等比數(shù)列的前項和及性質(zhì)6大題型總結(jié) （解析版）

等比數(shù)列的前項和及性質(zhì)考點預(yù)測及題型總結(jié)【考點預(yù)測】一．等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為注①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．③，為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．二．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1）若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：①等間距抽?。簽榈缺葦?shù)列，公比為．②等長度截?。簽榈缺葦?shù)列，公比為（當(dāng)時，不為偶數(shù)）．（2）公比不為－1的等比數(shù)列的前項和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．（3）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．（4）當(dāng)，時，是成等比數(shù)列的充要條件，此時．【題型目錄】題型一：等比數(shù)列求和公式基本運用題型二：等比數(shù)列前項片段和的性質(zhì)及應(yīng)用題型三：等比數(shù)列前項和的特點題型四：等比數(shù)列前奇偶項和的性質(zhì)及應(yīng)用題型五：等比數(shù)列前項和新文化試題題型六：等差等比數(shù)列的判定【典型例題】題型一：等比數(shù)列求和公式基本運用【例1】（2022·河北深州市中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．510 B．511 C．1022 D．1023【答案】A【分析】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式和前項和公式代入化簡可得，即可求出，進而求出，再由前項和公式代入即可得出答案.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，則由得，即，即，即，解得（舍去）．由得，所以.故選：A．【例2】（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高三階段練習(xí)（文））中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【答案】D【分析】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列,由題意求出首項，可得其通項公式，即可求出，判斷A,B;求出可判斷C,D.【詳解】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列前n項和為，則，故，解得，則，故，該人第五天走的路程為12里，A錯誤；，該人第三天走的路程為48里，B錯誤；，該人前三天共走的路程為里，C錯誤；由（里），可知該人最后三天共走的路程為42里，D正確，故選：D【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，對于任意的，都有.若正整數(shù)滿足,則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)可判斷數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，進而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及求和求和公式即可求解.【詳解】令，則由，可得，即，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，所以，由，得，解得，故選：C.【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前項和，滿足，則的最小值為（

）A．

B．3

C．4 D．12【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項為，公比為，利用，可得，則，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項為，公比為，若，則有，又由數(shù)列為正項的等比數(shù)列，則，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為12.故選：D.【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知,，則的值是（

）A．28

B．32

C．35

D．41【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易知，由等比數(shù)列前項和公式列方程組求得，，然后由通項公式計算．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易知，∵S3，S6，∴，解得.則a827＝32.故選：B.【例6】（2022·甘肅·敦煌中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)為公比的等比數(shù)列的前n項和，且成等差數(shù)列，則________．【答案】10【分析】利用等比數(shù)列、等差中項列方程，可解出q，則可由求值.【詳解】由題意，，解得（舍）或，∴.故答案為：10【例7】（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前n項和為，且關(guān)于x的不等式的解集為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的首項，公差為，根據(jù)不等式的解集求出首項與公差，進而可求出通項公式；（2）由（1）得，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為關(guān)于x的不等式的解集為，所以的根為，所以，所以又，所以，所以數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）可得，，因為，所以，所以數(shù)列的前n項和.【例8】（2022·遼寧·本溪滿族自治縣高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，，(1)求此數(shù)列的通項公式；(2)若從此數(shù)列中依次取出第二項，第四項，第八項，……，第項，……并按原來的先后順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的通項公式與前項和.【答案】(1)，(2)，.【分析】（1）設(shè)的公差為，依題意得到方程組，解得，，即可得到通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列前和公式及分組求和法計算可得.（1）解：設(shè)的公差為，依題意可得.解得，，所以.（2）解：依題意，所以.【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列．若，則（

）A．16 B．15 C．8 D．7【答案】B【分析】設(shè)公比為，由，，成等差數(shù)列，列方程可求出公比，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，即，因為，所以，解得所以，故選：B.2．（2022·河北·三河市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第三天走了（

