七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題02 絕對(duì)值化簡問題專題訓(xùn)練（解析版）

/專題02絕對(duì)值化簡問題專題總結(jié)訓(xùn)練考點(diǎn)一根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡【知識(shí)點(diǎn)睛】絕對(duì)值的性質(zhì)：或易錯(cuò)點(diǎn)撥：①在的組合中，當(dāng)“=”左邊的部分未知時(shí)，求“||”內(nèi)部的數(shù)，需要分類討論；當(dāng)“=”右邊的部分未知時(shí)，求“=”右邊的值，結(jié)果只有一個(gè)。②直接的絕對(duì)值化簡中，當(dāng)a-b＜0時(shí)，；【類題訓(xùn)練】1．已知|6x﹣2|＝2﹣6x，則x的取值范圍是．【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)結(jié)合一元一次不等式的解法得出答案．【解答】解：∵|6x﹣2|＝2﹣6x，∴2﹣6x≥0，解得：x≤．故答案為：x≤．2．若|x|+|x﹣4|＝8，則x的值為（）A．﹣2 B．6 C．﹣2或6 D．以上都不對(duì)【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義得出，|x|+|x﹣4|＝8表示到原點(diǎn)和4的距離和是8的數(shù)，分兩種情況求出x的值即可．【解答】解：∵|x|+|x﹣4|＝8，∴當(dāng)x＞4時(shí)，x+x﹣4＝8，解得x＝6，當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x+4﹣x＝8，解得x＝﹣2，故選：C．3．若a＜0，b＞0，則|a|+|a﹣b|＝（）A．b﹣2a B．a(chǎn)﹣2b C．2a+b D．﹣2a﹣b【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)而化簡，再合并同類項(xiàng)得出答案．【解答】解：∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，∴|a|+|a﹣b|＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣a﹣a+b＝﹣2a+b．故選：A．4．如果|m|＝﹣m，下列各式成立的是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m≥0 D．m≤0【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)或0的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，判斷即可．【解答】解：∵|m|＝﹣m，∴m的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，∴m≤0，故選：D．5．若x＞0，y＜0，求|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．【分析】直接利用x，y的符號(hào)進(jìn)而去絕對(duì)值，再合并求出答案．【解答】解：∵x＞0，y＜0，∴x﹣y+2＞0，y﹣x﹣3＜0，∵|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|＝x﹣y+2+（y﹣x﹣3）＝﹣1．6．已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|的值（）A．是正數(shù) B．是負(fù)數(shù) C．是零 D．不能確定符號(hào)【分析】先根據(jù)已知條件確定x、y、z的符號(hào)及其絕對(duì)值的大小，再畫出數(shù)軸確定出各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)即可去掉原式的絕對(duì)值，使原式得到化簡．【解答】解：由題意可知，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以|x+z|+|y+z|﹣|x﹣y|＝x+z﹣（y+z）﹣（x﹣y）＝0故選：C．7．代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，可化簡為；若代數(shù)式的最大值為a與最小值為b，則ab的值．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義確定x﹣1與x+2的符號(hào)，進(jìn)而進(jìn)行化簡即可；確定a、b的值，再代入計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)x＜﹣2時(shí)，x﹣1＜0，x+2＜0，所以|x﹣1|﹣|x+2|＝1﹣x﹣（﹣2﹣x）＝3，當(dāng)x≤﹣2時(shí)，|x﹣1|﹣|x+2|的值最大，此時(shí)a＝3，當(dāng)x≥1時(shí)，|x﹣1|﹣|x+2|的值最小，此時(shí)b＝﹣3，所以ab＝﹣9，故答案為：3，﹣9．8．已知非零實(shí)數(shù)a，b，c，|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化簡|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．【分析】根據(jù)已知三等式判斷出a，b及c的正負(fù)，進(jìn)而確定出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，∴原式＝﹣b+a+b﹣c+b﹣a+c＝b．9．若a＞0，＝；若a＜0，＝；①若，則＝；②若abc＜0，則＝．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值的性質(zhì)|a|＝，根據(jù)a的符號(hào)確定它的絕對(duì)值是它本身還是絕對(duì)值即可．【解答】解：∵a＞0，∴|a|＝a，∴＝＝1；∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴＝＝﹣1，故答案為：1，﹣1；①∵，∴ab＜0，∴|ab|＝﹣ab，∴＝＝1，故答案為：1；②∵abc＜0，∴a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)和三個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況，當(dāng)a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)時(shí)，＝﹣1+1+1＝1，當(dāng)a、b、c中有三個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，故答案為：1或﹣3．