北京市2013屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試(西城一模)文新人教B版

北京市西城區(qū)2013屆高三下學(xué)期（4月）一模數(shù)學(xué)（文）試卷第I卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集U={X∈ZIlXI<5},集合A={—2,1,3,4},B={0,2,4}，那么AnCB=U(A){-2,1,4} (B){-2,1,3} (C){0,2}(D){-2,1,3,4}-1+i2．復(fù)數(shù)-(A)1+i(B)-1+i(C)-1-i(D)1-i(A)(B)(C)(D).執(zhí)行如圖所示的程序框圖.若輸出y=-、3，則輸入角θ=π6π6π3π3.設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q，前n項(xiàng)和為S，且a>0.若S>2a，則q的取值范圍是n n 1 23(A)(-1,0)U(0,1) (B)(-1,0)U(0,1)(C)(-∞,-1)U(?-,+∞) (D)(-∞,-NU(L+∞)5．某正三棱柱的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖是邊長為2的正方形，該正三棱柱的表面積是(A)6+v3 (B)12+v3(C)12+2v3 (D)24+2√3正《主)視圖俯視黑X+1≥0,.設(shè)實(shí)數(shù)X,)滿足條件U—y+1≥0,則y-4X的最大值是X+y-2≤0,(A)-41(B)--2(C)4(D)7.已知函數(shù)f(X)=X2+bx+c，則“C<0”是"3X∈R，使f(X)<0"的00(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件.如圖，正方體ABCD-ABCD中，E是棱BC的1111 11中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)，且PA=AE，則

11點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)形成的圖形是(A)線段(C)橢圓的一部分(B)圓弧(D)拋物線的一部分第∏卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．.已知向量i=（1,0），j=（0,1）.若向量i+λj與λi+j垂直，則實(shí)數(shù)X=Ilog羽X>0, 1.已知函數(shù)f(X)=L2C則f(-)+f(-2)= 12X, X<0, 4.拋物線y2=2X的準(zhǔn)線方程是；該拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（X,y）在此拋物線上，00且MFI=5，則Xo=..某廠對(duì)一批元件進(jìn)行抽樣檢測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批元件

的長度數(shù)據(jù)（單位：mm）全部介于93至105之間.

將長度數(shù)據(jù)以2為組距分成以下6組：［93，95），［95，97），［97，99），［99，101），［101，103），

［103,105］，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若長

度在［97,103）內(nèi)的元件為合格品，根據(jù)頻率分布直

方圖，估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率是 .cosAb3.在^ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊邊長分別為a,b,c，且 =-=-.若C=10,cosBa4則^ABC的面積是.αn,.已知數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為S.若a=\2

n n n+13a+1,na是偶數(shù)，口n且a是奇數(shù)，

nS=29,3貝Ua1=——；S3n=——?三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)3π已知函數(shù)f(X)=SmX+acosX的一個(gè)零點(diǎn)是—.(I)求實(shí)數(shù)a的值；(II)設(shè)g(X)=[f(X)]2—2sin2X,求g(X)的單調(diào)遞增區(qū)間.16.(本小題滿分14分)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB//CD,AC=33,AB=2BC=2,AC±FB.(I)求證：AC±平面FBC；(II)求四面體FBCD的體積；(III)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA〃平面FDM?證明你的結(jié)論.17.(本小題滿分13分)某商區(qū)停車場臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車一次停車不超過1小時(shí)收費(fèi)6元,超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨時(shí)停車,兩人停車都不超過4小時(shí).(I)若甲停車1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率為3，停車付費(fèi)多于14元的概率為152,求甲停車付費(fèi)恰為6元的概率；(I)若每人停車的時(shí)長在每個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲、乙二人停車付費(fèi)之和為36元的概率.已知函數(shù)f(x)=eX+ax,g(x)=axTnX，其中a≤0.(I)求f(x)的極值；(II)若存在區(qū)間M,使f(x)和g(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性，求a的取值范圍.19.(本小題滿分14分)x2y2如圖，已知橢圓式+?-=1的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于AB兩點(diǎn)，線段AB

I的中點(diǎn)為G,AB的中垂線與X軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn).(I)若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為-1，求直線AB的斜率；4(11)記4GFD的面積為S,△OED(O為原點(diǎn))的面1積為S.試問：是否存在直線AB,使得S=S?說明理由.

