江西省贛州市高三?？佳侯}卷（二）數(shù)學試題

2022~2023學年度第二學期模擬考試高三數(shù)學試題卷I（選擇題）一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2.已知，，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)相等的概念求解即可.【詳解】解:因為，所以，則，．故選:A.3.若角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再將化簡，代入的值計算即可.【詳解】若角的終邊經(jīng)過點，則，故選：A.4.圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用扇形的弧長公式及圓錐的側(cè)面積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為r，母線長為l，則，由題意知，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：A.5.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】作出可行域，利用其幾何意義轉(zhuǎn)化為截距最值即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示,化為，當直線經(jīng)過點時，縱截距最大,聯(lián)立，解得，則，此時.故選：C.6.已知正項等比數(shù)列}滿足為與的等比中項，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比中項定義和等比數(shù)列通項公式得，解得，化簡.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，即，，，，故選：B.7.某校隨機抽取了名學生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學生的體重數(shù)據(jù)（單位：）全部介于至之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.頻率分布直方圖中的值為B.這名學生中體重低于的人數(shù)為C.據(jù)此可以估計該校學生體重的第百分位數(shù)約為D.據(jù)此可以估計該校學生體重的平均數(shù)約為【答案】D【解析】【分析】運用頻率分布直方圖中所有頻率和為，求出值，再根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率、百分位數(shù)、平均數(shù)的計算公式進行計算.【詳解】對于選項：因為，解得，所以正確.對于選項：體重低于的頻率為，所以人數(shù)為，所以正確.對于選項：因為，，所以體重的第百分位數(shù)位于之間，設(shè)體重的第百分位數(shù)為，則，解得，所以正確.對于選項：體重的平均數(shù)約為，所以錯誤.故選：.8.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于、兩點，線段的中點為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出點的坐標，利用基本不等式可求得直線斜率的最大值.【詳解】易知拋物線的焦點為，設(shè)點、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，則，故點，，若直線的斜率取最大值，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故直線斜率的最大值為.故選：A.9.在正方體中，M，N，P分別為，，的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A. B.平面平面C. D.平面平面【答案】D【解析】【分析】求得與位置關(guān)系判斷選項A；求得平面與平面位置關(guān)系判斷選項B；求得與位置關(guān)系判斷選項C；求得平面與平面位置關(guān)系判斷選項D.【詳解】對A，在中，因為，分別為，的中點，所以．又，所以，A正確．對B，在中，因為，分別為，的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，平面，平面，所以平面．又因為，平面，所以平面平面，B正確．對C，因為，，所以，C正確．對D，取的中點，連接，，則是二面角的平面角．設(shè)正方體棱長為a，則，又，則，所以平面與平面不垂直．又平面平面，所以平面與平面不垂直，D錯誤．故選：D．10.已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.【詳解】依題意，在中，，如圖，顯然，是銳角，，又函數(shù)在上遞增，因此當且僅當公共弦最大時，最大，此時弦為圓的直徑，在中，，所以.故選：D11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】變換，，，構(gòu)造，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，得到答案.【詳解】，，，設(shè)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即.故選：A【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.12.已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，，由于，，且，所以．故選：A．卷II（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量，，寫出一個與垂直的非零向量______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先計算，設(shè)，利用垂直則數(shù)量積為0有，賦值即可.詳解】由題意可知,設(shè),則,取,則,則與垂直的非零向量可以為，故答案：.14.從A，B等5處水樣監(jiān)測點中隨機選3處進行水樣檢測，則A，B不同時入選的概率為______．【答案】【解析】【分析】對另外3處水樣監(jiān)測點編號，利用列舉法結(jié)合古典概率求解作答.【詳解】設(shè)5處水樣監(jiān)測點分別為,,,,，從中隨機選擇3處的結(jié)果有：，共10種情況，其中,同時入選的有，共3種情況，所以,不同時入選的概率.故答案為：15.已知的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知的面積S滿足，則角A的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式化簡已知條件，得求解可得角A的值.【詳解】由已知得，根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，得，化簡為，由于，所以，化簡得，即，解得，或（舍），由于，所以.故答案為：16.