）A．192

里 B．96

里 C．48

里 D．24

里【答案】C【分析】根據(jù)題意確定每天走的步數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的前7項和求解數(shù)列的首項，進而確定數(shù)列的第3項，即可得到此人第三天走的路程.【詳解】由題意得此人每天走的步數(shù)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且該數(shù)列的前7項和為378，設(shè)該等比數(shù)列為，則有，解得，則，即第三天走了48里.故選：C.3．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）已知正項等比數(shù)列前項和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】先根據(jù)與的關(guān)系得到，設(shè)出公比，列出方程組，求出公比.【詳解】因為，所以設(shè)公比為q，可得：，兩式相除得：故選：A4．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））記正項等比數(shù)列的前n項和為，若，則該數(shù)列的公比（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等比數(shù)列的意義列出關(guān)于的方程，求解作答.【詳解】正項等比數(shù)列中，，由得，整理得，即，解得，所以數(shù)列的公比.故選：C5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】設(shè)公比為，則由已知可得，從而可求出公比.【詳解】設(shè)公比為，因為，，所以，所以，即兩個方程左右兩邊分別相除，得，因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以，故選：D.6．（2022·湖北武漢·高三開學(xué)考試）設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)第一個等量關(guān)系得到關(guān)于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二個等量關(guān)系得到關(guān)于首項的方程，解方程得到首項，從而得到的值.注意正項等比數(shù)列的公比大于0.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q（q>0），則由得，即，即，即，解得（舍去）.由得，即，將代入得，解得，則.故選：A.7．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．28 B．42 C．49 D．56【答案】D【分析】先求得公比，然后求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以．故選：D8．（2022·上海市吳淞中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，（），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意推得，得到數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比都為，首項分別為和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時，可得，則，又由，可得，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比都為，首項分別為和，所以.故選：B.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是正項等比數(shù)列，為其前項和，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等比中項得，再利用和等比數(shù)列的通項公式計算，即可得到的值.【詳解】因為是正項等比數(shù)列，所以，，由等比中項得，解得，所以解得，，所以.故選：B.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，前n項積為，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比數(shù)列的通項公式與求和公式求出公比q，進而即可求解【詳解】設(shè)公比為q（顯然），由得，即，得或（舍去），所以遞增且，所以最小值為．故選：C11．（2022·安徽省宣城中學(xué)高二期末）我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大?小鼠第一天都進一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇？這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為10尺，則在第（

）天墻才能被打穿？A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】設(shè)需要n天時間才能打穿，結(jié)合題設(shè)列不等式并整理得，令，利用函數(shù)零點存在性定理及函數(shù)單調(diào)性即可求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)需要n天時間才能打穿，則，化簡并整理得，令，則；，又在單調(diào)遞增，∴在內(nèi)存在一個零點，∴至少需要4天時間才能打通．故選：B．12．（2022·新疆·烏市八中高二期末（理））已知正項等比數(shù)列的前項和為，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用等比數(shù)列的性質(zhì)解得，在結(jié)合，即可解得與，最后代前項和公式即可求解【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為而，則，所以，所以，解得故選：C13．（2023·全國·高三專題練習(xí)多選題）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細算相還”．其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為12里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【答案】AD【分析】由題意可得此人每天走了路程構(gòu)成了一個公比為的等比數(shù)列，且，由此可求出首項，然后逐個分析判斷【詳解】由題意可得此人每天走了路程構(gòu)成了一個公比為的等比數(shù)列，且，所以，解得，所以，對于A，因為，所以A正確，對于B，因為，所以B錯誤，對于C，，所以C錯誤，對于D，該人最后三天共走的路程為，所以D正確，故選：AD14．（2022·上?！じ呷_學(xué)考試）已知是等比數(shù)列，為其前n項和，若是、的等差中項，，則______．【答案】1【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式列方程組即可求解.【詳解】設(shè)，由題意得，當(dāng)公比時，有，解得，．當(dāng)公比時，是常數(shù)列，不滿足是、的等差中項.綜上：，.故答案為：115．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，，，則項數(shù)______．【答案】7【分析】根據(jù)已知條件求得以及公比，從而求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，由，解得或，則.①當(dāng)時，，.②當(dāng)時，..綜上所述，的值為.故答案為：16．（2022·云南曲靖·高二期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，公比．若，則__________．【答案】【分析】由等比數(shù)列的求和公式化簡求出公比即可.【詳解】由題意知，，解得或，又，則.故答案為：.17．（2022·安徽·高二期末）如圖，在邊長為的正方形ABCD中，點A1，B1，C1，D1分別為正方形ABCD各邊的中點，點A2，B2，C2，D2分別為正方形A1，B1，C1，D1各邊的中點，……，記正方形AnBnCnDn的面積為an，若數(shù)列{an}的前m項和Sm=，則m=___________.【答案】6【分析】依題意可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可得；【詳解】解：因為，，依題意可得，且，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，又，所以，即，所以；故答案為：18．（2022·甘肅·敦煌中學(xué)高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)為等比數(shù)列的前n項和，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得答案；（2）由題意，根據(jù)等比數(shù)列的定義，求得公比，結(jié)合求和公式，可得答案.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，則，，，則，故的通項公式為.（2）由，兩邊同減，可得，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，由，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則.19．（2022·四川內(nèi)江·高一期末（文））已知等比數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求通項公式；(2)若的前3項按某種順序重新排列后是遞增等差數(shù)列的第八、九、十項，求的前n項和的最小值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得到方程組，即可求出、，從而求出通項公式；（2）列出數(shù)列的前項，再按照要求排列，即可求出的通項公式，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性及前項和公式計算可得；(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，所以，，解得或，所以或.(2)解：若，則前項均為，顯然不滿足是遞增的等差數(shù)列，故舍去；所以，則，，，因為是遞增的等差數(shù)列，所以，，，所以公差，所以，所以當(dāng)時，時，所以當(dāng)時取得最小值，即；題型二：等比數(shù)列前項片段和的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知各項為正的等比數(shù)列的前5項和為3，前15項和為39，則該數(shù)列的前10項和為（

