第六講整數(shù)拆分

整數(shù)的加法拆分加法拆分定義：把一個(gè)自然數(shù)拆分成兩個(gè)或幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和（如3=1+2）,或拆分成幾個(gè)不相同的數(shù)的和，這類題目統(tǒng)稱為整數(shù)的拆分。加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通過分類枚舉進(jìn)行拆分然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)。要求同學(xué)不但能夠通過拆分解決相關(guān)的最大最小問題，同時(shí)也能通過拆分解決一些應(yīng)用問題。例1】小兵和小軍用玩具槍做打靶游戲，見下圖所示。他們每人打了兩發(fā)子彈。小兵共打中6環(huán)，小軍共打中5環(huán)。又知沒有哪兩發(fā)子彈打到同一環(huán)帶內(nèi)，并且彈無虛發(fā)。你知道他倆打中的都是哪幾環(huán)嗎56235623例1圖鞏固】強(qiáng)強(qiáng)和明明兩人到游樂園玩射擊游戲，如下圖他們每人打了兩發(fā)子彈，均擊中了靶子（即無脫靶現(xiàn)象）。強(qiáng)強(qiáng)兩發(fā)共打了12環(huán)，明明兩發(fā)共打了8環(huán)。又已知沒有哪兩發(fā)子彈打在同一環(huán)中，請你推算一下他倆打中的是哪幾環(huán)

鞏固圖例2】有多少種方法可以把1994表示為兩個(gè)自然數(shù)之和鞏固】將12拆分成三個(gè)不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的拆分方式，請把它們一一列出。例3】有多少種方法可以把6表示為若干個(gè)自然數(shù)之和鞏固】按下面的要求，把自然數(shù)6進(jìn)行拆分。⑴把6拆成幾個(gè)自然數(shù)相加的形式（0除外），共有多少種不同的拆分方法⑵把6拆成幾個(gè)不完全相同的自然數(shù)相加的形式（0除外），共有多少種不同的拆分方法⑶把6拆成幾個(gè)完全不相同的自然數(shù)相加的形式（0除外），共有多少種不同的拆分方法例4】按下面的要求，把15進(jìn)行拆分。⑴將15拆分成不大于9的三個(gè)不同的自然數(shù)之和，有多少種不同拆分方式，請——列出。⑵將15拆分成三個(gè)不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的拆分方式，請一一列出。鞏固】將15拆分成四個(gè)不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的拆分方式，請把它們一一列出。例5】有七個(gè)盤子，每個(gè)盤子中分別裝有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、5個(gè)、6個(gè)、7個(gè)和9個(gè)梨。要從這些盤子中取出15個(gè)梨，但要求每個(gè)盤子中的梨要么都拿，要么都不拿。共有多少種不同的拿法鞏固】某個(gè)外星人來到地球上，隨身帶有本星球上的硬幣1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想買7分錢的一件商品，他應(yīng)如何付款買9分、10分、13分、14分和15分的商品呢，他又將如何付款例6】豬媽媽讓小豬三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘10個(gè)，每只小豬至少摘2個(gè)，按照媽媽的要求，現(xiàn)在小豬們要分配任務(wù)了，它們有多少種不同的分配方法鞏固】體育課上，10個(gè)小朋友分成三組做游戲，一共有多少種不同的分組方法

