2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 獨(dú)立性檢驗 學(xué)案

§3獨(dú)立性檢驗課標(biāo)要求1.通過實(shí)例理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.了解隨機(jī)變量χ2的意義，通過對典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗的基本思想和方法.素養(yǎng)要求通過運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).1.思考山東省教育廳大力推行素質(zhì)教育，增加了高中生的課外活動時間，某校調(diào)查了學(xué)生的課外活動方式，結(jié)果整理成下表：如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？提示可通過表格與圖形進(jìn)行直觀分析，也可通過統(tǒng)計分析定量判斷.2.填空(1)2×2列聯(lián)表設(shè)A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝eq\o(A,\s\up6(－))1；變量B：B1，B2＝eq\o(B,\s\up6(－))1，有下面2×2列聯(lián)表：BAB1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；b表示變量A取A1，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)；c表示變量A取A2，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；d表示變量A取A2，且變量B取B2時的數(shù)據(jù).(2)獨(dú)立性檢驗的基本思想在2×2列聯(lián)表中，令χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時，在統(tǒng)計中，用以下結(jié)果對變量的獨(dú)立性進(jìn)行判斷.①當(dāng)χ2≤2.706時，沒有充分的證據(jù)判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；②當(dāng)χ2>2.706時，有90%的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)；③當(dāng)χ2>3.841時，有95%的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián)；④當(dāng)χ2>6.635時，有99%的把握判斷變量A，B有關(guān)聯(lián).3.做一做(1)關(guān)于分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的值，下列說法正確的是()A.χ2的值越大，“X和Y有關(guān)系”可信程度越小B.χ2的值越小，“X和Y有關(guān)系”可信程度越小C.χ2的值越接近于0，“X和Y無關(guān)”程度越小D.χ2的值越大，“X和Y無關(guān)”程度越大答案B解析χ2的值越大，X和Y有關(guān)系的可能性就越大，也就意味著X和Y無關(guān)系的可能性就越小.(2)下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x222527總計b46100則表中a＝________，b＝__________.答案5254解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋21＝73，,a＋2＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝52，,b＝54.))

題型一2×2列聯(lián)表例1在對人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人.六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)判斷二者是否有關(guān)系.解2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360總計7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(a,a＋b)＝eq\f(43,64)＝0.671875.eq\f(c,c＋d)＝eq\f(27,60)＝0.45.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.思維升華(1)作2×2列聯(lián)表時，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別.(2)根據(jù)頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，但此方法較粗略.訓(xùn)練1(1)假設(shè)有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時，X與Y的關(guān)系最弱()A.8 B.9C.14 D.19答案C解析由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時，X與Y的關(guān)系最弱.(2)某校為了檢驗高中數(shù)學(xué)新課程改革的成果，在兩個班進(jìn)行教學(xué)方式的對比試驗，兩個月后進(jìn)行一次檢測，試驗班與對照班成績統(tǒng)計如2×2列聯(lián)表所示(單位：人)，則其中m＝________，n＝________.80分及80分以上80分以下總計試驗班321850對照班24m50總計5644n答案26100解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(24＋m＝50，,56＋44＝n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝26，,n＝100.))題型二獨(dú)立性檢驗的基本思想例2某校對學(xué)生課外活動進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，用你所學(xué)過的知識進(jìn)行分析，喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系嗎？體育文娛總計男生212344女生62935總計275279解由題知，問題是“喜歡體育還是喜歡文娛與性別是否有關(guān)系”.∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(79×（21×29－23×6）2,44×35×27×52)≈8.106>6.635.所以有99%的把握認(rèn)為喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系.思維升華解決一般的獨(dú)立性檢驗問題，首先由所給的2×2列聯(lián)表確定a，b，c，d，n的值，然后代入χ2統(tǒng)計量的計算公式，根據(jù)所得結(jié)果確定有多大的把握判定兩個變量有關(guān)聯(lián).訓(xùn)練2(多選)千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗，并將這些經(jīng)驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”等等.小波同學(xué)為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，隨機(jī)觀察了他所在地區(qū)的100天中的“日落云里走”的情況和后半夜天氣情況，得到如下數(shù)據(jù)，后半夜天氣情況“日落云里走”的情況下雨未下雨總計出現(xiàn)25530未出現(xiàn)254570總計5050100并計算得到χ2≈19.05，則小波對該地區(qū)天氣的判斷正確的是()A.后半夜下雨的概率約為eq\f(1,2)B.未出現(xiàn)“日落云里走”時，后半夜下雨的概率約為eq\f(5,9)C.有99%的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“后半夜是否下雨”有關(guān)D.若出現(xiàn)“日落云里走”，則后半夜有99%的可能會下雨答案AC解析對A，把頻率看作概率，可得后半夜下雨的概率約為eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，故A判斷正確；對B，未出現(xiàn)“日落云里走”時，后半夜下雨的概率約為eq\f(25,25＋45)＝eq\f(5,14)，故B判斷錯誤；對C，由χ2≈19.05>6.635，知有99%的把握認(rèn)為“‘日落云里走’是否出現(xiàn)”與“后半夜是否下雨”有關(guān)，故C判斷正確；易知D判斷錯誤.題型三獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用例3某校高三年級在一次全年級的大型考試中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀有關(guān)系？物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級在此次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.解列出數(shù)學(xué)成績與物理成績的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計數(shù)學(xué)優(yōu)秀228132360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143737880總計3718691240將表中數(shù)據(jù)代入獨(dú)立性檢驗公式，得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(1240×（228×737－132×143）2,360×880×371×869)≈270.1>6.635.列出數(shù)學(xué)成績與化學(xué)成績的2×2列聯(lián)表如下：化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀總計數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156724880總計3818591240將表中數(shù)據(jù)代入獨(dú)立性檢驗公式，得χeq\o\al(2,2)＝eq\f(1240×（225×724－156×135）2,360×880×381×859)≈240.6>6.635.列出數(shù)學(xué)成績與總分成績的2×2列聯(lián)表如下：總分優(yōu)秀總分非優(yōu)秀總計數(shù)學(xué)優(yōu)秀26793360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀99781880總計3668741240將表中數(shù)據(jù)代入公式，得χeq\o\al(2,3)＝eq\f(1240×（267×781－93×99）2,360×880×366×874)≈486.1>6.635.所以，有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總成績優(yōu)秀都有關(guān)系.思維升華先利用χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計算χ2的值，再用它與臨界值的大小作比較來判斷兩變量之間有多大把握認(rèn)為有關(guān)系.訓(xùn)練3某研究小組調(diào)查了在2～3級風(fēng)時的海上航行中男女乘客的暈船情況，共調(diào)查了71人，其中女性34人，男性37人.女性中有10人暈船，另外24人不暈船；男性中有12人暈船，另外25人不暈船.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立2×2列聯(lián)表；(2)判斷暈