）A． B． C．12 D．15【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)即可得到答案【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得也為等比數(shù)列，又，故可得即，解得或，因為等比數(shù)列各項為正，所以，故選：C【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列中，前n項和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)、等比中項的性質(zhì)進行求解.【詳解】因為，且也成等比數(shù)列，因為，，所以，所以8，-1，S9-S6成等比數(shù)列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.【例3】（2022·四川省內(nèi)江市第二中學(xué)高二開學(xué)考試（文））等比數(shù)列的前項和為，公比為，若，，則（）A．50 B．100 C．146 D．128【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得S6﹣S3＝16，進而由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即S9﹣S6＝128，變形可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，則S6﹣S3＝18﹣2＝16，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6構(gòu)成等比數(shù)列，故，即S9﹣S6＝128，故S9＝S6+128＝146，故選：C．【例4】（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）若等比數(shù)列的前n項，前2n項，前3n項的和分別為A，B，C，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，進行整理可得答案．【詳解】有題意可知：,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以，整理可得：．進而得故選：D【例5】（2022·全國·高二課時練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中正確的有（

）A．若數(shù)列的前n項和（a，b，c為常數(shù)），則數(shù)列為等差數(shù)列B．若數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，為前n項和，則，，，…仍為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前n項和，則，，，…仍為等比數(shù)列【答案】BC【分析】由得，進而可判斷A和B；由等差數(shù)列的性質(zhì)判斷C；舉反例判斷D.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于選項A：因為，，當(dāng)時，，所以，所以只有當(dāng)時，數(shù)列成等差數(shù)列，故A錯誤；對于選項B：因為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合上式，所以，則數(shù)列成等比數(shù)列，故B正確；對于選項C：數(shù)列是等差數(shù)列，為前項和，則，，，是公差為（為的公差）的等差數(shù)列，故C正確；對于選項D：令，則，，，是常數(shù)列，顯然不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：BC.【題型專練】1．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為等比數(shù)列可求的值.【詳解】因為且為等比數(shù)列，故為等比數(shù)列，故，解得，故選：B.2．（2022·遼寧·高二期中）等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質(zhì)得到方程，求出，再檢驗即可；【詳解】解：因為等比數(shù)列的前n項和為，所以，，成等比數(shù)列，因為，，所以，解得或，因為，所以，則．故選：A3．（2022·遼寧·建平縣實驗中學(xué)高二期中）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A． B． C．5 D．7【答案】C【分析】用等比數(shù)列前項表示出，即可求出，代入即可求解.【詳解】由題知：顯然即，解得或（舍）所以故選：C4．（2022·安徽滁州·高二期中）若等比數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，利用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)直接寫出.【詳解】，，由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)：，，，，…成等比數(shù)列，所以，則．故選：D5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，，，（）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40【答案】D【分析】由{an}是等比數(shù)列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比數(shù)列，列方程組，從而即可求出S40的值．【詳解】由{an}是等比數(shù)列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比數(shù)列，即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13構(gòu)成等比數(shù)列，∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故選：D．6．（2022·江西·南昌十中模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為_______【答案】【分析】利用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.若，當(dāng)為偶數(shù)時，，不合乎題意，所以，，由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)可知，、、、成等比數(shù)列，且公比為，所以，，，因此，.故答案為：.7．（2022·甘肅·敦煌中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列的前n項和，若，則______.【答案】【分析】設(shè)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出即得解.【詳解】解：設(shè)，所以因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，因為數(shù)列的公比為2，所以，所以.所以.故答案為：8．（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則______，最小值為______．【答案】

