正余弦定理的應(yīng)用-測量

正弦定理余弦定理a2

=b2+c2-2bccosAb2

=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC

利用余弦定理可以解決兩類解斜三角形問題：(1)已知三邊，求三個角；(2)已知兩邊和其夾角，求第三邊和其余兩個角.

利用正弦定理可以解決兩類解斜三角形問題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊對角,求另一邊的對角和其余.正余弦定理的應(yīng)用舉例

正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中邊角之間的相互關(guān)系，在測量學(xué)、運動學(xué)、力學(xué)、電學(xué)等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。下面介紹它們在測量距離、高度、角度等問題中的應(yīng)用。在這些應(yīng)用問題中，測量者借助于經(jīng)緯儀與鋼卷尺等測量角和距離的工具進行測量。

仰角與俯角：水平線)

仰角俯角)

方向角：

東偏南30

方向東南西北在同一豎直平面內(nèi)，目標視線與水平線的夾角，當視線在水平線之上時，稱為仰角，當視線在水平線之下時，稱為俯角.30

)例1.如圖A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點間的距離.A?B??C)51o(75

55測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測得AC=55米,

BAC＝51

,ACB=75

,計算AB長(精確到0.01米)．[小結(jié)]

本例是測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題.[思考]

題中為什么要給出這些已知條件？——可實際測量例2.設(shè)河兩岸在同一平面內(nèi).A、B兩點都在河的對岸(不可到達),設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法.D??CA?B?))(([分析]在河岸這邊取點C、D,測得CD=a,

ADC=,BDC=,ACD=,BCD=.在

ADC中,由正弦定理求AD；在

BDC中,由正弦定理求BD；在

ADB中,由余弦定理求AB.

本例是測量兩個不可到達的點之間的距離的問題.

(轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求邊長)例3.AB是底部B不可到達的建筑物,A為建筑物的最高點.設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法.AB

)

HC

)Eh

GDa

應(yīng)用正余弦定理解決實際問題的步驟：

分析題意，畫出示意圖；

建立數(shù)學(xué)模型,將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形,確定所涉及的三角形,并確定該三角形的已知、未知元素;

計算，選用正、余弦定理求解；

將結(jié)論還原為實際問題.例4.如圖，已知鐵塔BC部分的高a.設(shè)計一種測量山高CD的方法.BCAD在地面上一點A測得山頂鐵塔上B處的仰角

,測得塔底C處的仰角

,求出山高CD.[練習(xí)]如圖,在200m的山頂A測得山下一鐵塔的塔頂B處與塔底C處的俯角分別為30

，60,求塔高BC.CADB例5.一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠處一山頂D在西偏北

角的方向上,行駛

a公里后到達B處，測得此山頂在西偏北

角的方向上,仰角為，求此山的高度.?A?BDO

(

(

(

測量底部不可到達的建筑物高度的問題：

用正余弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.[練習(xí)]某人在塔的正東沿著南偏西60

的方向前進40米后,望見塔在東北，若沿途測得塔的最大仰角為30

，求塔高.ACB

例6.如圖，一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東

角的方向航行

a距離后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東

角的方向航行b距離后到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?

[練習(xí)]如圖，甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60

方向的B處，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船速度的倍，問：甲船應(yīng)取什么方向前進才能在最短時間內(nèi)追上乙船，此時乙船行駛了多少海里？東北60

)AB例7.某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號.我海軍艦艇在A處獲悉后，支即測出該漁輪在方位角為45o，距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105o

的方向，以9海里/時的速度向小島靠攏.我海軍艦艇立即以21海里/時的速度前去營救,為使?jié)O輪盡快得救求出艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間.ACB45o105o

為使盡快營救，艦艇必須直線航行，且恰好在前進方向上遇到漁輪.(提示：設(shè)艦艇收到信號后x小時在B處靠攏漁輪)[練習(xí)]我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設(shè)于C,D，已知

ACD為邊長為a的正三角形.當目標出現(xiàn)于B時,測得BDC=45o,BCD=75o,求炮擊目標的距離AB.DACB)45o(75o

三角形求解時，選擇特殊角更簡單.例8.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30

且與港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.設(shè)該小船沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.