函數(shù)的應(yīng)用（二）

第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)45函數(shù)的應(yīng)用（二）人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解【函數(shù)零點(diǎn)的定義】與二次函數(shù)的零點(diǎn)一樣，對(duì)于一般函數(shù)，我們把使得的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)

這樣，函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以：

方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解【零點(diǎn)的定義給出了求解函數(shù)零點(diǎn)的基本方法】1代數(shù)法：若方程可解，其實(shí)數(shù)根就是函數(shù)的零點(diǎn)2幾何法：若方程難以直接求解，將其改為，進(jìn)一步改為，在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個(gè)函數(shù)和的圖像，兩圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)的零點(diǎn)

零點(diǎn)存在定理【實(shí)例分析】以二次函數(shù)為例，我們知道求函數(shù)的零點(diǎn)，其實(shí)就是求方程的實(shí)數(shù)解

可以發(fā)現(xiàn)，在零點(diǎn)附近，函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的，并且穿過軸函數(shù)在端點(diǎn)和時(shí)的取值異號(hào)，即，于是函數(shù)在區(qū)間2,4內(nèi)有零點(diǎn)；同樣的，，函數(shù)在區(qū)間-2，0內(nèi)有零點(diǎn)

一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)即存在,使得，這個(gè)t也就是方程的解這就是零點(diǎn)存在定理

零點(diǎn)存在定理若的圖像在上是不連續(xù)的，則在上沒有零點(diǎn)

那可不一定下面這個(gè)函數(shù)在-1，3上照樣有零點(diǎn)！函數(shù)的圖像在區(qū)間上是連續(xù)的，但則在上沒有零點(diǎn)

這也不一定下面這個(gè)函數(shù)，但函數(shù)在上有零點(diǎn)！

零點(diǎn)存在定理【理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理需要注意的問題】【1】①函數(shù)在區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線②，這兩個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論未必成立【2】滿足上述條件，則函數(shù)的圖像至少穿過軸一次，即在區(qū)間上函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，但是不確定到底有幾個(gè)【3】該定理是一個(gè)充分不必要條件反過來，若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則不一定有成立

零點(diǎn)存在定理【常見函數(shù)的零點(diǎn)】一個(gè)零點(diǎn)無零點(diǎn)

兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)零點(diǎn)無零點(diǎn)無零點(diǎn)一個(gè)零點(diǎn)1

一個(gè)零點(diǎn)0無零點(diǎn)例1：求函數(shù)f=ln2-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)x123456789f(x)-40-131134567899121142例2：2若方程在（0，1）內(nèi)恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。3已知關(guān)于的方程的一個(gè)根在-2,0內(nèi)，另一根在1,3內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍利用二分法求方程的近似解【二分法的概念】假設(shè)我們知道函數(shù)在區(qū)間2，3內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，那么我們?cè)趺辞蟪鲞@個(gè)零點(diǎn)呢？

一個(gè)直觀的想法是：如果能將零點(diǎn)所在的范圍盡量的縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點(diǎn)的近似值為了方便，可以通過取中點(diǎn)的方法，逐步縮小零點(diǎn)的范圍實(shí)際上大多數(shù)方程都不能像一元二次方程這樣可以直接用公式求出精確解在實(shí)際問題中，往往只需求出滿足一定精確度的近似解我們知道求解二次函數(shù)零點(diǎn)的方法，當(dāng)時(shí)，利用求根公式就可以求出方程的解，也就是函數(shù)的零點(diǎn)

利用二分法求方程的近似解【二分法的概念】通過上述步驟，我們把零點(diǎn)的范圍從2,3縮小到了25,275，那么重復(fù)這個(gè)步驟，我們就可以把零點(diǎn)所在的范圍縮小到滿足一定精確度的區(qū)間，區(qū)間的任意一點(diǎn)都可以作為函輸零點(diǎn)的近似值為了方便，我們把區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值像這樣，把在區(qū)間上連續(xù)且的函數(shù)，不斷把零點(diǎn)區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，從而得到零點(diǎn)近似值的方法，叫做二分法一般地，稱為區(qū)間的中點(diǎn)函數(shù)在區(qū)間2，3上有零點(diǎn)，并且，取2，3的中點(diǎn)25，利用計(jì)算器求出因?yàn)?，所以零點(diǎn)在區(qū)間25，3之間；再取區(qū)間25，3的中點(diǎn)275，算出，則零點(diǎn)在區(qū)間25，275之間…

利用二分法求方程的近似解【問題】二分法的理論依據(jù)是什么？【答】①二分法的理論依據(jù)是零點(diǎn)存在定理，僅適用于函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)函數(shù)圖像通過零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)改變②二分法采用逐步逼近的思想，使函數(shù)零點(diǎn)所在的范圍逐步縮小，也就是逐步逼近函數(shù)的零點(diǎn)要根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)盡可能的找到含有零點(diǎn)的更小的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間的長度小到一定程度時(shí)，就可以取得可以解決實(shí)際問題近似值【步驟口訣】定區(qū)間，找中點(diǎn)，中間計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷！利用二分法求方程的近似解【用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟】【1】確定零點(diǎn)的初始區(qū)間，驗(yàn)證【2】求區(qū)間的中點(diǎn)c，計(jì)算，進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在區(qū)間：①如果，即c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②如果，則令；

③如果，則令；

【3】判斷是否達(dá)到精確度：若，則得到零點(diǎn)的近似值，否則重復(fù)步驟【2】

當(dāng)時(shí)，區(qū)間任意一個(gè)值都可以作為零點(diǎn)近似值

對(duì)于三個(gè)函數(shù)，定義域都是R，且在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，所以都可以用二分法求零點(diǎn)近似值【1】下列函數(shù)都可以用二分法求零點(diǎn)近似值嗎，為什么？【解】

對(duì)于2，作出圖像如圖：易知函數(shù)只有一個(gè)不變號(hào)零點(diǎn)，故無法用二分法求零點(diǎn)近似值

用二分法求方程23=7的近似解（精確度為01）例．求的近似值。（精確度0.1）解:x=再利用二分法求近似根求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種方法【方程法】求方程的實(shí)數(shù)根【圖像法】對(duì)于不能用公式法求根的方程或者不易求出實(shí)數(shù)根的方程，可以將它與對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)，對(duì)于不易畫出圖像的函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為，分別畫出和的圖像，看兩圖像有幾個(gè)交點(diǎn)【奇偶性】結(jié)合函數(shù)的奇偶性，因?yàn)?/p>