2

8【分析】根據(jù)等差中項可求出；利用，，成等比數(shù)列，結(jié)合基本不等式可得最小值.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，又因為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，所以，，成等比數(shù)列，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“＝”．故答案為：；.題型三：等比數(shù)列前項和的特點【例1】（2023·河北·大名縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）一個等比數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】討論求得與題設(shè)不符，再由等比數(shù)列前n項和公式及已知即可求.【詳解】當(dāng)時，，則，顯然與題設(shè)不符；∴，即等比數(shù)列不是常數(shù)列，∴，則，可得．故選：B．【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若等比數(shù)列的前項和，則等于（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】令得出，再由得出，由題意得出適合的表達式，從而可得出實數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，.由于數(shù)列是等比數(shù)列，適合，，解得.故選C.【點睛】本題考查利用前項和公式求，同時也考查了等比數(shù)列定義的理解，在由計算，利用公式，但要對是否滿足進行檢驗，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.【例3】（2022·新疆石河子一中高三階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，則的值是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用先求出，然后計算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，,,故當(dāng)時，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項和的表達形式，只要求出數(shù)列中的項即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).【例4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，前項和為，下列判斷錯誤的有（

）A．為等比數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．若，則【答案】BC【分析】對于選項A，利用等比數(shù)列的定義判斷即可；對于選項B，C，利用舉反例的辦法判斷即可，對于選項D，先求出，，的值，再利用即可求出的值．【詳解】解：令，則，所以是等比數(shù)列，選項A正確；若，則無意義，所以選項B錯誤；當(dāng)時，，此時不是等比數(shù)列，所以選項C錯誤；若，則，，，由是等比數(shù)列，得，即，解得，所以選項D正確．故選：BC．【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），且其前n項和，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得是以為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)求出的通項公式，即可得到方程組，解得即可.【詳解】解：若，則，又，顯然不滿足條件，所以，又（為非零常數(shù)），所以，即是以為公比的等比數(shù)列，當(dāng)時，即，當(dāng)時，所以又，所以，解得．故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的前n項和，則（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式確定參數(shù)的值.【詳解】，當(dāng)時，，因為是等比數(shù)列，所以，得，所以A正確.故選：A.3．（2021·福建省長樂第一中學(xué)高二階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項和，已知，，則_______.【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，分、兩種情況討論，根據(jù)等比數(shù)列前項和的特點可求得實數(shù)的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.若，則，，不合乎題意；若且，則，又因為，故，解得.故答案為：.4．（2021·廣西·柳州市第二中學(xué)高二期末（理））已知等比數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式______________.【答案】.【解析】根據(jù)求出首項、第二項、第二項，從而得出t、公比及首項，可得數(shù)列的通項公式.【詳解】由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即，所以，，公比，所以.故答案為：.題型四：等比數(shù)列前奇偶項和的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（2022·湖北·襄陽五中模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題知當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，前n項和為滿足，，進而分為奇數(shù)和為偶數(shù)討論求解即可.【詳解】解：由題意得，，，即，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，；設(shè)的前n項和為，則，.若為奇數(shù)，則為3的倍數(shù)，不是的倍數(shù)，不合題意；當(dāng)為偶數(shù)，則，即，所以.故選：B【例2】（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的倍，前項之積為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比中項的性質(zhì)求出，即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項之和是所有偶數(shù)項之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項，則，所以，，因為，可得，因此，.故選：C.【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】本題首先可設(shè)公比為，然后根據(jù)得出，再然后根據(jù)求出，最后根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，因為，所以，則，即，解得，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)等比數(shù)列前項和求參數(shù)，能否根據(jù)等比數(shù)列項與項之間的關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵，考查計算能力，是中檔題.【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，且，則___________.【答案】120【分析】在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，結(jié)合所求，化簡計算，即可得答案.【詳解】因為在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，所以.故答案為：120【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，，，則下列選項不正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．C．是等比數(shù)列 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推公式得到是以首項為、公比為1的等比數(shù)列，即可判斷選項A正確；根據(jù)A得到，即可判斷選項B錯誤；根據(jù)遞推公式得到，從而判斷選項C正確；根據(jù)是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，即可得到，即可判斷選項D正確．【詳解】對于A：當(dāng)是奇數(shù)時，，所以，又因為，所以，所以當(dāng)是奇數(shù)時，，即．即是以首項為，公比為1的等比數(shù)列，即選項A正確；對于B：由A知：當(dāng)是奇數(shù)時，，所以，即選項B錯誤；對于C：當(dāng)為偶數(shù)時，，即，又因為，所以，所以是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故選項C正確；對于D：，即選項D正確．故選：B.【題型專練】1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項和是奇數(shù)項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數(shù)列的項數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列項數(shù)為2n項,先根據(jù)奇數(shù)項的和與偶數(shù)相的和求得數(shù)列的公比,可得通項公式，進而根據(jù)中間兩項的和為24求得n.【詳解】設(shè)等比數(shù)列項數(shù)為2n項,所有奇數(shù)項之和為,所有偶數(shù)項之和為,則,又它的首項為1，所以通項為，中間兩項的和為，解得，所以項數(shù)為8，故選B.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用奇數(shù)項的和與偶數(shù)相的和求得數(shù)列的公比.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項中，所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項的和為，則的值為______．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出的值，進而可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)等比數(shù)列的前項中，設(shè)所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項的和為，則，所以，，又，則，因此，.故答案為：.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項和為______．【答案】450【分析】利用等比數(shù)列的前100項中的所有偶數(shù)項和與所有奇數(shù)項和的關(guān)系即可計算得解.【詳解】在等比數(shù)列中，公比，則有，而，于是得，所以數(shù)列的前100項和．故答案為：4504．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知正項等比數(shù)列共有項，它的所有項的和是奇數(shù)項的和的倍，則公比______.【答案】【分析】利用以及已知條件可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，由，得，因為，所以，所以，.故答案為：.題型五：等比數(shù)列前項和新文化試題【例1】（2020·全國·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進一步得到.【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關(guān)的計算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.【例2】（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高三階段練習(xí)（文））中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【答案】D【分析】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列,由題意求出首項，可得其通項公式，即可求出，判斷A,B;求出可判斷C,D.【詳解】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列前n項和為，則，故，解得，則，故，該人第五天走的路程為12里，A錯誤；，該人第三天走的路程為48里，B錯誤；，該人前三天共走的路程為里，C錯誤；由（里），可知該人最后三天共走的路程為42里，D正確，故選：D【例3】（2022·安徽滁州·高二期末）我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織出的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問這女子每天織布多少？”這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究．某數(shù)學(xué)愛好者對于這道題作了以下改編：有甲、乙兩位女子，需要合作織出尺布．兩人第一天都織出一尺，以后幾天中，甲女子每天織出的布都是前一天的倍，乙女子每天織出的布都比前一天多半尺，則兩人完成織布任務(wù)至少需要（

