2023-2024學年高中數(shù)學蘇教版2023必修二同步試題 13.2.3直線與平面位置關(guān)系(3)直線與平面所成角(含解析)_第1頁
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文檔簡介

第第頁2023-2024學年高中數(shù)學蘇教版2023必修二同步試題13.2.3直線與平面位置關(guān)系(3)直線與平面所成角(含解析)13.2.3直線與平面位置關(guān)系(3)直線與平面所成角

一、單選題

1.點是平面外一點,且,則點在平面上的射影一定是的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】A

【解析】

【分析】

過點作平面,因為,得到,即可求解.

【詳解】

如圖所示,過點作平面,

可得

因為,可得,

所以為的外心.

故選:A.

2.設(shè)直線平面,過平面外一點與,都成30°角的直線有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)線面角的定義,結(jié)合題意,畫出示意圖,即可求得結(jié)果.

【詳解】

和成30°角的直線一定是以為頂點的圓錐的母線所在直線,如下所示:

當==30°且∥時,直線,都滿足條件.

故選:B.

3.直線l與平面α所成的角為70°,直線l∥m,則m與α所成的角等于()

A.20°B.70°

C.90°D.110°

【答案】B

【解析】

【分析】

由直線與平面所成角的概念求解

【詳解】

∵l∥m,

∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角,

又直線l與平面α所成的角為70°,

∴m與α所成的角為70°

故選:B

4.空間中兩條直線,和平面,下列條件中能得到的是()

A.,與平面所成角相等B.,在平面內(nèi)的射影分別平行

C.,D.,

【答案】D

【解析】

【分析】

ABC舉出反例即可說明不能推出,排除法即可得出結(jié)果.

【詳解】

A:如圖滿足,與平面所成角相等,但,不平行,故A錯誤;

B:如圖,分別是,在平面內(nèi)的射影,滿足,在平面內(nèi)的射影分別平行,但,不平行,故B錯誤;

C:如圖滿足,,但,相交,故C錯誤;

故有排除法可知選D,

故選:D.

5.在邊長為1的正方體中,點,分別為,的中點,則直線與平面所成角的大小為()

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由正方體性質(zhì)可得平面,可得為直線與平面所成角,即求.

【詳解】

如圖,連接AC,交于O,連接OC,

∵點,分別為,的中點,

∴MN∥AC,

由正方體的性質(zhì)可知CD⊥平面,

∴又,,

∴平面,

∴為直線AC與平面所成角,也即為直線與平面所成角,

在直角三角形ACO中,

∴.

故選:A

6.日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯30°,則晷針與點A處的水平面所成角為()

A.15°B.30°C.60°D.90°

【答案】B

【解析】

【分析】

由緯度的定義和線面角的定義,結(jié)合直角三角形的性質(zhì),即可求得晷針與點A處的水平面所成角.

【詳解】

畫出截面圖如下圖所示,其中是赤道所在平面的截線,是點處的水平面的截線,是晷針所在直線,是晷面的截線.

依題意可知,,,且晷針與點A處的水平面所成角為.

由于,所以.

由于,所以,也即晷針與點處的水平面所成角為.

故選:B

7.在正三棱柱中,若,則與平面所成角為()

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

取的中點,設(shè),連接、,證明出平面,可得知與平面所成角為,計算出、的長,可計算出,即可求得的值,即為所求.

【詳解】

取的中點,連接、,設(shè),則,

因為為等邊三角形,為的中點,則,

在正三棱柱中,平面,平面,,

,平面,所以,與平面所成角為,

平面,,

易知,,所以,,

故.

故選:A.

8.如圖,某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓練,已知點到墻面的距離為,某目標點沿墻面上的射線移動,此人為了準確瞄準目標點,需計算由點觀察點的仰角的大小,若,則的最大值是().(仰角為直線與平面所成的角)

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由題可得,,過作,交于,連接,則,設(shè),分類討論,若在線段上,則,可求出和,從而可得出,利用函數(shù)的單調(diào)性,可得出時,取得最大值;若在的延長線上,同理求出和,可得出,可得當時,函數(shù)取得最大值;結(jié)合兩種情況的結(jié)果,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解:,,

由勾股定理知,,

過點作交于,連結(jié),則,

設(shè),

若在線段上,則,

由,得,

在直角中,,

,

令,則函數(shù)在,單調(diào)遞減,

時,取得最大值為;

若在的延長線上,,

在直角中,,

,

令,則可得時,函數(shù)取得最大值.

故答案為:.

二、多選題

9.在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法正確的是()

A.當與相交時,交點為的中點

B.當點在上移動時,平面始終成立

C.當點在上移動時,始終成立

D.當最短時,直線與正方體所有面所成角都相等

【答案】BC

【解析】

【分析】

當為中點時,與相交,設(shè)交點為,可判斷交點不是的中點,即可判斷A;證明平面平面,平面可判斷B;證明平面,由平面,可判斷C;為的中點,分別求直線與面和面所成的角的正弦值,可判斷D,進而可得正確選項.

【詳解】

對于A,當為中點時,與相交,設(shè)交點為,由,,

故,此時交點不是的中點,故選項錯誤;

對于B,當點在上移動時,平面,

因為,面,面,可得面,

同理可證面,因為,所以平面平面,

因為平面,所以平面始終成立,故選項B正確;

對于C:因為,,,所以面,因為

面,所以,同理可證:,因為,所以

平面,因為平面,所以始終成立,故選項C正確;

對于D:設(shè)正方體棱長為,

當最短時,為的中點,因為面,所以即為直線和平面所成的角,,,,此時,

取的中點,連接,則面,所以即為直線和平面所成的角,且,,,所以

而和平面所成角的正弦值為.直線與正方體所有面所成角都相等不正確,故選項D不正確;

故選:BC.