答案〗例1】小兵打中的是1環(huán)和5環(huán)，小軍打中的是2環(huán)和3環(huán)鞏固】明明打中的是6環(huán)和2環(huán)，強(qiáng)強(qiáng)打中的是8環(huán)和4環(huán)例2】997鞏固】12=1+2+912=1+3+812=1+4+712=1+5+612=3+4+5=2+3+7=2+4+6共8種例3】11鞏固】⑴10種，⑵7種，⑶3種【例4】⑴將15拆分成不大于9的三個(gè)不同的自然數(shù)15=9+15=9+5+115=8+6+115=7+6+215=6+5+4=8+4+3共8種⑵將15拆分成三個(gè)不同的自然數(shù)相加之和15=1215=12+2+115=11+3+115=10+4+l15=9+5+115=8+6+l15=7+6+2=10=10+3+2=9+4+2=8+5+2=7+5+315=6+5+4共12種15=1+3+4+715=215=1+3+4+715=2+3+4+6=1+2+4+8=1+2+5+7共6種拆分方法例5】7種鞏固】這道題目的實(shí)質(zhì)是要求把7，9，10，13，14，15各數(shù)按1，2，4，8進(jìn)行拆分7=1+2+4=1+8=2+8=1+4+8=2+4+8=1+2+4+8外星人可按以上方式付款例6】4種鞏固】8種整數(shù)分拆之最值與應(yīng)用整數(shù)分拆之最值與應(yīng)用一、拆分的基礎(chǔ)知識整數(shù)的拆分問題常常以計(jì)數(shù)問題、最值問題等形式出現(xiàn)，因此除了掌握有關(guān)的等差數(shù)列、數(shù)的整除、平均數(shù)等基本知識外，還要求掌握加法原理、乘法原理、枚舉法、篩選法等基本的記數(shù)原理和方法。二、拆分基本方法1.題目要求拆質(zhì)數(shù)且乘積最大——若可以拆相同的數(shù)字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘積最大”原則。2.若題目要求拆成若干個(gè)互不相同的自然數(shù)之和——要求這些自然數(shù)的乘積盡量大應(yīng)將數(shù)列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是實(shí)際計(jì)算的時(shí)候會發(fā)現(xiàn)一般不能拆成恰好相同，則:⑴當(dāng)多0時(shí)，將a拆成a=2+3+4+?…+(n-1)+n；⑵當(dāng)多1時(shí)，將a拆成a=3+4+5+?…+(n-1)+(n-1)；⑶當(dāng)多2,3,?…，n—1中的數(shù)時(shí)，就將該數(shù)從2,3,?…，n—1,n中刪除，其余數(shù)即為所拆之?dāng)?shù)。例如：將30拆成若干個(gè)互不相同的自然數(shù)之和，要求這些自然數(shù)的乘積盡量大，應(yīng)怎樣拆++++++=5比30大5,故將5去掉30被拆成2+3+4+6+7+8例1】將15拆分成2個(gè)數(shù)的和,并且使這2個(gè)數(shù)的乘積最大,應(yīng)該怎樣拆分最大值是多少鞏固1】把11拆分成兩個(gè)自然數(shù)的和,再求出這兩個(gè)自然數(shù)的積,要使這個(gè)積最大,應(yīng)該如何拆分鞏固2】試把14拆分為兩個(gè)自然數(shù)之和,使它們的乘積最大。例2】試把14拆分為3個(gè)自然數(shù)之和,使它們的乘積最大。鞏固】試把19拆分為3個(gè)自然數(shù)之和,使它們的乘積最大。例3】試把1999拆分為8個(gè)自然數(shù)的和,使其乘積最大。鞏固】試把1553拆分為6個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大?！纠?】將一根長144厘米的鐵絲，做成長和寬都是整數(shù)的長方形，共有種不同的做法，其中面積最大的是哪一種長方形鞏固】有長方形和正方形三塊地。它們的周長是100米，它們的一條邊長分別是30米，28米和25米這三塊中哪一塊地最大面積是多少例5】把14拆分成若干個(gè)自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的積，要使得到的積最大，應(yīng)該把14如何拆分這個(gè)最大的乘積是多少鞏固】分別拆分2001、1994、1993三個(gè)數(shù)，使拆分后的積最大。例6】把72拆分成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)之和，且使所有加數(shù)的乘積盡可能大，如何拆分鞏固】把1993拆分成若干個(gè)互不相等的自然數(shù)的和，且使這些自然數(shù)的乘積最大，該乘積是多少〖答案〗【例1】將15進(jìn)行拆分，并計(jì)算乘積15=1+141x14=1415=2+132x13=2615=3+123x12=3615=4+114x11=4415=5+105x10=5015=6+96x9=5415=7+87x8=5615拆分成7和8的和，乘積最大，是56鞏固1】把11拆分成兩個(gè)自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時(shí)有1+10,2+9,3+8,4+7,5+6五種方法它們的乘積分別是：1x10=10,2x9=18,3x8=24,4x7=28,5x6=30顯然，把11拆分成5+6時(shí)有最大的積5x6=30鞏固2】把14拆分成兩個(gè)自然數(shù)之和,共有7種不同的方式若想乘積最大14=7+7,7x7=49因此,當(dāng)把14拆分為兩個(gè)7之和的時(shí)候,乘積(7x7=49)最大【例2】⑴由例1的說明對于兩個(gè)數(shù)可知，假設(shè)n=a+b(aMb)且a一b>1時(shí)，乘積axb不是最大的。換句話說，若n=a+b(aMb)，當(dāng)a、b兩數(shù)相等或差為1時(shí)，乘積axb取最大值。⑵那么對于三個(gè)數(shù)呢假設(shè)n=a+b+c(aMbMc)且a一c>1時(shí)，乘積axbxc不是最大的。若n=a+b+c(aMbMc)，當(dāng)a、b、c中的任意兩數(shù)相等或差為1時(shí)，乘積axbxc取最大值。因?yàn)?4=3x4+2,由分析可知：當(dāng)玄=b=5且c=4時(shí)乘積axbxc=5x5x4=100為最大值【鞏固】利用上面的結(jié)論可知，若n=a+b+c(aMbMc)當(dāng)a、b、c中的任意兩數(shù)相等或差為1時(shí)，乘積axbxc取最大值由分析可知：當(dāng)a=b=6且c=7時(shí)乘積axbxc=6x6x7=252為最大值例3】反復(fù)使用上述結(jié)論，可知要使拆分成的8個(gè)自然數(shù)的乘積最大必須使這8個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)相等或差數(shù)為1因?yàn)?999十8=249-7，=x+7由上述分析，拆法應(yīng)是1個(gè)249，7個(gè)250其乘積249x2507為最大鞏固】利用例題3的結(jié)論：可知要使拆分成的6個(gè)自然數(shù)的乘積最大必須使這6個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)相等或差數(shù)為1因?yàn)?x+5由上述分析，拆法應(yīng)是1個(gè)258，5個(gè)259其乘積258x2595為最大例4】36種，當(dāng)長與寬都是36厘米時(shí),面積最大鞏固】邊長是25的正方形的地面積最大，是625平方米例5】根據(jù)上面的討論結(jié)果，我們應(yīng)該把14拆分成四個(gè)3與一個(gè)2之和即14=3+3+3+3+2這五數(shù)的積有最大值xxxx=【鞏固】⑴I=x■■■2001拆分成(667個(gè)3的和)時(shí)，其積最大T=x+2?■?1994拆分成(664個(gè)3的和)+2時(shí)，其積最大T=x+1■1993拆分成3+3++3+2+2時(shí)，