）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】D【分析】由題意得數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，然后結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】解：設(shè)甲，乙每天織布分別記為數(shù)列，，由題意得數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，故，即，因為在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，而，故的解為,故至少需要5天，故選：D．【例4】（2022·湖南岳陽·高二期末）十九世紀(jì)下半葉，集合論的創(chuàng)立奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間［0，1］平均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別平均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…；如此這樣．每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別平均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，若去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用題中的條件，分別計算出每一次操作去掉的區(qū)間的長度，結(jié)合對數(shù)不等式即可解出.【詳解】第一次操作去掉的區(qū)間長度為，第二次操作去掉兩個長度為的區(qū)間，長度和為，第三次操作去掉四個長度為的區(qū)間，長度和為，，第次操作去掉個長度為的區(qū)間，長度和為，于是進行了次操作后，所有去掉的區(qū)間長度之和為，由題意可知，，即，解得，又為整數(shù)，所以需要操作的次數(shù)n的最小值為.故選：A.【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））費馬數(shù)是以法國數(shù)學(xué)家費馬命名的一組自然數(shù)，具有形式為記做，其中為非負數(shù)．費馬對，，，，的情形做了檢驗，發(fā)現(xiàn)這組費馬公式得到的數(shù)都是素數(shù)，便提出猜想：費馬數(shù)是質(zhì)數(shù)．直到年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)為合數(shù)，宣布費馬猜想不成立．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前項和滿足的最小自然數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，利用等比數(shù)列的前項和公式求得，進而求得的最小自然數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，可得數(shù)列滿足，利用等比數(shù)列的前項和公式，可得數(shù)列的前項和，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，又由，所以單調(diào)遞增，所以的最小自然數(shù)為.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）畢達哥拉斯樹是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一個可以無限重復(fù)的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以被成為畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”.畢達哥拉斯樹的生長方式如下：以邊長為的正方形的一邊作為斜邊，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到個新的小正方形，實現(xiàn)了一次生長，再將這兩個小正方形各按照上述方式生長，如此重復(fù)下去，設(shè)第次生長得到的小正方形的個數(shù)為，則數(shù)列的前項和___________.【答案】##【分析】分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】由題意可得且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項和公比均為，因此，.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，若不等式恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)第1代“勾股樹”，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)，以此類推，得到第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)，即，從而得到求解.【詳解】解：第1代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為，…，以此類推，第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，即，所以，因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，所以n的最小值為9．故選：C．4．（廣東省廣州市七區(qū)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題多選題）如圖所示，圖1是邊長為1的正方形，以正方形的一邊為斜邊作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩個直角邊為邊分別作正方形得到圖2，重復(fù)以上作圖，得到圖3，…．記圖1中正方形的個數(shù)為，圖2中正方形的個數(shù)為，圖3中正方形的個數(shù)為，…，圖中正方形的個數(shù)為，下列說法正確的有（