10．閱讀下列材料，并解決有關(guān)問題：我們知道，|x|＝，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對(duì)值的式子，例如化簡式子|x+1|+|x﹣2|時(shí)，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1、2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)不重復(fù)且不遺漏地分成如下三種情況：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．從而化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|可分為以下3種情況：（Ⅰ）當(dāng)x＜﹣1時(shí)，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；（Ⅱ）當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1；綜上所述：原式＝．通過以上閱讀，請(qǐng)你類比解決以下問題：（1）填空：|x+2|與|x﹣4|的零點(diǎn)值分別為；（2）化簡式子|x﹣3|+2|x+4|．【分析】（1）令x+2＝0和x﹣4＝0，即可求得|x+2|與|x﹣4|的零點(diǎn)值；（2）先求出零點(diǎn)值，然后根據(jù)零點(diǎn)值分三種情況進(jìn)行討論；【解答】解：（1）令x+2＝0和x﹣4＝0，求得：x＝﹣2和x＝4，故答案為：﹣2和4；（2）由x﹣3＝0得x＝3，由x+4＝0得x＝﹣4，①當(dāng)x＜﹣4時(shí)，原式＝﹣（x﹣3）﹣2（x+4）＝﹣3x﹣5；②當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，原式＝﹣（x﹣3）+2（x+4）＝x+11；③當(dāng)x≥3時(shí)，原式＝（x﹣3）+2（x+4）＝3x+5；綜上所述：原式＝．、考點(diǎn)二已知范圍的絕對(duì)值的化簡【知識(shí)點(diǎn)睛】已知范圍的絕對(duì)值的化簡的基本步驟判斷絕對(duì)值內(nèi)部式子的正負(fù)把絕對(duì)值改為小括號(hào)根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)化簡合并易錯(cuò)點(diǎn)撥：數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)（或字母）相加減的正負(fù)判斷：兩數(shù)（或字母）相減時(shí)，右邊-左邊＞0，左邊-右邊＜0（與兩數(shù)本來的正負(fù)無關(guān)）；兩數(shù)（或字母）相加時(shí)，原點(diǎn)右側(cè)兩數(shù)相加＞0，原點(diǎn)左側(cè)兩數(shù)相加＜0，原點(diǎn)兩側(cè)的兩個(gè)數(shù)相加，誰離原點(diǎn)遠(yuǎn)，和就取誰的符號(hào)；具體兩數(shù)相加減的正負(fù)判斷：大數(shù)-小數(shù)＞0；小數(shù)－大數(shù)＜0；正數(shù)＋正數(shù)＞0；負(fù)數(shù)＋負(fù)數(shù)＜0；正數(shù)＋負(fù)數(shù)時(shí)，誰的絕對(duì)值大，和就取誰的符號(hào)去括號(hào)法則：括號(hào)外是“+”，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)符號(hào)不變；括號(hào)外是“-”，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)符號(hào)都改變；【類題訓(xùn)練】1．已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|b+1|﹣|b﹣a|的結(jié)果為（）A．a(chǎn)﹣2b﹣1 B．a(chǎn)+1 C．﹣a﹣1 D．﹣a+2b+1【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷a、b的大小，再判斷所求式子中絕對(duì)值內(nèi)部的符號(hào)，再化簡求值．【解答】解：由數(shù)軸可知，﹣1＜b＜0，1＜a＜2，∴b+1＞0，|b+1|＝b+1，b﹣a＜0，|b﹣a|＝a﹣b，∴原式＝b+1﹣（a﹣b）＝1+2b﹣a，故選：D．2．有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置如圖所示，則|m﹣n|+|m+n|的值為（）A．2n B．2m C．﹣2n D．﹣2m【分析】由圖可知，m＜0，n＞0，且|m|＜|n|，即可得到m﹣n＜0，m+n＞0，根據(jù)絕對(duì)值的意義|a|＝進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：由圖可知，∵m＜0，n＞0，且|m|＜|n|，∴m﹣n＜0，m+n＞0，∴|m﹣n|+|m+n|＝﹣（m﹣n）+m﹣n＝﹣m+n+m+n＝2n．故選：A．3．有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖所示，化簡：|a+c|﹣|c﹣b|+|a+b|＝．【分析】根據(jù)題意可知：b＜﹣c＜a＜0＜a＜c＜﹣b，然后可知a+c＞0，c﹣b＞0，a+b＜0，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可求出答案．【解答】解：由數(shù)軸可知：b＜﹣c＜a＜0＜a＜c＜﹣b，∴a+c＞0，c﹣b＞0，a+b＜0，∴原式＝（a+c）﹣（c﹣b）﹣（a+b）＝a+c﹣c+b﹣a﹣b＝0，故答案為：0．4．已知，有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡：|c+b|﹣|a﹣c|+|b﹣a|．【分析】根據(jù)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可得∵3＜a＜4，0＜b＜1，﹣2＜c＜﹣1，即可得再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)|a|＝行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：如圖可知，∵3＜a＜4，0＜b＜1，﹣2＜c＜﹣1，＝﹣（c+b）﹣（a﹣c）+[﹣（b﹣a）]＝﹣c﹣b﹣a+c﹣b+a＝﹣2b．