10.如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,,,底面,則()

A.

B.平面.

C.異面直線與所成角的余弦值為

D.與平面所成角為

【答案】AB

【解析】

【分析】

利用勾股定理得到,再由平面,得到,結(jié)合線面垂直判定定理,證得平面,即可判定A正確;由,得到,結(jié)合,即可證得平面,可判定B正確;把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成角,在直角,可判定C不正確;根據(jù)線面角的定義,得到為與平面所成角,在直角中可判定D不正確.

【詳解】

根據(jù)題意,設(shè),則,

對于A中,由余弦定理可得,

所以,所以,

因為平面,且平面,可得,

又由且平面,所以平面,

因為平面,所以,所以A正確;

對于B中,由,因為,可得,

又由平面,且平面,可得,

又由且平面,所以平面,所以B正確;

對于C中,由底面為平行四邊形,可得,

所以異面直線與所成角,即為與所成角,設(shè),

在直角,可得,所以.

所以C不正確;

對于D中,因為底面,所以為與平面所成角,

可得,所以,

即直線與平面所成角為,所以D不正確.

故選:AB.

三、填空題

11.如圖,在正方體中,分別為棱的中點,則與平面所成角的余弦值為______.

【答案】

【解析】

【分析】

連結(jié),過作于,即為與平面所成的角,在中利用余弦定理求出

【詳解】

解:連結(jié),則平面即為平面,

過作于,則平面,

即為與平面所成的角,

設(shè)正方體棱長為2,則,

.

故答案為:.

【點睛】

本題考查了直線與平面所成角的求解,關(guān)鍵是找到線面角的平面角,屬于中檔題.

12.如圖,∠ACB=90°,平面ABC外有一點P,PC=4cm,點P到角的兩邊AC,BC的距離都等于2cm,則PC與平面ABC所成角的大小為___.

【答案】45°

【解析】

【分析】

過P作PO⊥平面ABC于點O,連接CO,由線面角的定義可得∠PCO為PC與平面ABC所成的角,解三角形可求得答案.

【詳解】

解:過P作PO⊥平面ABC于點O,連接CO,則CO為∠ABC的平分線,且∠PCO為PC與平面ABC所成的角,設(shè)其為θ,

連接OF,則為直角三角形.

又PC=4,PF=2,∴CF=2,∴CO=2,在中,cosθ=,

∴θ=45°.

故答案為:45°.

四、解答題

13.如圖所示,三棱臺中,,底面,.

(1)證明:;

(2)若,,問為何值時,直線與平面所成的角為?

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

【分析】

(1)證明,,由線面垂直得判定定理即可證得平面,再利用線面垂直得性質(zhì)即可證得;

(2)由(1)可得平面,過點E作交AG于H,則平面,連接FH,則即為直線與平面所成的角或補角,然后設(shè),根據(jù)條件即可得出答案.

【詳解】

(1)證明:∵底面,面,

又,,

∴平面,

又∵平面,

∴;

(2)解:由在三棱臺中,,

由第一問有,平面,所以平面,

又平面,所以平面平面,

又平面平面,

連接,過點E作交AG于H,則平面,連接FH,

則即為直線與平面所成的角或補角,

設(shè),由,則,由,則,,,

所以,

所以,

解得.

14.如圖,是的直徑,垂直于所在的平面,是圓周上不同于,的一動點.

(1)證明:是直角三角形;

(2)若,且當直線與平面所成角的正切值為時,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

【分析】

(1)由題意,可得,,即平面,即得證;

(2)可證明是直線與平面所成的角,即是與平面所成的角,結(jié)合題干的長度數(shù)值,即得解

【詳解】

(1)證明:∵是的直徑,是圓周上不同于,的一動點.

∴,

∵平面,∴,

又,,平面,

∴平面,

∴,

∴是直角三角形.

(2)如圖,過作于,

∵平面,∴,

又,,平面,

∴平面,

∴是直線與平面所成的角,

∵平面,

∴即是與平面所成的角,

∵,

又,∴,

∴在中,,

∴在中,,

即直線與平面所成角的正弦值為.13.2.3直線與平面位置關(guān)系(3)直線與平面所成角

一、單選題

1.點是平面外一點,且,則點在平面上的射影一定是的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

2.設(shè)直線平面,過平面外一點與,都成30°角的直線有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

3.直線l與平面α所成的角為70°,直線l∥m,則m與α所成的角等于()

A.20°B.70°

C.90°D.110°

4.空間中兩條直線,和平面,下列條件中能得到的是()

A.,與平面所成角相等B.,在平面內(nèi)的射影分別平行

C.,D.,

5.在邊長為1的正方體中,點,分別為,的中點,則直線與平面所成角的大小為()

A.B.

C.D.

6.日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯30°,則晷針與點A處的水平面所成角為()

A.15°B.30°C.60°D.90°

7.在正三棱柱中,若,則與平面所成角為()

A.B.C.D.

8.如圖,某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓練,已知點到墻面的距離為,某目標點沿墻面上的射線移動,此人為了準確瞄準目標點,需計算由點觀察點的仰角的大小,若,則的最大值是().(仰角為直線與平面所成的角)

A.B.C.D.

二、多選題

9.在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法正確的是()

A.當與相交時,交點為的中點

B.當點在上移動時,平面始終成立

C.當點在上移動時,始終成立

D.當最短時,直線與正方體所有面所成角都相等

10.如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,,,底面,則()

A.

B.平面.

C.異面直線與所成角的余弦值為

D.與平面所成角為

三、填空題

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