）A． B．圖5中最小正方形的邊長為C． D．若，則圖中所有正方形的面積之和為8【答案】BCD【解析】【分析】將相同的正方形看作同一“層”，自下而上每一“層”正方形個數(shù)成等比數(shù)列，可以求出數(shù)列的通項公式，然后分別驗證各選項.【詳解】將相同的正方形看作同一“層”，自下而上每一“層”正方形個數(shù)成等比數(shù)列，且公比為2，根據(jù)等比數(shù)列前項和可知.選項A：，A錯誤.選項B：又因自下而上每一“層”的正方形的邊長也稱等比數(shù)列，且公比為，所以每“層”正方形邊長,所以，B正確.選項C：，C正確.選項D：解得，每一“層”的面積和，所以當(dāng)時所有正方形的面積之和為8,D正確.故選：BCD5．（2022·山東東營·高二期末多選題）如圖，是一塊半徑為1的圓形紙板，在的左下端前去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個前掉半圓的半徑）得圖形，，記紙板的周長為，面積為，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】觀察圖形，分析剪掉的半圓的變化，紙板相較于紙板剪掉了半徑為的半圓，再分別寫出和的遞推公式，從而累加得到通項公式再逐個判斷即可【詳解】根據(jù)題意可得紙板相較于紙板剪掉了半徑為的半圓，故，即，故，，，…，累加可得，所以，故A正確，C錯誤；又，故，即，故D正確；又，，…，累加可得，故正確，故B正確；故選：ABD題型六：等差等比數(shù)列的判定【例1】（2022·廣東·佛山一中高二期中多選題）對任意數(shù)列，下列說法一定正確的是（

）A．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列B．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列C．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義逐一判斷可得選項.【詳解】解：對于A，設(shè)數(shù)列的公差為d，因為，所以公比為非零常數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故A正確；對于B，不妨設(shè)而不是等差數(shù)列，故B不正確；對于C，不妨令，數(shù)列是等比數(shù)列，而，所以此時數(shù)列不是等比數(shù)列，故C不正確；對于D，設(shè)數(shù)列的公比為q，則，所以公差為常數(shù)，所以是等差數(shù)列，故D正確，故選：AD.【例2】（2022·海南華僑中學(xué)高二期末多選題）已知等比數(shù)列{}中，滿足，，則（

）A．?dāng)?shù)列{}是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{}中，仍成等比數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】先利用等比數(shù)列通項公式求出，從而得到，利用等比數(shù)列的定義判斷A選項；得到，判斷出為遞減數(shù)列；求出，利用等差數(shù)列定義判斷C選項，計算出，利用得到不成等比數(shù)列.【詳解】由題意得：，所以，則，所以數(shù)列{}是等比數(shù)列，A正確；，所以，且，故數(shù)列是遞減數(shù)列，B錯誤；，所以，C正確；，因為，故數(shù)列{}中，不成等比數(shù)列，D錯誤.故選：AC【例3】（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測多選題）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，則下列說法中一定正確的是（

）A．?dāng)?shù)列：，，，成等比數(shù)列B．當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】利用等比數(shù)列的定義及求和公式，