5．已知a、b、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，其中O為原點(diǎn)，化簡|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|．【分析】先根據(jù)數(shù)軸得出a、b、c的取值范圍，再根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)來化簡所求的式子，再進(jìn)行合并即可．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得c＜b＜0＜a，∴|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|＝a﹣b﹣（2a﹣b）+a﹣c﹣（﹣c）＝a﹣b﹣2a+b+a﹣c+c＝0．6．有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|+|b+c|【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負(fù)情況以及絕對(duì)值的大小，然后求出a+c，a﹣b﹣c，b﹣a，b+c的正負(fù)情況，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可得解．【解答】解：根據(jù)圖形可得，a＞0，b＜0，c＜0，且|a|＜|b|＜|c|，∴a+c＜0，a﹣b﹣c＞0，b﹣a＜0，b+c＜0，∴|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a|+|b+c|，＝﹣a﹣c﹣a+b+c+b﹣a﹣b﹣c，＝﹣3a﹣c+b．7．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)a，b，c都不為0，且C是AB的中點(diǎn)，如果|a+b|﹣|a﹣2c|+|b﹣2c|﹣|a+b﹣2c|＝0，試確定原點(diǎn)O的大致位置．【分析】數(shù)軸與絕對(duì)值結(jié)合，先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，判斷出a，b，c的大致取值，再根據(jù)圖形和已知等式確定原點(diǎn)位置．【解答】解：C是AB的中點(diǎn)，則a+b＝2c，因而①a+b﹣2c＝0?|a+b﹣2c|＝0，②a﹣2c＝﹣b?|a﹣2c|＝|﹣b|＝|b|，③b﹣2c＝﹣a?|b﹣2c|＝|﹣a|＝|a|，所以原式＝|a+b|﹣|b|+|a|﹣0＝0?|a+b|＝|b|﹣|a|，因?yàn)閨a+b|＞0?a，b異號(hào)，并且|b|＞|a|，就是|OB|＞|OA|，因而點(diǎn)O在A，C之間．8．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|2a|﹣|a+c|﹣|1﹣b|+|﹣a﹣b|【分析】先根據(jù)數(shù)軸上各點(diǎn)的位置確定2a、a+c、1﹣b、﹣a﹣b的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：∵a、c在原點(diǎn)的左側(cè)，a＜﹣1，∴a＜0，c＜0，∴2a＜0，a+c＜0，∵0＜b＜1，∴1﹣b＞0，∵a＜﹣1，∴﹣a﹣b＞0∴原式＝﹣2a+（a+c）﹣（1﹣b）+（﹣a﹣b）＝﹣2a+a+c﹣1+b﹣a﹣b＝﹣2a+c﹣1．故答案為：﹣2a+c﹣1．9．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，且|a|＝|c|．（1）用“＜”連接這四個(gè)數(shù)：0，a，b，c；；（2）比較大?。篴b，a+c0；（3）化簡：|a+b|﹣2|a|﹣|b+c|．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小即可判斷；（2）根據(jù)數(shù)軸和相反數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）利用絕對(duì)值的性質(zhì)即可解決問題；【解答】解：（1）根據(jù)數(shù)軸得：b＜a＜0＜c；故答案為：b＜a＜0＜c；（2）由數(shù)軸可得，b＜a＜0＜c，|a|＝|c|，∴a＞b，a+c＝0；故答案為：＞，＝；（3）由圖可知：a＜0，a+b＜0，b+c＜0，a+c＝0，∴原式＝﹣a﹣b+2a+b+c＝a+c＝0．10．已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上如圖所示，它們表示的數(shù)分別是a，b，c．且|a|＜|b|．（1）①填空：abc0，a+b0（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）化簡：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)所在位置判斷a、b、c的正負(fù)號(hào)，再確定abc、a+b正負(fù)號(hào)；（2）先確定a﹣b，a+b以及b﹣c的正負(fù)號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去絕對(duì)值符號(hào)即可．【解答】解：（1）根據(jù)數(shù)軸上A、B、C三點(diǎn)的位置，可知a＜0＜b＜c，且|c|＞|b|＞|a|，∴abc＜0，a+b＞0，故答案為：＜，＞；（2）由題意可知，a﹣b＜0，a+b＞0，b﹣c＜0，∴|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|＝b﹣a﹣2（a+b）+c﹣b＝b﹣a﹣2a﹣2b+c﹣b＝﹣3a﹣2b+c．11．若用點(diǎn)A，B，C分別表示有理數(shù)a，b，c，它們?cè)跀?shù)軸上的位置如圖所示．（1）比較a，b，c的大?。ㄓ谩埃肌边B接）；（2）請(qǐng)?jiān)跈M線上填上＞，＜或＝：a+b0，b﹣c0；（3）化簡：2c+|a+b|+|c﹣b|?|c﹣a|．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減法法則判斷即可；（3）利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡即可．【解答】解：（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：a＜c＜b；（2）∵a＜c＜0＜b，且|b|＜|a|，∴a+b＜0，b﹣c＞0，故答案為：＜；＞；（3）∵a+b＜0，c﹣b＜0，c﹣a＞0，∴2c+|