正余弦定理的應(yīng)用-測量

正弦定理余弦定理a2

=b2+c2-2bccosAb2

=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC

利用余弦定理可以解決兩類解斜三角形問題：(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和其夾角，求第三邊和其余兩個(gè)角.

利用正弦定理可以解決兩類解斜三角形問題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊對角,求另一邊的對角和其余.正余弦定理的應(yīng)用舉例

正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中邊角之間的相互關(guān)系，在測量學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)、電學(xué)等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。下面介紹它們在測量距離、高度、角度等問題中的應(yīng)用。在這些應(yīng)用問題中，測量者借助于經(jīng)緯儀與鋼卷尺等測量角和距離的工具進(jìn)行測量。

仰角與俯角：水平線)

仰角俯角)

方向角：

東偏南30

方向東南西北在同一豎直平面內(nèi)，目標(biāo)視線與水平線的夾角，當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，稱為仰角，當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角.30

)例1.如圖A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)間的距離.A?B??C)51o(75

55測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測得AC=55米,

BAC＝51

,ACB=75

,計(jì)算AB長(精確到0.01米)．[小結(jié)]

本例是測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題.[思考]

題中為什么要給出這些已知條件？——可實(shí)際測量例2.設(shè)河兩岸在同一平面內(nèi).A、B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá)),設(shè)計(jì)一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.D??CA?B?))(([分析]在河岸這邊取點(diǎn)C、D,測得CD=a,

ADC=,BDC=,ACD=,BCD=.在

ADC中,由正弦定理求AD；在

BDC中,由正弦定理求BD；在

ADB中,由余弦定理求AB.

本例是測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題.

(轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求邊長)例3.AB是底部B不可到達(dá)的建筑物,A為建筑物的最高點(diǎn).設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法.AB

)

HC

)Eh

GDa

應(yīng)用正余弦定理解決實(shí)際問題的步驟：

分析題意，畫出示意圖；

建立數(shù)學(xué)模型,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形,確定所涉及的三角形,并確定該三角形的已知、未知元素;

計(jì)算，選用正、余弦定理求解；

將結(jié)論還原為實(shí)際問題.例4.如圖，已知鐵塔BC部分的高a.設(shè)計(jì)一種測量山高CD的方法.BCAD在地面上一點(diǎn)A測得山頂鐵塔上B處的仰角

,測得塔底C處的仰角

,求出山高CD.[練習(xí)]如圖,在200m的山頂A測得山下一鐵塔的塔頂B處與塔底C處的俯角分別為30

，60,求塔高BC.CADB例5.一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北

角的方向上,行駛

a公里后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北

角的方向上,仰角為，求此山的高度.?A?BDO

(

(

(

測量底部不可到達(dá)的建筑物高度的問題：

用正余弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.[練習(xí)]某人在塔的正東沿著南偏西60

的方向前進(jìn)40米后,望見塔在東北，若沿途測得塔的最大仰角為30

，求塔高.ACB

例6.如圖，一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東

角的方向航行

a距離后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東

角的方向航行b距離后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?

[練習(xí)]如圖，甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60

方向的B處，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船速度的倍，問：甲船應(yīng)取什么方向前進(jìn)才能在最短時(shí)間內(nèi)追上乙船，此時(shí)乙船行駛了多少海里？東北60

)AB例7.某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號.我海軍艦艇在A處獲悉后，支即測出該漁輪在方位角為45o，距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105o

的方向，以9海里/時(shí)的速度向小島靠攏.我海軍艦艇立即以21海里/時(shí)的速度前去營救,為使?jié)O輪盡快得救求出艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間.ACB45o105o

為使盡快營救，艦艇必須直線航行，且恰好在前進(jìn)方向上遇到漁輪.(提示：設(shè)艦艇收到信號后x小時(shí)在B處靠攏漁輪)[練習(xí)]我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設(shè)于C,D，已知

ACD為邊長為a的正三角形.當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于B時(shí),測得BDC=45o,BCD=75o,求炮擊目標(biāo)的距離AB.DACB)45o(75o

三角形求解時(shí)，選擇特殊角更簡單.例8.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30

且與港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.設(shè)該小船沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇.