè)A是一個(gè)r×s矩陣,B是一個(gè)p×q矩陣,則當(dāng)且僅當(dāng)A(或B)是非奇異方陣或者C為零矩陣時(shí)等號(hào)成立.例6設(shè)A是m×n矩陣的非奇異順序主子陣,則證明:因?yàn)槎鳤是非奇異陣,故2.3行列公式的值是通過(guò)分塊矩陣的初等變換來(lái)計(jì)算的證明:由于(I為單位陣),兩邊取行列式則可得3-矩陣的初等變換對(duì)一個(gè)s×n階λ-矩陣A(λ)作一次初等變換,就相當(dāng)于在A(λ)的左邊乘上一個(gè)s×s初等矩陣,或者在A(λ)的右邊乘上一個(gè)n×n初等矩陣.初等矩陣都是可逆的,并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c))-1=P(i(c-1))P,(i,j(?))-1=P(i,j(-?)).λ-矩陣的初等變換主要用來(lái)求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,進(jìn)而求初等因子、不變因子等.例8用初等變換化λ-矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形,并求出其不變因子和初等因子.解:先化A(λ)為標(biāo)準(zhǔn)形.故不變因子分別為1,λ和λ2+1,初等因子為λ,λ和(λ+1).此外,也可利用λ-矩陣及其初等變換求多項(xiàng)式的最大公因式.具體步驟為:對(duì)A施行一系列行初等變換,逐步消去兩個(gè)多項(xiàng)式中次數(shù)較高的首項(xiàng),降低其次數(shù),直到有一個(gè)多項(xiàng)式變?yōu)榱愣囗?xiàng)式,再用非零行元素多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)的倒數(shù)乘以該行而得到矩陣B,即例9求(f(x)g