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)則下面各選項中一定正確的序號是________.①；②；③；④.【答案】②③【解析】【分析】將題干轉(zhuǎn)化為抽象函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)原函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關(guān)系可得解.【詳解】因為，均為偶函數(shù)，所以，即，，所以，，則，故③正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線，對稱，又，且函數(shù)可導，由函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，所以其單調(diào)性在處改變，導數(shù)值為零，所以，，所以關(guān)于點對稱，又圖象關(guān)于對稱，所以的周期為，所以，所以，所以，故②正確，④錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故①錯誤；故答案為：②③.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.1721題為必考題，2223為選考題.（一）必考題：共60分17.在中，是邊上一點，，，，.（1）求的長；（2）求的面積.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）中，根據(jù)余弦定理求的長；（2）中，根據(jù)余弦定理求，即可求，再根據(jù)三角形的面積公式求解.【小問1詳解】因為，則，，，中，,即，解得：或（舍），所以；【小問2詳解】，因為所以，，所以.18.近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤的概率（Ⅲ）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.當數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時，寫出a,b,c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時的值．（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）0.3;（Ⅲ）時，方差取得最大值8000.【解析】【詳解】（Ⅰ）廚余垃圾一共有噸，其中投放正確的有噸，所以概率為（Ⅱ）生活垃圾一共有噸，其中投放錯誤有噸，所以概率為（Ⅲ）由題意得：當且僅當時取等號19.如圖1，在直角梯形中，，，點為的中點，點在，將四邊形沿邊折起，如圖2.（1）證明：圖2中的平面；（2）在圖2中，若，求該幾何體的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，分別證得和，結(jié)合面面平行的判定定理，證得平面平面，即可證得平面.（2）由，得到，證得，連接，把該幾何體分割為四棱錐和三棱錐，結(jié)合錐體的體積公式，即可求解.【小問1詳解】證明：取中點，連接，因為，所以四邊形平行四邊形，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，且平面，所以平面，同理可知：四邊形是平行四邊形，所以，證得平面，因為平面，且，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面.【小問2詳解】解：若，因為，，則，故，所以兩兩垂直，連接，該幾何體分割為四棱錐和三棱錐，則，因為平面平面，故，所以該幾何體的體積為.20.已知橢圓：的左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，，四邊形的周長為．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)斜率為k的直線l與x軸交于點P，與橢圓E交于不同的兩點M，N，點M關(guān)于y軸的對稱點為、直線與y軸交于點Q．若的面積為2，求k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由短軸長，即四邊形的周長得a，b的值，得橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，由題，，與橢圓聯(lián)立方程，得，，表示出的面積，解得k的值.【小問1詳解】由，得，即，由四邊形的周長為，得，即，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線l的方程為（，），，，則，，聯(lián)立方程組，消去y得，，，得，，，直線的方程為，令，得，又因為，所以，的面積，得，經(jīng)檢驗符合題意，所以k的值為.21.已知函數(shù)，為的導數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若直線與曲線有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，對求導，分和討論即可；（2）分離參數(shù)得，設(shè)，利用導數(shù)研究其值域與圖像即可.【小問1詳解】設(shè)的定義域為,.當時,在上為增函數(shù),在上單調(diào)遞增;當時,令,得.若,則單調(diào)遞增,若則單調(diào)遞減.綜上,當時,在上單調(diào)遞增;當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.【小問2詳解】直線與曲線有兩個交點,即關(guān)于的方程有兩個解,整理方程,得.令,其中,則.令，則.當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.由,得時,,則,當時,則,當時,,則,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則.當趨近于時,趨近于0,即當時,;當趨近于0時,趨近于,作出如圖所示圖象：故要使直線與曲線有兩個交點,則需,即的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是首先將題意轉(zhuǎn)化為方程有兩解，再通過分離參數(shù)法得，則轉(zhuǎn)化為直線與在圖象上有兩交點，再利用導數(shù)研究的圖象與值域即可.（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線和直線的普通方程；（2）若為曲線上一動點，求到距離的取值范圍．【答案】（1）；x＋y－4＝0，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程為，結(jié)合三角函數(shù)平方關(guān)系即可得曲線的普通方程，根據(jù)極坐標與普通方程的轉(zhuǎn)化即可得直線的普通方程；（2）設(shè)根據(jù)點到直線的距離公式，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)即可求到距離的取值范圍．【小問1詳解】由題意可知：，由可得，所以的普通方程為；