2 1220.(本小題滿分13分)已知集合S={XIX=(x,X,…,X),X∈N*,i=1,2,…,■5≥2).n 1 2 ni對(duì)于A=(a,a,???,a),B=(b,b,…,b)∈S，定義AB=(b一a,b一a,???,b一a)；1 2n 1 2nn 1 12 2nnλ(a,a,???,a)=(λa,λa,???,λa)(λ∈R)；1 2 n 1 2 nA與B之間的距離為d(A,B)=ZIa一bI.iii=1(I)當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)A=(1,2,1,2,5),B=(2,4,2,1,3),求d(A,B)；(II)證明：若A,B,C∈S,且3λ>0,使AB=λBC，貝Ud(A,B)+d(B,C)=d(A,C)；n(III)記I=(1,1,…,1)∈S.若A,B∈S,且d(I,A)=d(I,B)=13,求d(A,B)的20 20最大值.北京市西城區(qū)2013年高三一模試卷高三數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1．B；2．A； 3．D； 4．B； 5．C；二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.79.0； 10.——；412.80%； 13.24；注：11、14題第一問2分，第二問3分.2013.46.C； 7.A； 8.B.11.x=—~，2；14.5,7n+22.三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.15.(本小題滿分13分)3π(I)解：依題意，得f()=0, 41分.3π 3π√2√2a八即Sin—+aCos——=——一 =0, 34 4 2 2分解得a=1. 5分(II)解：由(1)得f(x)=Sinx+Cosx. 6分g(x)=[f(x)]2-2sin2x=(sinx+cosx)2-2sin2x=sin2x+cos2x 8分12分13分=√2sin(2x+4).πππ2kπ-—<2X+—≤2kπ+一3π πkπ-——≤x≤kπ+,k∈Z.8 83ππ所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+-],k∈Z.8816．(本小題滿分14分)(I)證明：在^ABC中,因?yàn)锳C=√3,AB=2BC=1,所以AC±BC.2分又因?yàn)锳C±FB,所以AC±平面FBC.4分(II)解：因?yàn)锳C?平面FBC所以AC±FC.因?yàn)镃D±FC,所以FC±平面ABCD.6分在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1所以FC=1.BCD7分由得所S= 4.242，，，,以△的面積為所以四面體FBCD的體積為：VF-BCD=3S?FC=K.9分(III)解：線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA//平面FDM，證明如下:…10分連結(jié)CE,與DF交于點(diǎn)N,連接MN.因?yàn)镃DEF為正方形，所以N為CE中點(diǎn).11分所以EA//MN. 12分因?yàn)镸NU平面FDM,EAD平面FDM, 13分所以EA〃平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA〃平面FDM成立. 14分17.(本小題滿分13分)(I)解：設(shè)“甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為6元”為事件A,1分貝UP(A)=1一(?+*)=L.312 4所以甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為6元的概率是14.4分(II)解：設(shè)甲停車付費(fèi)a元，乙停車付費(fèi)b元，其中a,b=6,14,22,30.6分則甲、乙二人的停車費(fèi)用構(gòu)成的基本事件空間為：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30),共16種情形. ………………10分其中,(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)這4種情形符合題意. ………………12分41

