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文檔簡介
第第頁2023-2024學年高中數(shù)學蘇教版2023必修二同步試題13.2.3直線與平面位置關(guān)系(3)直線與平面所成角(含解析)13.2.3直線與平面位置關(guān)系(3)直線與平面所成角
一、單選題
1.點是平面外一點,且,則點在平面上的射影一定是的()
A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心
【答案】A
【解析】
【分析】
過點作平面,因為,得到,即可求解.
【詳解】
如圖所示,過點作平面,
可得
因為,可得,
所以為的外心.
故選:A.
2.設(shè)直線平面,過平面外一點與,都成30°角的直線有()
A.1條B.2條
C.3條D.4條
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)線面角的定義,結(jié)合題意,畫出示意圖,即可求得結(jié)果.
【詳解】
和成30°角的直線一定是以為頂點的圓錐的母線所在直線,如下所示:
當==30°且∥時,直線,都滿足條件.
故選:B.
3.直線l與平面α所成的角為70°,直線l∥m,則m與α所成的角等于()
A.20°B.70°
C.90°D.110°
【答案】B
【解析】
【分析】
由直線與平面所成角的概念求解
【詳解】
∵l∥m,
∴直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角,
又直線l與平面α所成的角為70°,
∴m與α所成的角為70°
故選:B
4.空間中兩條直線,和平面,下列條件中能得到的是()
A.,與平面所成角相等B.,在平面內(nèi)的射影分別平行
C.,D.,
【答案】D
【解析】
【分析】
ABC舉出反例即可說明不能推出,排除法即可得出結(jié)果.
【詳解】
A:如圖滿足,與平面所成角相等,但,不平行,故A錯誤;
B:如圖,分別是,在平面內(nèi)的射影,滿足,在平面內(nèi)的射影分別平行,但,不平行,故B錯誤;
C:如圖滿足,,但,相交,故C錯誤;
故有排除法可知選D,
故選:D.
5.在邊長為1的正方體中,點,分別為,的中點,則直線與平面所成角的大小為()
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由正方體性質(zhì)可得平面,可得為直線與平面所成角,即求.
【詳解】
如圖,連接AC,交于O,連接OC,
∵點,分別為,的中點,
∴MN∥AC,
由正方體的性質(zhì)可知CD⊥平面,
∴又,,
∴平面,
∴為直線AC與平面所成角,也即為直線與平面所成角,
在直角三角形ACO中,
∴.
故選:A
6.日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯30°,則晷針與點A處的水平面所成角為()
A.15°B.30°C.60°D.90°
【答案】B
【解析】
【分析】
由緯度的定義和線面角的定義,結(jié)合直角三角形的性質(zhì),即可求得晷針與點A處的水平面所成角.
【詳解】
畫出截面圖如下圖所示,其中是赤道所在平面的截線,是點處的水平面的截線,是晷針所在直線,是晷面的截線.
依題意可知,,,且晷針與點A處的水平面所成角為.
由于,所以.
由于,所以,也即晷針與點處的水平面所成角為.
故選:B
7.在正三棱柱中,若,則與平面所成角為()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
取的中點,設(shè),連接、,證明出平面,可得知與平面所成角為,計算出、的長,可計算出,即可求得的值,即為所求.
【詳解】
取的中點,連接、,設(shè),則,
因為為等邊三角形,為的中點,則,
在正三棱柱中,平面,平面,,
,平面,所以,與平面所成角為,
平面,,
易知,,所以,,
故.
故選:A.
8.如圖,某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓練,已知點到墻面的距離為,某目標點沿墻面上的射線移動,此人為了準確瞄準目標點,需計算由點觀察點的仰角的大小,若,則的最大值是().(仰角為直線與平面所成的角)
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由題可得,,過作,交于,連接,則,設(shè),分類討論,若在線段上,則,可求出和,從而可得出,利用函數(shù)的單調(diào)性,可得出時,取得最大值;若在的延長線上,同理求出和,可得出,可得當時,函數(shù)取得最大值;結(jié)合兩種情況的結(jié)果,即可得出結(jié)論.
【詳解】
解:,,
由勾股定理知,,
過點作交于,連結(jié),則,
設(shè),
若在線段上,則,
由,得,
在直角中,,
,
令,則函數(shù)在,單調(diào)遞減,
時,取得最大值為;
若在的延長線上,,
在直角中,,
,
令,則可得時,函數(shù)取得最大值.
故答案為:.
二、多選題
9.在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法正確的是()
A.當與相交時,交點為的中點
B.當點在上移動時,平面始終成立
C.當點在上移動時,始終成立
D.當最短時,直線與正方體所有面所成角都相等
【答案】BC
【解析】
【分析】
當為中點時,與相交,設(shè)交點為,可判斷交點不是的中點,即可判斷A;證明平面平面,平面可判斷B;證明平面,由平面,可判斷C;為的中點,分別求直線與面和面所成的角的正弦值,可判斷D,進而可得正確選項.
【詳解】
對于A,當為中點時,與相交,設(shè)交點為,由,,
故,此時交點不是的中點,故選項錯誤;
對于B,當點在上移動時,平面,
因為,面,面,可得面,
同理可證面,因為,所以平面平面,
因為平面,所以平面始終成立,故選項B正確;
對于C:因為,,,所以面,因為
面,所以,同理可證:,因為,所以
平面,因為平面,所以始終成立,故選項C正確;
對于D:設(shè)正方體棱長為,
當最短時,為的中點,因為面,所以即為直線和平面所成的角,,,,此時,
取的中點,連接,則面,所以即為直線和平面所成的角,且,,,所以
而和平面所成角的正弦值為.直線與正方體所有面所成角都相等不正確,故選項D不正確;
故選:BC.
10.如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,,,底面,則()
A.
B.平面.
C.異面直線與所成角的余弦值為
D.與平面所成角為
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用勾股定理得到,再由平面,得到,結(jié)合線面垂直判定定理,證得平面,即可判定A正確;由,得到,結(jié)合,即可證得平面,可判定B正確;把異面直線與所成角轉(zhuǎn)化為與所成角,在直角,可判定C不正確;根據(jù)線面角的定義,得到為與平面所成角,在直角中可判定D不正確.
【詳解】
根據(jù)題意,設(shè),則,
對于A中,由余弦定理可得,
所以,所以,
因為平面,且平面,可得,
又由且平面,所以平面,
因為平面,所以,所以A正確;
對于B中,由,因為,可得,
又由平面,且平面,可得,
又由且平面,所以平面,所以B正確;
對于C中,由底面為平行四邊形,可得,
所以異面直線與所成角,即為與所成角,設(shè),
在直角,可得,所以.
所以C不正確;
對于D中,因為底面,所以為與平面所成角,
可得,所以,
即直線與平面所成角為,所以D不正確.
故選:AB.
三、填空題
11.如圖,在正方體中,分別為棱的中點,則與平面所成角的余弦值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
連結(jié),過作于,即為與平面所成的角,在中利用余弦定理求出
【詳解】
解:連結(jié),則平面即為平面,
過作于,則平面,
即為與平面所成的角,
設(shè)正方體棱長為2,則,
.
故答案為:.
【點睛】
本題考查了直線與平面所成角的求解,關(guān)鍵是找到線面角的平面角,屬于中檔題.
12.如圖,∠ACB=90°,平面ABC外有一點P,PC=4cm,點P到角的兩邊AC,BC的距離都等于2cm,則PC與平面ABC所成角的大小為___.
【答案】45°
【解析】
【分析】
過P作PO⊥平面ABC于點O,連接CO,由線面角的定義可得∠PCO為PC與平面ABC所成的角,解三角形可求得答案.
【詳解】
解:過P作PO⊥平面ABC于點O,連接CO,則CO為∠ABC的平分線,且∠PCO為PC與平面ABC所成的角,設(shè)其為θ,
連接OF,則為直角三角形.
又PC=4,PF=2,∴CF=2,∴CO=2,在中,cosθ=,
∴θ=45°.
故答案為:45°.
四、解答題
13.如圖所示,三棱臺中,,底面,.
(1)證明:;
(2)若,,問為何值時,直線與平面所成的角為?
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)證明,,由線面垂直得判定定理即可證得平面,再利用線面垂直得性質(zhì)即可證得;
(2)由(1)可得平面,過點E作交AG于H,則平面,連接FH,則即為直線與平面所成的角或補角,然后設(shè),根據(jù)條件即可得出答案.
【詳解】
(1)證明:∵底面,面,
又,,
∴平面,
又∵平面,
∴;
(2)解:由在三棱臺中,,
由第一問有,平面,所以平面,
又平面,所以平面平面,
又平面平面,
連接,過點E作交AG于H,則平面,連接FH,
則即為直線與平面所成的角或補角,
設(shè),由,則,由,則,,,
所以,
所以,
解得.
14.如圖,是的直徑,垂直于所在的平面,是圓周上不同于,的一動點.
(1)證明:是直角三角形;
(2)若,且當直線與平面所成角的正切值為時,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)由題意,可得,,即平面,即得證;
(2)可證明是直線與平面所成的角,即是與平面所成的角,結(jié)合題干的長度數(shù)值,即得解
【詳解】
(1)證明:∵是的直徑,是圓周上不同于,的一動點.
∴,
∵平面,∴,
又,,平面,
∴平面,
∴,
∴是直角三角形.
(2)如圖,過作于,
∵平面,∴,
又,,平面,
∴平面,
∴是直線與平面所成的角,
∵平面,
∴即是與平面所成的角,
∵,
又,∴,
∴在中,,
∴在中,,
即直線與平面所成角的正弦值為.13.2.3直線與平面位置關(guān)系(3)直線與平面所成角
一、單選題
1.點是平面外一點,且,則點在平面上的射影一定是的()
A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心
2.設(shè)直線平面,過平面外一點與,都成30°角的直線有()
A.1條B.2條
C.3條D.4條
3.直線l與平面α所成的角為70°,直線l∥m,則m與α所成的角等于()
A.20°B.70°
C.90°D.110°
4.空間中兩條直線,和平面,下列條件中能得到的是()
A.,與平面所成角相等B.,在平面內(nèi)的射影分別平行
C.,D.,
5.在邊長為1的正方體中,點,分別為,的中點,則直線與平面所成角的大小為()
A.B.
C.D.
6.日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯30°,則晷針與點A處的水平面所成角為()
A.15°B.30°C.60°D.90°
7.在正三棱柱中,若,則與平面所成角為()
A.B.C.D.
8.如圖,某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓練,已知點到墻面的距離為,某目標點沿墻面上的射線移動,此人為了準確瞄準目標點,需計算由點觀察點的仰角的大小,若,則的最大值是().(仰角為直線與平面所成的角)
A.B.C.D.
二、多選題
9.在正方體中,點是線段上的動點,則下列說法正確的是()
A.當與相交時,交點為的中點
B.當點在上移動時,平面始終成立
C.當點在上移動時,始終成立
D.當最短時,直線與正方體所有面所成角都相等
10.如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,,,底面,則()
A.
B.平面.
C.異面直線與所成角的余弦值為
D.與平面所成角為
三、填空題
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