故“甲、乙二人停車付費(fèi)之和為36元”的概率為P= =-. 16413分18.(本小題滿分13分)(I)解：f(X)的定義域?yàn)镽,且f'(X)=eX+a.①當(dāng)a=0時(shí)，f(X)=eX，故f(X)在R上單調(diào)遞增.從而 f(x) 沒有極大值，也沒有極小值. 4分②當(dāng)aV0時(shí)，令f(X)=0，得X=ln(-a).f(X)和f'(X)的情況如下：X(-∞,ln(-a))ln(-a)(ln(-a),+∞)―f(X)一0+f(X)\/故f(X)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,ln(—a))；單調(diào)增區(qū)間為(ln(—a),+∞).從而f(X)的極小值為f(ln(-a))=-a+aln(-a)；沒有極大值. 6分(II)解：g(X)的定義域?yàn)?0,+∞),且g'(X)=a-1=ax-1. XX8分③當(dāng)a=0時(shí)，f(X)在R上單調(diào)遞增，g(X)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不合題意.…9分④當(dāng)aV0時(shí)，gf(X)<0,g(X)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)-1≤aV0時(shí)，ln(-a)≤0,此時(shí)f(X)在(ln(-a),+∞)上單調(diào)遞增，由于g(X)在(0,+∞) 上單調(diào)遞減,不合題意. 11分當(dāng)aV-1時(shí)，ln(-a)>0,此時(shí)f(X)在(-∞,ln(-a))上單調(diào)遞減，由于f(X)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，符合題意.綜上，a的取值范圍是(-∞,-1). (I)解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=k(X+1).1分X2 y2將其代入丁?=1,整理得(4k2+3)X2+8k2X+4k2—12=0.3分設(shè)A(XN),B(X2,V2)，所以—8k2X+X= 1 2 4k2+34分X+X —4k2故點(diǎn)6的橫坐標(biāo)為丁=E依題意，得—4k24k2+3146分解得k=+-!-.27分(H)解：假設(shè)存在直線AB,使得"=S2,顯然直線AB不能與X,y軸垂直.由(I)可得G(—4k2 3k)4k2+3'4k2+38分因?yàn)镈G±AB,3k所以4k2+3Xk=—1,—4k2 -X4k2+3D解得—k2X= D 4k2+3一k24k2+3,0)．即D(10分因?yàn)椤鱃FD-△OED,所以S=S=IGDI=IODI.12所以(一k2-4k24k2+34k2+3)2+(3k4k2+3)2=-k24k2+3，12分整理得8k2+9=0．13分因?yàn)榇朔匠虩o解，所以不存在直線AB，使得S=S.1214分20．(本小題滿分13分)(I)解：當(dāng)n=5時(shí)，由d(A,B)=E∣a―bI,iii=1得d(A,B)=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|5-3|=7，所以d(A,B)=7. 3分(II)證明：設(shè)A=(a,a,???,〃)，B=(b,b,???,b),C=(C,c,???,c).1 2n 1 2n 1 2n因?yàn)?λ>0，使通=λBC,所以3λ>0，使得(b-a,b-a,…,一〃)=λ((c-b,c一/?,???C-b),112 2 nn 112 2 nn所以≡λ>0，使得b-a=λ(C-b)，其中i=1,2,??.，〃.ii ii所以b-a與C-b(i=1,2,…,Zl)同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)ii ii數(shù). 6分所以d(A,B)+d(B,C)=ZIa-bI+ZIb-cIii iii=1 i=1=Zn(Ib-aI+IC-bI)

iiiii=1=∑lc-a?=d(A,C). iiz=l???8分(ΠI)解法一：J(A,B)=∑IZ?-aI.iiz=l設(shè)∕?-〃(2=1,2,…，20)中有加O≤20)項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，20—承項(xiàng)為負(fù)數(shù).不妨設(shè)iii=1,2,…，加時(shí)匕一〃≥0;i=z∕ι+l,z∕ι+2,???,20時(shí)，b-a<0.,(i i i i所以J(A9B)=∑lZ?-aIiiz=l—[(?÷b+…+/?)—(β÷a÷???÷β)]+[(〃 ÷ci ÷???÷β)—(∕?÷b÷???+/?)]1 2 m12 m m+1 m+2 20 m+1 m+2 20因?yàn)閐(I,A)—d(I,B)—13,所以∑(β-l)≡∑(?-1),整理得∑β?∑?,,(I I I Iz=l z=l z=lz=l所以d(A,.B)= Ib—ciI=2[Z?+Z?+???+Z?—(ɑ+〃+.?.+〃)] ii 1 2 m12 mz=l10分因?yàn)閎+b+???+Z?=(Z?+b+???+Z?)—(J